材料力學(xué)土木類第三章扭轉(zhuǎn)

材料力學(xué)土木類第三章扭轉(zhuǎn)第一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日§3-1概述工程實(shí)例第二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)A桿各橫截面繞桿的軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；桿表面上的縱向線變成螺旋線。受力特點(diǎn)：圓截面直桿受到一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于桿的軸線的外力偶作用變形特點(diǎn)：Me

Me

實(shí)際構(gòu)件工作時(shí)除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外，還常伴隨有彎曲、拉壓等其他變形。第三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日§3-2傳動(dòng)軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖Ⅰ、傳動(dòng)軸的外力偶矩傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速n；某一輪上所傳遞的功率P(kW)作用在該輪上的外力偶矩Me。已知：求：一分鐘內(nèi)該輪所傳遞的功率等于其上外力偶矩所作的功：Me1

Me2

Me3

n從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪第四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日傳動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速n

、功率P及其上的外力偶矩Me之間的關(guān)系：主動(dòng)輪上的外力偶矩轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)向相同，從動(dòng)輪上的外力偶矩轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)向相反。Me1

Me2

Me3

n從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪第五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日Ⅱ、扭矩及扭矩圖圓軸受扭時(shí)其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用符號(hào)T表示。扭矩大小可利用截面法來(lái)確定。11TTMe

Me

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11x第六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日扭矩的符號(hào)規(guī)定按右手螺旋法則確定:扭矩矢量離開截面為正，指向截面為負(fù)。仿照軸力圖的做法，可作扭矩圖，表明沿桿軸線各橫截面上扭矩的變化情況。TTTTT(+)T(-)第七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日11TTMe

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11xMeT圖+第八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3-1一傳動(dòng)軸如圖，轉(zhuǎn)速n=300r/min；主動(dòng)輪輸入的功率P1=500kW，三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。試作軸的扭矩圖。第九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日首先必須計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩解：221133M1

M2

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ABCD第十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日分別計(jì)算各段的扭矩221133M1

M2

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ABCDT111xM2AT2AM2

BM3

22xT333DM4

x第十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日扭矩圖Tmax=9.56kN·m在BC段內(nèi)M1

M2

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ABCD4.789.566.37T圖(kN·m)第十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日§3-3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)——通常指的圓筒，可假定其應(yīng)力沿壁厚方向均勻分布內(nèi)力偶矩——扭矩T薄壁圓筒nnMeMe

dlTMe

nndr0第十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)A筒兩端截面之間相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角相對(duì)扭轉(zhuǎn)角表面正方格子傾斜的角度—直角的改變量切應(yīng)變即gjABDCMe

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薄壁圓筒受扭時(shí)變形情況：gABCDB1A1D1

C1

D'D1'C1'C'第十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日Me

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圓周線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，其形狀、大小、間距不變；表面變形特點(diǎn)及分析：——橫截面在變形前后都保持為形狀、大小未改變的平面，沒(méi)有正應(yīng)力產(chǎn)生所有縱向線發(fā)生傾斜且傾斜程度相同?！獧M截面上有與圓軸相切的切應(yīng)力且沿圓筒周向均勻分布gjABDC第十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日Me

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1、橫截面上無(wú)正應(yīng)力；2、只有與圓周相切的切應(yīng)力，且沿圓筒周向均勻分布；薄壁圓筒橫截面上應(yīng)力的分布規(guī)律分析：gjABDCgABCDB1A1D1

C1

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r0xt3、對(duì)于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚也均勻分布。第十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式：靜力學(xué)條件因薄壁圓環(huán)橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等得tdAnnMe

r0xdr0第十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日剪切胡克定律由前述推導(dǎo)可知薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)曲線Me

Me

gjABDC第十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日鋼材的切變模量值約為：這就是剪切胡克定律其中：G——材料的切變模量tp——剪切屈服極限第十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日§3-4等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力·強(qiáng)度條件Ⅰ、橫截面上的應(yīng)力（一）幾何方面相鄰圓周線繞桿的軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但圓周的大小、形狀、間距都未變；縱向線傾斜了同一個(gè)角度g，表面上所有矩形均變成平行四邊形。g(a)Me

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(b)第二十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日桿的橫截面上只有垂直于半徑的切應(yīng)力，沒(méi)有正應(yīng)力產(chǎn)生。平面假設(shè)等直圓桿受扭轉(zhuǎn)時(shí)其橫截面如同剛性平面一樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。推論：(a)gMe

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(b)第二十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日gMe

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djgD'G'GETTO1O2ababdxDAgrrdjgD'G'GEO1O2DAgrrdxd橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置的變化規(guī)律第二十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日即相對(duì)扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)的變化率，對(duì)于給定的橫截面為常量djgD'G'GETTO1O2ababdxDAgrrdjgD'G'GEO1O2DAgrrdxd第二十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日剪切胡克定律（二）物理方面（三）靜力學(xué)方面稱為橫截面的極慣性矩trdA

trdA

rrrO令得T第二十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日Od等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力計(jì)算公式rtmaxtrtmaxT第二十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日發(fā)生在橫截面周邊上各點(diǎn)處。稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)最大切應(yīng)力tmaxtmax令即OdrtrT第二十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日同樣適用于空心圓截面桿受扭的情形tmaxtmaxODdTrtr第二十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日（四）圓截面的極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp實(shí)心圓截面：Odrrd第二十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日空心圓截面：DdrrOd第二十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日注意：對(duì)于空心圓截面DdrrOd第三十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日此處為以橫截面、徑截面以及與表面平行的面從受扭的等直圓桿表面處截取一微小的正六面體（五）單元體·切應(yīng)力互等定理單元體——Me

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xyzabOcddxdydzt'ttt'自動(dòng)滿足存在t'得第三十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日單元體的兩個(gè)相互垂直的截面上，與該兩個(gè)面的交線垂直的切應(yīng)力數(shù)值相等，且均指向(或背離)兩截面的交線。切應(yīng)力互等定理單元體在其兩對(duì)互相垂直的平面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。dabctt't'txyzabOcddxdydzt'ttt'第三十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3-2實(shí)心圓截面軸Ⅰ和空心圓截面軸Ⅱ(a=d2/D2=0.8)的材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩Me和長(zhǎng)度l

均相同。試求在兩圓軸橫截面上最大切應(yīng)力相等的情況下，D2/d1之比以及兩軸的重量比。(a)

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d1lⅠMe

(b)

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lⅡD2d2第三十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：已知得第三十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日兩軸的重量比可見空心圓軸的自重比實(shí)心圓軸輕。討論：為什么說(shuō)空心圓軸比實(shí)心圓軸更適合于做受扭構(gòu)件？第三十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日Ⅱ、斜截面上的應(yīng)力假定斜截面ef的面積為dAaefdabctt't'txant'ttaahxsafebax第三十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日討論：1、2、此時(shí)切應(yīng)力均為零。ft'attaebahxsax解得t'tt'tx45°45°smaxsmaxsminsmin第三十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日Ⅲ、強(qiáng)度條件等直圓軸材料的許用切應(yīng)力第三十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3-3圖示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩MA=22kN?m，MB=36kN?m，MC=14kN?m。材料的許用切應(yīng)力[t]=80MPa，試校核該軸的強(qiáng)度。解：1、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖2214T圖（kN·m）MA

MBⅡⅠMC

ACB第三十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日BC段AB段2、計(jì)算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度即該軸滿足強(qiáng)度條件。2214T圖（kN·m）第四十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2