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內(nèi)蒙古自治區(qū)烏蘭察布市成考專升本考試2023年高等數(shù)學(xué)一測(cè)試題及答案學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________
一、單選題(20題)1.設(shè)函數(shù)在x=0處連續(xù),則a等于().A.A.0B.1/2C.1D.2
2.設(shè)y=x+sinx,則y=()A.A.sinx
B.x
C.x+cosx
D.1+cosx
3.控制工作的實(shí)質(zhì)是()
A.糾正偏差B.衡量成效C.信息反饋D.擬定標(biāo)準(zhǔn)
4.
5.設(shè)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),則下列命題中正確的是().A.A.f(x)在點(diǎn)x0必定可導(dǎo)B.f(x)在點(diǎn)x0必定不可導(dǎo)C.必定存在D.可能不存在
6.
7.
8.A.A.2B.1C.0D.-1
9.
A.6xarctanx2
B.6xtanx2+5
C.5
D.6xcos2x
10.曲線y=x2+5x+4在點(diǎn)(-1,0)處切線的斜率為()A.A.2B.-2C.3D.-3
11.函數(shù)y=ex+e-x的單調(diào)增加區(qū)間是
A.(-∞,+∞)B.(-∞,0]C.(-1,1)D.[0,+∞)12.二次積分等于()A.A.
B.
C.
D.
13.A.A.
B.
C.
D.
14.設(shè)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,且,則f'(x0)等于().A.-1B.-1/2C.1/2D.1
15.
16.設(shè)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),滿足f(-1)=0,當(dāng)x<-1時(shí),f(x)<0;當(dāng)x>-1時(shí),f(x)>0.則下列結(jié)論肯定正確的是().
A.x=-1是駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn)B.x=-1不是駐點(diǎn)C.x=-1為極小值點(diǎn)D.x=-1為極大值點(diǎn)
17.點(diǎn)(-1,-2,-5)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)是()
A.(-1,2,-5)B.(-1,2,5)C.(1,2,5)D.(1,-2,-5)
18.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)f(x)>0,則在(0,1)內(nèi)f(x)().
A.單調(diào)增加B.單調(diào)減少C.為常量D.既非單調(diào),也非常量19.設(shè)y=3-x,則y'=()。A.-3-xln3
B.3-xlnx
C.-3-x-1
D.3-x-1
20.
二、填空題(20題)21.設(shè)y=sinx2,則dy=______.22.23.冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_(kāi)_____.24.直線的方向向量為_(kāi)_______。25.26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.34.過(guò)原點(diǎn)且與直線垂直的平面方程為_(kāi)_____.
35.
36.設(shè)區(qū)域D由y軸,y=x,y=1所圍成,則.37.
38.
39.曲線y=x3-6x的拐點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.40.三、計(jì)算題(20題)41.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間,并求該曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線l的方程.42.求曲線在點(diǎn)(1,3)處的切線方程.43.
44.
45.將f(x)=e-2X展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù).46.求微分方程的通解.47.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).48.
49.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B,在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi),以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示).設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x,面積為
S(x).
(1)寫(xiě)出S(x)的表達(dá)式;
(2)求S(x)的最大值.
50.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂,何時(shí)條件收斂,何時(shí)發(fā)散,其中常數(shù)a>0.51.52.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.53.證明:54.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值.55.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無(wú)窮小量,則56.57.
58.
59.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p,當(dāng)p=10時(shí),若價(jià)格上漲1%,需求量增(減)百分之幾?
60.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
四、解答題(10題)61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
又可導(dǎo).
69.70.設(shè)y=y(x)由確定,求dy.五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.
且k≠0則k=________。
六、解答題(0題)72.
參考答案
1.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)連續(xù)性的概念.
由函數(shù)連續(xù)性的定義可知,若f(x)在x=0處連續(xù),則有,由題設(shè)f(0)=a,
可知應(yīng)有a=1,故應(yīng)選C.
2.D
3.A解析:控制工作的實(shí)質(zhì)是糾正偏差。
4.A解析:
5.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限、連續(xù)與可導(dǎo)性的關(guān)系.
函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),則f(x)在點(diǎn)x0必連續(xù).
函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù),則必定存在.
函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù),f(x)在點(diǎn)x0不一定可導(dǎo).
函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0不連續(xù),則f(x)在點(diǎn)x0必定不可導(dǎo).
這些性質(zhì)考生應(yīng)該熟記.由這些性質(zhì)可知本例應(yīng)該選C.
6.A
7.B
8.C
9.C
10.C點(diǎn)(-1,0)在曲線y=x2+5x+4上.y=x2+5x+4,y'=2x+5,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,曲線y=x2+5x+4在點(diǎn)(-1,0)處切線的斜率為3,所以選C.
11.D考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的知識(shí)點(diǎn).
y=ex+e-x,則y'=ex-e-x,當(dāng)x>0時(shí),y'>0,所以y在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增。
12.A本題考查的知識(shí)點(diǎn)為交換二次積分的積分次序.
由所給二次積分限可知積分區(qū)域D的不等式表達(dá)式為:
0≤x≤1,0≤y≤1-x,
其圖形如圖1-1所示.
交換積分次序,D可以表示為
0≤y≤1,0≤x≤1-y,
因此
可知應(yīng)選A.
13.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為可導(dǎo)性的定義.當(dāng)f(x)在x=1處可導(dǎo)時(shí),由導(dǎo)數(shù)定義可得
14.B由導(dǎo)數(shù)的定義可知
可知,故應(yīng)選B。
15.A
16.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極值的第-充分條件.
由f(-1)=0,可知x=-1為f(x)的駐點(diǎn),當(dāng)x<-1時(shí)f(x)<0;當(dāng)x>-1時(shí),
f(x)>1,由極值的第-充分條件可知x=-1為f(x)的極小值點(diǎn),故應(yīng)選C.
17.D關(guān)于yOz平面對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),故選D。
18.A本題考查的知識(shí)點(diǎn)為利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性.
由于f(x)在(0,1)內(nèi)有f(x)>0,可知f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)增加,故應(yīng)選A.
19.Ay=3-x,則y'=3-x。ln3*(-x)'=-3-xln3。因此選A。
20.D21.2xcosx2dx本題考查的知識(shí)點(diǎn)為一元函數(shù)的微分.
由于y=sinx2,y'=cosx2·(x2)'=2xcosx2,故dy=y'dx=2xcosx2dx.
22.發(fā)散本題考查了級(jí)數(shù)的斂散性(比較判別法)的知識(shí)點(diǎn).23.(-2,2);本題考查的知識(shí)點(diǎn)為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.
由于所給級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)情形,
可知收斂半徑,收斂區(qū)間為(-2,2).24.直線l的方向向量為
25.
26.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二重積分的計(jì)算.
27.90
28.[e+∞)(注:如果寫(xiě)成x≥e或(e+∞)或x>e都可以)。[e,+∞)(注:如果寫(xiě)成x≥e或(e,+∞)或x>e都可以)。解析:
29.
30.
31.連續(xù)但不可導(dǎo)連續(xù)但不可導(dǎo)
32.
33.34.2x+y-3z=0本題考查的知識(shí)點(diǎn)為平面方程和平面與直線的關(guān)系.
由于已知直線與所求平面垂直,可知所給直線的方向向量s平行于所求平面的法向量n.由于s=(2,1,-3),因此可取n=(2,1,-3).由于平面過(guò)原點(diǎn),由平面的點(diǎn)法式方程,可知所求平面方程為2x+y-3z=0
35.36.1/2本題考查的知識(shí)點(diǎn)為計(jì)算二重積分.其積分區(qū)域如圖1-2陰影區(qū)域所示.
可利用二重積分的幾何意義或?qū)⒍胤e分化為二次積分解之.
解法1由二重積分的幾何意義可知表示積分區(qū)域D的面積,而區(qū)域D為等腰直角三角形,面積為1/2,因此.
解法2化為先對(duì)y積分,后對(duì)x積分的二次積分.
作平行于y軸的直線與區(qū)域D相交,沿y軸正向看,入口曲線為y=x,作為積分下限;出口曲線為y=1,作為積分上限,因此
x≤y≤1.
區(qū)域D在x軸上的投影最小值為x=0,最大值為x=1,因此
0≤x≤1.
可得知
解法3化為先對(duì)x積分,后對(duì)Y積分的二次積分.
作平行于x軸的直線與區(qū)域D相交,沿x軸正向看,入口曲線為x=0,作為積分下限;出口曲線為x=y,作為積分上限,因此
0≤x≤y.
區(qū)域D在y軸上投影的最小值為y=0,最大值為y=1,因此
0≤y≤1.
可得知
37.0
38.39.(0,0)本題考查的知識(shí)點(diǎn)為求曲線的拐點(diǎn).
依求曲線拐點(diǎn)的一般步驟,只需
(1)先求出y".
(2)令y"=0得出x1,…,xk.
(3)判定在點(diǎn)x1,x2,…,xk兩側(cè),y"的符號(hào)是否異號(hào).若在xk的兩側(cè)y"異號(hào),則點(diǎn)(xk,f(xk)為曲線y=f(x)的拐點(diǎn).
y=x3-6x,
y'=3x2-6,y"=6x.
令y"=0,得到x=0.當(dāng)x=0時(shí),y=0.
當(dāng)x<0時(shí),y"<0;當(dāng)x>0時(shí),y">0.因此點(diǎn)(0,0)為曲線y=x3-6x的拐點(diǎn).
本題出現(xiàn)較多的錯(cuò)誤為:填x=0.這個(gè)錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因是對(duì)曲線拐點(diǎn)的概念不清楚.拐點(diǎn)的定義是:連續(xù)曲線y=f(x)上的凸與凹的分界點(diǎn)稱之為曲線的拐點(diǎn).其一般形式為(x0,f(x0)),這是應(yīng)該引起注意的,也就是當(dāng)判定y"在x0的兩側(cè)異號(hào)之后,再求出f(x0),則拐點(diǎn)為(x0,f(x0)).
注意極值點(diǎn)與拐點(diǎn)的不同之處!40.1/2本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限的運(yùn)算.
41.
42.曲線方程為,點(diǎn)(1,3)在曲線上.
因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0.
如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在,則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)
(x0,fx0))處存在切線,且切線的斜率為f′(x0).切線方程為
43.由一階線性微分方程通解公式有
44.
45.
46.
47.
列表:
說(shuō)明
48.
則
49.
50.
51.
52.由二重積分物理意義知
53.
54.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
注意
55.由等價(jià)無(wú)窮小量的定義可知
56.
57.
58.
59.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25
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