高中數(shù)學 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

高中數(shù)學直線、平面平行的判定及其性質(zhì)第一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六1．直線與平面平行的判定(1)定義：直線與平面____________，則稱直線平行于平面．(2)判定定理：若____________________，則b∥α.2．直線與平面平行的性質(zhì)定理若____________________________，則a∥b.沒有公共點a?α，b?α，a∥b

a∥α，a?β，α∩β＝b

第二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六3．面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)圖形條件____________________________________________________________________________________________________________結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥αα∩β＝?

a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，aβ第三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六4.與垂直相關(guān)的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α______；(2)a⊥α，a⊥β_______．a(chǎn)∥bα∥β第四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六1．如果兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的直線與另一個平面內(nèi)的直線有哪些位置關(guān)系？【提示】

平行或異面．2．如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面一定平行嗎？【提示】

不一定．可能平行也可能相交．第五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六1．(人教A版教材習題改編)若直線a不平行于平面α，則下列結(jié)論成立的是(

)A．α內(nèi)的所有直線都與直線a異面B．α內(nèi)可能存在與a平行的直線C．α內(nèi)的直線都與a相交D．直線a與平面α沒有公共點第六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六【解析】

直線a與α不平行，則直線a在α內(nèi)或與α相交，當直線a在平面α內(nèi)時，在α內(nèi)存在與a平行的直線，B正確．【答案】

B第七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六2．若直線m平面α，則條件甲：直線l∥α，是條件乙：l∥m的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】

∵l∥α時，l與m并不一定平行，而l∥m時，l與α也不一定平行，有可能lα，∴條件甲是條件乙的既不充分也不必要條件．【答案】

D第八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六3．空間中，下列命題正確的是(

)A．若a∥α，b∥a，則b∥αB．若a∥α，b∥α，aβ，bβ，則β∥αC．若α∥β，b∥α，則b∥βD．若α∥β，aα，則a∥β【解析】

根據(jù)面面平行和線面平行的定義知，選D.【答案】

D第九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六4．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系是________．【解析】

如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF則EF是△BDD1的中位線，∴EF∥BD1，又EF平面ACE，BD1

平面ACE，∴BD1∥平面ACE.【答案】

平行

第十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六5．(2013·福州模擬)如圖7－4－1，正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．第十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六第十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六第十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六【嘗試解答】

(1)法一連接AB′，AC′，如圖，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC—A′B′C′為直三棱柱，所以M為AB′的中點．又因為N為B′C′的中點，所以MN∥AC′.又MN

平面A′ACC′，AC′平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′.

第十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六第十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六第十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六1．判斷或證明線面平行的常用方法有：(1)利用常用反證法定義；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．2．利用判定定理判定直線與平面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線．可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線．第十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六如圖7－4－3，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.第十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六【證明】

如圖，連接AC交BD于O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC中點，又M是PC的中點，∴AP∥OM，則有PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.

第十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六如圖7－4－4，已知α∥β，異面直線AB、CD和平面α、β分別交于A、B、C、D四點，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．求證：(1)E、F、G、H共面；(2)平面EFGH∥平面α.【思路點撥】

(1)證明四邊形EFGH為平行四邊形即可；(2)利用面面平行的判定定理，轉(zhuǎn)化為線面平行來證明．第二十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六第二十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六1．解答本題(2)的關(guān)鍵是設出平面ABD與平面α的交線，然后使用面面平行的性質(zhì)證明．2．判定面面平行的方法(1)利用定義：(常用反證法)(2)利用面面平行的判定定理；(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行；(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行．第二十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六如圖7－4－5所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一點，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中點．求證：平面A1BD1∥平面AC1D.【證明】

如圖所示，連接A1C交AC1于點E，因為四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以E是A1C的中點，連接ED，因為A1B∥平面AC1D，

第二十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六平面A1BC∩平面AC1D＝ED，所以A1B∥ED.因為E是A1C的中點，所以D是BC的中點．又因為D1是B1C1的中點，所以BD1∥C1D，A1D1∥AD.又A1D1∩BD1＝D1，C1D∩AD＝D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.

第二十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六如圖7－4－6所示，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE.(1)求證：AE⊥BE；(2)設M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE.第二十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六【思路點撥】

(1)通過線面垂直證明線線垂直；(2)先確定點N的位置，再進行證明，點N的位置的確定要根據(jù)線面平行的條件進行探索．【嘗試解答】

(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF，∴AE⊥平面BCE，又BE平面BCE，∴AE⊥BE.

第二十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六第二十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六1．解決本題的關(guān)鍵是過M作出與平面DAE平行的輔助平面MNG，通過面面平行證明線面平行．2．通過線面、面面平行的判定與性質(zhì)，可實現(xiàn)線線、線面、面面平行的轉(zhuǎn)化．3．解答探索性問題的基本策略是先假設，再嚴格證明，先猜想再證明是學習和研究的重要思想方法．第二十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六【解】

在平面PCD內(nèi)，過E作EG∥CD交PD于G，連接AG，在AB上取點F，使AF＝EG，∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，∴四邊形FEGA為平行四邊形，∴FE∥AG.第二十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六第三十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六第三十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系：

第三十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六1.在推證線面平行時，一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤．2．線面平行的性質(zhì)定理的符號語言為：a∥α，aβ，α∩βba∥b，三個條件缺一不可．

第三十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六從近兩年高考看，直線與平面，平面與平面平行是高考考查的熱點．題型全面，試題難度中等，考查線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化，并且考查空間想象能力以及邏輯思維能力．預測2014年高考仍將以線面平行的判定為主要考查點，解題時不但要熟練運用平行的判定和性質(zhì)，而且要注意解題的規(guī)范化．第三十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六規(guī)范解答之九線面平行問題的證明方法)(12分)(2012·山東高考)如圖7－4－8，幾何體E－ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求證：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M為線段AE的中點，求證：DM∥平面BEC.第三十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六【規(guī)范解答】

(1)如圖(1)，取BD的中點O，連接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC平面EOC，所以BD⊥平面EOC，·········4分因此BD⊥EO.又O為BD的中點，所以BE＝DE.······················6分第三十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六(2)如圖(2)，取AB的中點N，連接DM，DN，MN.因為M是AE的中點，所以MN∥BE.第三十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六又MN?平面BEC，BE?平面BEC，所以MN∥平面BEC.··················8分又因為△ABD為正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN?平面BEC，BC?平面BEC，所以DN∥平面BEC.·················10分第三十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.又DM?平面DMN，所以DM∥平面BEC.················12分第三十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六【解題程序】

第一步：取BD的中點O，連接CO，EO，證明BD⊥平面EOC；第二步：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明BD⊥EO，從而證明BE＝DE；第三步：取AB的中點N，作出輔助平面DMN；第四步：證明MN∥平面BEC；第五步：證明DN∥平面BEC；第六步：根據(jù)面面平行的判定定理下結(jié)論．

第四十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六易錯提示：(1)第(1)小題作不出輔助線EO，CO，無法求解．(2)第(2)小題不能作出輔助平面DMN，無法求解．防范措施：(1)所求與已知中，均有線段相等，即出現(xiàn)等腰三角形共底邊問題，此種情況下，一般取底邊的中點作輔助線．(2)證明線面平行，通常有兩種方法，要么用線線平行，要么用面面平行，條件中出現(xiàn)中點，一般考慮作出三角形的中位線．第四十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六第四十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六【解析】

過N作NP⊥BB1于點P，連接MP，可證AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正確．過M、N分別作MR⊥A