傅里葉級(jí)數(shù)的優(yōu)越性

傅里葉級(jí)數(shù)的優(yōu)越性

摘要眾所周知，幕級(jí)數(shù)是一種最為簡單放入級(jí)數(shù)，它有具有很好的性質(zhì)，在許多方面都有運(yùn)用。是數(shù)學(xué)分析解決問題的有利工具，特別是在研究函數(shù)方面。而傅里葉級(jí)數(shù)作為比幕級(jí)數(shù)更為復(fù)雜的令一種級(jí)數(shù)，是繼幕級(jí)數(shù)后。形成的在理論以及其他許多方面，如在工程技術(shù)，特別是無線電、通信、數(shù)字處理中一個(gè)比不可少的工具。那么傅里葉級(jí)數(shù)在那些方面優(yōu)越幕級(jí)數(shù)呢？優(yōu)越的程度如何？引起優(yōu)越的原因是什么？本文將進(jìn)行有利的研究。1傅里葉級(jí)數(shù)的優(yōu)越性1.1在級(jí)數(shù)存在性的問題上定義1f(x)在x0點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，(n=0,1,2,3???.)所確定的a稱為函數(shù)f(x)的Taylor系數(shù)，用這些系數(shù)組成的幕級(jí)數(shù)男a(x-X0)稱為函數(shù)f(x)的Taylor級(jí)數(shù)，記n=1f(x)~Za(x一x)n (1)n=1由此可知，只要函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0點(diǎn)附近存在任意階導(dǎo)數(shù)，就都有其對(duì)應(yīng)的Taylor級(jí)數(shù)，且幕級(jí)數(shù)至少有有一個(gè)收斂點(diǎn)x0于是，Taylor級(jí)數(shù)一定收斂，但在x的某領(lǐng)域內(nèi)不一定收斂于函數(shù)f(x)。0例1由于函數(shù)「0,x=0,f(x)=<e-x2婦,在x=0處任何階導(dǎo)數(shù)都等于0，即fn(0)=0,n=1,2,3...,所以f(x)在x=0的泰勒級(jí)數(shù)為0+0Xx+—x2+...+-0xn+....2! n!顯然它在(-3,+反上收斂，且其和函數(shù)S(x)=0。由此看到，對(duì)一切x。0都有f(x)。S(xX

這個(gè)例子說明，具有任何階段的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，其泰勒級(jí)數(shù)并不是都能收斂函數(shù)本身。即在(1)式中不可以改“?”號(hào)為“=”。反之，若有幕級(jí)數(shù)男a(x-x)在x點(diǎn)0 0n=1附近一一致收斂(或收斂)于函數(shù)f(x)的Taylor級(jí)數(shù)展開式。定義2設(shè)函數(shù)f(x)在［-兀,兀］上可積，由a=~L"f(x)cosnxdx,(n=0,1,2,...)n兀一兀b=1"f(x)sinnxdx,(n=0,1,2,...)n兀一兀所確定的數(shù)a與b稱為函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)，用這些做成三角函數(shù)(2)(2)-^o+男(aconx+(2)(2)n=1f(x)—20+f(x)—20+為(acosnx+bsinnx)n=1于是，在［-兀,兀］上的可積函數(shù)f(x)，一定存在其相應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)，但是傅里葉級(jí)數(shù)不一定收斂于函數(shù)f(x)，即在不可以將“?〃換成“=”號(hào)，反之若有［-兀,兀］上的三角函數(shù)-20+為(acosnx+bsinnx)n=1一致收斂于函數(shù)f(x)，則此級(jí)數(shù)一定是傅里葉級(jí)數(shù)的展開式。結(jié)論1如果兩函數(shù)f(x)與g(x)在x的某領(lǐng)域中有相同的值，則不論它們?cè)谶@領(lǐng)域外的0值是怎么樣的，它們的傅里葉級(jí)數(shù)在x0處同時(shí)收斂散，而且收斂時(shí)有相同的和，考慮到f(x)的傅里葉系數(shù)a與b是由f(x)在整個(gè)區(qū)間［-兀，兀］所確定，上述這個(gè)局部化結(jié)果是出乎意料的，這說明了傅里葉級(jí)數(shù)的優(yōu)越性。比較可知，函數(shù)f(x)相應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)的存在性的條件要比函數(shù)相應(yīng)幕級(jí)數(shù)的條件更低。即可寫成其相應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)的函數(shù)要比相應(yīng)的幕級(jí)數(shù)的函數(shù)更多。1.2在級(jí)數(shù)的收斂性問題上在(1)，(2)式中，什么時(shí)候“?”號(hào)為“=”號(hào)呢？即在什么時(shí)候級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)呢？有結(jié)論2若函數(shù)f3)是以2兀為周期的分段函數(shù)，則函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)處處收斂，且有尤(acosnx+bsinnx)nn=1該結(jié)論的條件可以降低，從而可以建立一些更精細(xì)的判別法具有分段光滑的函數(shù)類更廣泛的函數(shù)類的展開為傅里葉級(jí)數(shù)的收斂問題。定理(傅里葉收斂的充分條件，Dini判別法)設(shè)f(x)是周期為2兀且在［-兀,兀］上可積或絕對(duì)可積得函數(shù)，對(duì)某個(gè)實(shí)數(shù)s，令中(t)=f(X0+1)+f(x0-1)-2s，如果對(duì)〉0，使得函數(shù)業(yè)在「-兀,兀］上可積或絕對(duì)可積，則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在xt「 0處收斂于s從Dini判別法可以推導(dǎo)一些便于運(yùn)用的判別法。當(dāng)f(x)在x處為第一類間斷點(diǎn)時(shí)，f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于0廠一f,一 一f,-—f(x+0)+f(x-0)］0 0n特別的，當(dāng)f(x)在x0處連續(xù)時(shí)，f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x0處收斂于f(x)。推論2,如果周期為2兀的函數(shù)f(x)在［-兀,兀］上是分段可導(dǎo)的，則f(x)的1傅里葉級(jí)數(shù)在每點(diǎn)x處收斂于2〔f(x+0)+f(x-0)］特別的，在f(x)連續(xù)點(diǎn)收斂于f(x)。0結(jié)論3若函數(shù)f(x)在x0處有任意階導(dǎo)數(shù)則函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)附近展開成Taylor級(jí)數(shù)的充分必要條件是limR(X)=0,其中，R(x)為Taylor級(jí)數(shù)的xT3n余項(xiàng)。由此可看到，只要f(x)是周期為2兀的函數(shù)，且在［-兀,兀］上有一階導(dǎo)數(shù)，就可以將它展開成傅里葉級(jí)數(shù)，而幕級(jí)數(shù)展開的必要條件是f(x)為有任意階導(dǎo)數(shù)存在

的函數(shù)，從這點(diǎn)看，傅里葉級(jí)數(shù)比幕級(jí)數(shù)優(yōu)越。1.3在級(jí)數(shù)的不唯一性問題上將給定的可積函數(shù)f3)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，可根據(jù)不同的情況，不同的區(qū)間，函數(shù)要研究的不同形式，而展開成不同的形式。從而更好的研究函數(shù)。在這方面傅里葉級(jí)數(shù)比幕級(jí)數(shù)更優(yōu)越。因?yàn)槟患?jí)數(shù)展開相對(duì)來說比較狹隘。其中常見的有以下幾種。(1)若函數(shù)f3)是以2兀為周期的函數(shù)，則可由n兀"f(x)sinnxdx,(n=0,1,2,...)n兀一兀求出相應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)nn=1寸+￥(acosnx+bnn=1然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及相應(yīng)的收斂定理寫出函數(shù)f(x)的傅里葉展開式，同時(shí)注明收斂區(qū)間。(2)若函數(shù)只在［-兀,兀］上給出，則用周期開拓的辦法歸結(jié)為(1)，但收斂期間只在［—兀,兀］上考慮。例2設(shè)函數(shù)是f(x)=|sinx|，一丸＜x〈丸,求f(x)的傅里葉展開式。解f解f(x)是［-兀,兀］的偶函數(shù)，如圖就是這函數(shù)及周期延拓的圖形，由于f(x)是22L.,=—尸sinxcosnxdx=兀o'0,n=3,5,...<4 1 (n=0,1,2,...)一— 兀n2—1,

TOC\o"1-5"\h\z2R. ?，八Jsinnxsinxdx=012兄cos2mx

-m=12兄cos2mx

-m=14m^i一8<x<+8因此sinx=一_一" cos2mx=—兀兀14m2-1 兀(3)對(duì)于之在(0,兀)上定義的函數(shù)，如何展開成傅里葉級(jí)數(shù)呢？這時(shí)，在(。,兀)上可以任意補(bǔ)充f(x)的定義，使f(x)在上定［-兀,兀］上有定義，然后在以2兀為周期的函數(shù)延拓到整個(gè)數(shù)軸上。對(duì)于不同的延拓，得到的傅里葉級(jí)數(shù)自然不一樣，但在(0,兀)上，它們都收斂于同一函數(shù)，而奇性延拓和偶性延拓是最常好、見得兩種方法。在奇延拓下，函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)呈現(xiàn)形如男bsinnx的形式。稱之nn=1為函數(shù)的正弦函數(shù)。在偶函數(shù)延拓下的函數(shù)函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)呈現(xiàn)形如男acosnx的形式，稱之為函數(shù)的余弦函數(shù)。nn=1(4)若函數(shù)f(x)是以21為周期的函數(shù)，可a=1f1f(x)cos號(hào)^dx,(n=0,1,2,...)b=1J1f(x)sinn^xdx,(n=0,1,2,...)求出相應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)為：芻+男(acos陽+bsin四)2n1n1n1總上所述，對(duì)于函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開，因考慮的區(qū)間性質(zhì)不同，而展開的傅里葉級(jí)數(shù)也不一樣，這充分說明了傅里葉級(jí)數(shù)給研究函數(shù)提供了方便，對(duì)研究函數(shù)提供了更為廣泛的空間，從而使我們更好的研究函數(shù)，廣泛的用于工業(yè)上，是我們更為有利的條件。但是幕級(jí)數(shù)的展開式，形式很唯一，其方法也是唯一的。若函數(shù)f(x)在x0附近能展開成幕級(jí)數(shù)的形式，則它一定是Taylor級(jí)數(shù)的形式