高等代數(shù)線性代數(shù)

高等代數(shù)線性代數(shù)第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六一、多項式函數(shù)與根1.多項式函數(shù)設(shè)數(shù)

將的表示式里的用代替，得到P中的數(shù)稱為當(dāng)時的值，記作這樣，對P中的每一個數(shù)，由多項式確定P中唯一的一個數(shù)與之對應(yīng)，于是稱為P上的一個多項式函數(shù)．第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六若多項式函數(shù)在處的值為0，即

則稱為的一個根或零點．

2.多項式函數(shù)的根(或零點)易知，若則，第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六（余數(shù)定理）：用一次多項式去除多項式

所得余式是一個常數(shù)，這個常數(shù)等于函數(shù)值

二、多項式函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)1.

定理7

是的根

推論:第四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六

例1求在處的函數(shù)值.法一：把代入求

用去除所得余數(shù)就是

法二：答案：第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六若是的重因式，則稱為

的重根.當(dāng)時，稱為的單根．

當(dāng)時，稱為的重根．

2.多項式函數(shù)的k重根定義第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六注：

①是的重根是的重因式．

②有重根必有重因式．反之不然，即有重因式未必有重根．例如，為的重因式，但在R上沒有根．第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六3.

定理8(根的個數(shù)定理)任一中的次多項式在中的根

不可能多于個，重根按重數(shù)計算．

4.

定理9且

若有使

則

第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六證：設(shè)

若即時，由因式分解及唯一性定理，可分解成不可約多項式的乘積，由推論，的根的個數(shù)等于分解式中一次因式的個數(shù)，重根按重數(shù)計算，且此數(shù)

此時對有即有0個根.定理8第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六證：令則有

由定理８，若的話，則矛盾．所以，即有

個根，即定理9第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六解：例2求t值，使有重根．第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六若即則此時，有重根，為的三重根．若即則此時，有重根，為的二重根．第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六例3舉例說明下面命題是不對的．

解：令則但

是的2重根，

不是的根，從而不是的3重根．

第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六例4

若求

解：從而，1為的根．于是有，

1為

的重根，第十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六一、復(fù)系數(shù)多項式二、實系數(shù)多項式§1.8復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六1.

代數(shù)基本定理一、復(fù)系數(shù)多項式若則在復(fù)數(shù)域上必有一根．

推論1若則存在使即，在復(fù)數(shù)域上必有一個一次因式．第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六推論2復(fù)數(shù)域上的不可約多項式只有一次多項式，即

則可約．2.復(fù)系數(shù)多項式因式分解定理若則在復(fù)數(shù)域上可唯一分解成一次因式的乘積．

第十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六推論1推論2若則在其中是不同的復(fù)數(shù)，

上具有標(biāo)準(zhǔn)分解式復(fù)根（重根按重數(shù)計算）．

若，則有n個第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六二、實系數(shù)多項式命題：若是實系數(shù)多項式的復(fù)根，則的共軛復(fù)數(shù)也是的復(fù)根．

若為根，則兩邊取共軛有

∴也是為復(fù)根．

證：設(shè)第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六實系數(shù)多項式因式分解定理，若，

則可唯一地分解成一次因式與二次不可約因式的乘積．

證：對的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納．①

時，結(jié)論顯然成立.

②假設(shè)對次數(shù)<n的多項式結(jié)論成立．設(shè)，由代數(shù)基本定理,有一復(fù)根．

若為實數(shù),

則，其中

第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六若不為實數(shù)，則也是的復(fù)根，于是

設(shè)，則

即在R上是

一個二次不可約多項式．從而

由歸納假設(shè)、可分解成一次因式與二次不可約多項式的乘積．由歸納原理，定理得證．

第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六在R上具有標(biāo)準(zhǔn)分解式推論1其中且，即為R上的不可約多項式.

第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六推論2實數(shù)域上不可約多項式只有一次多項式和某些二例1求在上與在上的標(biāo)準(zhǔn)分解式.

1)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個復(fù)根，次不可約多項式，所有次數(shù)≥3的多項式皆可約.

解：第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六∴

2)在實數(shù)域范圍內(nèi)這里∵

第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六∴當(dāng)n為奇數(shù)時

當(dāng)n為偶數(shù)時

第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六一、本原多項式二、整系數(shù)多項式的因式分解§1.9有理系數(shù)多項式第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六問題的引入

1.由因式分解定理，作為一個特殊情形：對則可唯一分解

成不可約的有理系數(shù)多項式的積.但是，如何作出它的分解式卻很復(fù)雜，沒有一個一般的方法.

第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六2.我們知道，在上只有一次多項式才是不可約

多項式；在上，不可約多項式只有一次多項式與某些二次多項式；但在上有任意次數(shù)的不可約多項式．如

如何判斷上多項式的不可約性呢?

第二十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六3.有理系數(shù)多項式可歸結(jié)為整系數(shù)多項式的問題．

這是因為任一有理數(shù)可表成兩個整數(shù)的商．事實上，設(shè)

則可選取適當(dāng)整數(shù)

使為整系數(shù)多項式．若的各項系數(shù)有公因子，就可以提出來，得也即

其中是整系數(shù)多項式，且各項系數(shù)沒有異于

的公因子．

第三十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六一、本原多項式設(shè)

定義若沒有則稱為本原多項式．異于的公因子，即是互素的，第三十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六有關(guān)性質(zhì)1．

使其中為本原多項式．（除了相差一個正負(fù)號外，這種表示法是唯一的）．2．Gauss引理定理10兩個本原多項式的積仍是本原多項式．第三十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六設(shè)

是兩個本原多項式．若不是本原的，則存在素數(shù)證：又