高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué)(新)第九章兩個(gè)平面垂直

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精9.5兩個(gè)平面垂直鞏固·夯實(shí)基礎(chǔ)一、自主梳理1。二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面圍成的圖形叫做二面角。2.二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。3.兩個(gè)平面垂直的定義：如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直.4。兩個(gè)平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。5。兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個(gè)平面。二、點(diǎn)擊雙基1.在三棱錐A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD,△BCD是銳角三角形，那么必有(）A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD。平面ABC⊥平面BCD解析：由AD⊥BC，BD⊥ADAD⊥平面BCD,面AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.答案:C2.直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=a，則點(diǎn)A到平面A1BC的距離是(）A。aB.aC。aD.a解析：取A1C的中點(diǎn)O，連結(jié)AO?！逜C=AA1,∴AO⊥A1C。又該三棱柱是直三棱柱,∴平面A1C⊥平面ABC。又∵BC⊥AC，∴BC⊥AO.因此AO⊥平面A1BC，即A1O等于A到平面ABC的距離。解得A1O=a。答案:C3。設(shè)兩個(gè)平面α、β，直線l，下列三個(gè)條件：①l⊥α;②l∥β；③α⊥β.若以其中兩個(gè)作為前提，另一個(gè)作為結(jié)論，則可構(gòu)成三個(gè)命題,這三個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為()A。3B。2C.1D.0解析：α⊥β；l∥β;l⊥α，選C。答案：C4。在正方體ABCD—A1B1C1D1中,截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值為____________________________。答案：5。夾在互相垂直的兩個(gè)平面之間長(zhǎng)為2a的線段和這兩個(gè)平面所成的角分別為45°和30°，過這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別向這兩個(gè)平面的交線作垂線,則兩垂足間的距離為____________。解析:如圖，平面α⊥β，α∩β=l，A∈α,B∈β，AB=2a。AC⊥l于點(diǎn)C，BD⊥l于點(diǎn)D,則CD即為所求.∵α⊥β,AC⊥l，∴AC⊥β,∠ABC就是AB與平面β所成的角.故∠ABC=30°.故AC=a.同理，在Rt△ADB中求得AD=a。在Rt△ACD中,CD==a。答案：a誘思·實(shí)例點(diǎn)撥【例1】如圖,在三棱錐S—ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.(1）求證：AB⊥BC;(2）若設(shè)二面角S-BC—A為45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小.（1）證明：作AH⊥SB于H,∵平面SAB⊥平面SBC,∴AH⊥平面SBC.又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC.SA在平面SBC上的射影為SH,∴BC⊥SB。又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB。(2）解：∵SA⊥平面ABC,∴平面SAB⊥平面ABC。又平面SAB⊥平面SBC，∴∠SBA為二面角S-BC-A的平面角?！唷蟂BA=45°.設(shè)SA=AB=BC=a.作AE⊥SC于E,連結(jié)EH，則EH⊥SC,∠AEH為二面角ASCB的平面角，AH=a，AC=a,SC=a，AE=a,∴sin∠AEH=，二面角A-SC—B為60°.鏈接·聚焦證明兩個(gè)平面垂直的常見方法：(1）根據(jù)定義,證其二面角的平面角是直角；（2）根據(jù)判定定理，證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線.【例2】已知△ABC在平面α內(nèi),點(diǎn)P平面α,PA=PB=PC=a,∠BPC=β，∠APC=γ,∠APB=θ且cosβ+cosγ=1+cosθ.（1)求證:平面PAB⊥α;(2）設(shè)PA中點(diǎn)為M,P在α上的射影為O，O在AC上的射影為N，求證：平面OMN∥平面PBC。剖析:（1）由于PA=PB=PC,我們尋找與平面α垂直的直線；（2）利用面面平行的判定定理，證平面OMN中有兩條相交直線平行于平面PBC。證明：（1）由cosβ+cosγ=1+cosθ及余弦定理可得,BC2+AC2=AB2，即∠ACB=90°。又由PA=PB=PC可知，線段PA、PB、PC在平面α上的射影長(zhǎng)也相等,因此,P在α上的射影應(yīng)是△ABC的外心,即斜邊AB的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，則PO⊥α,而PO平面PAB,∴平面PAB⊥α。(2)∵PA=PB，PO⊥AB，∴AO=OB.又ON⊥AC，BC⊥AC，∴ON∥BC.∴ON∥平面PBC。又OM為△PAB的中位線，∴OM∥PB?！郞M∥平面PBC.而OM、ON是平面OMN內(nèi)兩條相交直線，∴平面OMN∥平面PBC。講評(píng)：要熟練掌握射影與三角形心的關(guān)系:設(shè)平面ABC外一點(diǎn)P在其上的射影為O,若P到三頂點(diǎn)距離相等，則O是外心；若P到三邊距離相等,則O是內(nèi)心;若兩組對(duì)棱分別垂直，則O是垂心.【例3】已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若過面對(duì)角線AB1與另一面對(duì)角線BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一邊A1C1于點(diǎn)D。(1）確定D的位置，并證明你的結(jié)論;(2)證明平面AB1D⊥平面AA1D;（3)若AB∶AA1=,求平面AB1D與平面AB1A1所成角的大小.剖析:本題的結(jié)論是“開放性”的，點(diǎn)D位置的確定如果僅憑已知條件推理難以得出。由于AB1與BC1這兩條面對(duì)角線是相鄰兩側(cè)面上的異面直線，于是可考慮將BC1沿BA平行移動(dòng)，BC1取AE1位置，則平面AB1E1一定平行于BC1，問題可以解決.（1)解:如圖，將正三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成一直平行六面體ABCE—A1B1C1E1，由AE1∥BC1，AE1平面AB1E1，知BC1∥平面AB1E1，故平面AB1E1應(yīng)為所求平面，此時(shí)平面AB1E1交A1C1于點(diǎn)D，由平行四邊形對(duì)角線互相平行性質(zhì)知，D為A1C1的中點(diǎn)。(2）證明：連結(jié)AD,從直平行六面體定義知AA1⊥底面A1B1C1D1，且從A1B1C1E1是菱形知，B1E1⊥A1C1，據(jù)三垂線定理知,B1E1⊥AD。又AD∩A1C1=D，所以B1E1⊥平面AA1D。又B1E1平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面AA1D。（3）解:因?yàn)槠矫鍭B1D∩平面AA1D=AD，所以過A1作A1H⊥AD于點(diǎn)H.作HF⊥AB1于點(diǎn)F,連結(jié)A1F,從三垂線定理知A1F⊥AB1.故∠A1FH是二面角A1AB1D的平面角。設(shè)側(cè)棱AA1=1，側(cè)棱AB=.于是AB1==。在Rt△AB1A1中,A1F===,在Rt△AA1D中，AA1=1，A1D=A1C1=,AD==.則A1H==.在Rt△A1FH中，sin∠A1FH==,所以∠A1FH=45°。因此可知平面AB1D與平面AB1A1所成角為45°或135°。講評(píng):本題主要考查棱柱的性質(zhì)，以及面面關(guān)系、二面角的計(jì)算,同時(shí)考查空間想象能力和綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。鏈接·提示1.開放性問題已進(jìn)入高考試卷中,近年來，全國及上海市多次考查開放題，解開放題并將經(jīng)驗(yàn)與解題技巧相結(jié)合,并要有較熟練的基礎(chǔ)知識(shí)和“圖形意識(shí)”,并能將典型圖形靈活應(yīng)用到解題中去。2.立體幾何的計(jì)算