概率論與統計bc課件第四章401數學期望

第四章隨機變量的數字特征一、隨機變量的數學期望二、隨機變量函數的數學期望三、數學期望的性質四、小結第一節(jié)

數學期望擊中環(huán)數8910概率0.30.10.6一、隨機變量的數學期望1.

離散型隨機變量的數學期望例1

誰的技術比較好?甲,乙兩個射手,他們的射擊技術分別為甲射手乙射手擊中環(huán)數8910概率0.20.50.3解E(X1

)=8

·

0.3

+9

·

0.1

+10

·

0.6

=9.3(環(huán)),E(X

2

)=8

·

0.2

+9

·

0.5

+10

·

0.3

=9.1(環(huán)),故甲射手的技術比較好.設甲,乙射手擊中的環(huán)數分別 為

X

1

,

X

2

.試問哪個射手技術較好?定義設離散型隨機變量X

的分布律為P{

X

=

xk

}

=

pk

,

k

=

1,2,.￥k

=1￥￥k

=1的和為隨機變量X

的數學期望,記為E(X

).即E(

X

)

=

xk

pk.k

=1xk

pkk

kx

p

絕對收斂,則稱級數若級數關于定義的幾點說明E(X)是一個實數,而非變量,它是一種加權平均,與一般的平均值不同

,它從本質上體現了隨機變量

X

取可能值的真正平均值,

也稱均值.級數的絕對收斂性保證了級數的和不隨級數各項次序的改變而改變,之所以這樣要求是因為數學期望是反映隨機變量X

取可能值的平均值,它不應隨可能值的排列次序而改變.隨機變量的數學期望與一般變量的算術平均值不同.例2

如何確定投資決策方向?某人有10萬元現金,想投資于某項目,欲估成功的機會為30%,可得利潤8萬元,失敗的機會為70%,將損失2

萬元.若存入銀行,同期間的利率為5%,問是否作此項投資?解設X

為投資利潤,則E(X

)=8

·

0.3

-2

·

0.7

=1(萬元),存入銀行的利息:10

·

5%=0.5(萬元),故應選擇投資.Xp8-

20.3

0.7例3

二項分布設隨機變量X服從參數為n,p二項分布,其分布律為=

0,1,2,,

n),0

<

p

<

1.n

k

P{

X

=

k}

=

pk

(1

-

p)n-k,(k則有P{

X

=

k}nE(

X

)

=

kk

=0knk

=0kn-k

n

k

p

(1

-

p)=kn-knp

(1

-

p)kn!k!(n

-

k

)!=k

=0-

1)]!(

n-1)-(

k

-1)k

-1p

(1

-

p)(k

-

1)![(nnp(n

-

1)!-

1)

-

(k(n

-

1)!=nk

=1=

np[

p

+

(1

-

p)]n-1=np則兩點分布B(1,p)的數學期望為p.(

n-1)-(

k

-1)k

-1p

(1

-

p)(k

-

1)]!(k

-

1)![(n

-

1)

-nk

=1=

np例4

泊松分布l

>

0.k

=

0,1,2,,e-l

,k!lk￥P{

X

=

k}

=則有E(

X

)

=

kk

=0k!lk￥k

=1

(k

-

1)!e-l

=

e-l

lk

-1lel=

le-l=

ll.設

X

~

P(l),

且分布律為2.連續(xù)型隨機變量數學期望的定義-￥￥-￥E

(

X

)

=

x

p(

x)

dx.變量X

的數學期望,記為E

(X

).即￥x

p(x)d

x

的值為隨機絕對收斂,則稱積分-￥x

p(

x)

d

x定義設連續(xù)型隨機變量X

的概率密度為p(x),若積分￥例5

顧客平均等待多長時間?設顧客在某銀行的窗口等待的服務的時間X(以分計)服從指數分布,其概率密度為

0,x

>

0,x

￡

0.p(

x)

=

51

e-

x

5

,解￥-￥E(

X

)

=x51e-x

5

d

x=5(分鐘).0試求顧客等待服務的平均時間?￥x

p(

x)

d

x

=因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務.例6

均勻分布設

X

~

U

(a,b),其概率密度為則有E(

X

)

=￥-￥bxp(

x)

d

x

=

a

b

-

ax

d

x1=

11

((aa

++

bb))..22結論：均勻分布的數學期望位于區(qū)間的中點.0,p(

x)

=

b

-

a,

a

<

x

<

b,其它.1其中l(wèi)

>0.x

>

0,x

￡

0.p(

x)

=

0,例7

指數分布設隨機變量X

服從指數分布,其概率密度為le-lx

,則有E(

X

)

=xp(

x)

d

x￥-￥-lxx

le

d

x￥=0=

1

.le

d

x=

-

xe-lx-lx00￥￥+例8

正態(tài)分布設

X

~

N

(

μ,σ

2

),

其概率密度為則有xp(

x)

d

xE(

X

)

=￥-￥d

xe2pσx2σ

2(

x-

μ

)21-￥-￥=σ令

x

-

μ

=

t

x

=

μ

+

σ

t,-

￥

<

x

<

￥

.p(

x)

=-e

,

σ

>

0,(

x

-

μ

)22p

σ2σ

21=

μμ.可見,N

(m,s

2

)中的m正是它的數學期望.te

d

tσ=

μ1￥-￥2-t2￥-￥2-t2e

d

t

+2p

2pd

xe2pσx所以

E(

X

)

=2σ2(

x-μ)21-￥-￥t222p1-(μ

+

σt)e

dt￥-￥=1.

離散型隨機變量函數的數學期望若X為離散型隨機變量，分布律為Y=f(X)為X的函數P{

X

=

xk

}

=

pk

,

(k

=

1,2,),則Y的期望為￥E(

f

(

X

))

=

f

(

xk

)

pk

.k

=1二、隨機變量函數的數學期望2.

連續(xù)型隨機變量函數的數學期望若X

是連續(xù)型的,它的概率密度為p(x)則f

(

x)

p(

x)

d

x.E(

f

(

X

))

=￥-￥3.

二維隨機變量函數的數學期望(1)

設

X

,Y

為離散型隨機變量

,

f

(

x,

y)

為二元函數,

則

E

[f

(

X

,Y

)]

=

f

(

xi

,

y

j

)

pij

.i

j其中(X

,Y

)的聯合概率分布為pij

.f

(

x,

y)p(

x,

y)

d

x

d

y.E[

f

(

X

,Y

)]

=￥

￥-￥

-￥(2)

設

X

,

Y

為連續(xù)型隨機變量

,

f

(

x,

y)

為二元函數,

則其中(X

,Y

)的聯合概率密度為p(x,y).E(

X

)

=xp(x,

y)dxdyX+￥

+￥

+￥-￥-￥

-￥xp

(x)dx

=

E(Y

)

=ypY

(

y)dy

=yp(x,

y)dxdy+￥+￥

+￥-￥-￥-￥X123p0.40.20.4解X

的分布律為Y

X123-

10.20.1000.100.310.10.10.1求:

E(

X

),

E(Y

),

E(Y X

),

E[(

X

-

Y

)2

].例9

設

(X

,Y)

的分布律為得

E(Y

)

=

-1·

0.3

+

0

·

0.4

+

1·

0.3

=

0.由于Y-

101p0.30.40.3得

E(

X

)

=

1·

0.4

+

2

·

0.2

+

3

·

0.4

=

2.Y

的分布律為p0.20.10.10.10.10.30.1(

X

,Y

)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,1)(3,0)(3,1)Y

X-

101-

1

21

201

3p0.20.10.10.10.10.30.1(

X

,Y

)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,1)(3,0)(3,1)(

X

-

Y

)24109194得E[(X

-Y

)2

]=4

·

0.3

+1·

0.2

+0

·

0.1

+9

·

0.4=

5.1

0.1+1·0.1+0·0.3+1·0.12

3

XE

Y

=-1·0.2+0·0.1+1·0.1-

·2于是15=

1

.1.

設C是常數,則有E(C

)

=

C

.證明E(

X

)

=

E(C

)

=

1

·C

=

C

.2.

設X

是一個隨機變量,C

是常數,則有E(CX

)

=

CE(

X

).證明E(CX

)

=

Cxk

pk

=

C

xk

pk

=

CE(

X

).k

k例如

E(

X

)

=

5,

則

E(3

X

)

=

3E(

X

)

=

3

·5

=

15.三、數學期望的性質k

k4.

設X、Y

是相互獨立的隨機變量,則有E(

XY

)

=

E(

X

)E(Y

).說明

連續(xù)型隨機變量

X

的數學期望與離散型隨機變量數學期望的性質類似.3.

設

X、Y

是兩個隨機變量,

則有E

(

X

–Y

)

=

E

(

X

)

–

E

(Y

).證明E(

X

+

Y

)

=

(

xk

+

yk

)pk推廣n

nk=

xk

pk

+

yk

pk

=

E

(

X

)

+

E

(Y

).E(

ai

Xi

)

=

ai

E(

Xi

).i

=1

i

=1四、小結數學期望是一個實數,而非變量,它是一種加權平均,與一般的平均值不同,它從本質上體現了隨機變量X

取可能值的真正的平均值.數學期望的性質400010E(C

)

=

C;E(CX

)

=

CE(

X

);E(

X

+

Y

)

=

E(

X

)

+

E(Y

);X

,Y

獨立

E(XY

)=E(X

)E(Y

).3.

常見離散型隨機變量的數學期望分布分布律E(X)(0-1)分布X~B(1,

p)P{

X

=

k}

=

pk

(1

-

p)1-kk=0,1p二項分布X~B(n,

p)P{X

=

k}

=Ck

pk(1-

p)n-knk=0,1,2,…,nnp泊松分布X

~

P(l)lkP{X=k}=

e

-lk!k=0,1,2,…l4.常見連續(xù)型隨機變量的數學期望分布名稱概率密度E

(

X

)均勻分布X~U[a,b]

1

,

x

?

[a,

b]p(x)=b

-

a0,

其他a

+

b2正態(tài)分布X

~

N

(m,s

2

)(

x

-m

)2p(x)=

1 e-

2s

22psm指數分布X

~

E

(l

)le-lx

,

x

>

0p(x)=0,

其他(l

>

0)1l例1

每人該交多少保險費?根據生命表知,某年齡段保險者里,一年中每個人死亡的概率為0.002,現有10000個這類人參加人壽保險,若在死亡時家屬可從保險公司領取2000元賠償金.問每人一年須交保險費多少元?備份題解設1年中死亡人數為X

,

則

X

~

b(10000,0.002)(0.002)

(1

-

0.002)10000-k10000

k

=0k

E(

X

)

=1000kk=20(人).被保險人所得賠償金的期望值應為20

·

2000

=40000(元).若設每人一年須交保險費為a

元,由被保險人交的“純保險費”與他們所能得到的賠償金的期望值相等知10000a

=40000

a

=4(元),故每人1年應向保險公司交保險費4元.解E(2

X

3

+

5)

=

2E(

X

3

)

+

E(5)=

2E(

X

3

)

+

5,12

121

103又E(X

3

)=(-2)3

·+333

1

3

1

1·

2

+

1

· +

3

·

=

-

,31

+

5

=

13

.

故E(2

X

3

+5)=2E(X

3

)+5

=2

·

-3例2

設求:

E(2

X

3

+

5).-

2

0

1