【中考數(shù)學(xué)】近年中考數(shù)學(xué)壓軸題大集合(全集)

近年中考數(shù)學(xué)壓軸題大集合（一）一、函數(shù)與幾何綜合的壓軸題1.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足分別為B、D且AD與B相交于E點(diǎn).已知：A(-2,-6),C(1,-3)求證：E點(diǎn)在y軸上；如果有一拋物線經(jīng)過(guò)A，E，C三點(diǎn)，求此拋物線方程.如果AB位置不變，再將DC水平向右移動(dòng)k(k>0)個(gè)單位，此時(shí)AD與BC相交于E′點(diǎn)，如圖②，求△AE′C的面積S關(guān)于k的函數(shù)解析式.圖②圖②C（1+k，-3）A（2，-6）BDOxE′yC（1，-3）A（2，-6）BDOxEy圖①圖①[解]（1）（本小題介紹二種方法，供參考）方法一：過(guò)E作EO′⊥x軸，垂足O′∴AB∥EO′∥DC∴又∵DO′+BO′=DB∴∵AB=6，DC=3，∴EO′=2又∵，∴∴DO′=DO，即O′與O重合，E在y軸上方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直線方程：y=2x-2①再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直線方程：y=-x-2②聯(lián)立①②得∴E點(diǎn)坐標(biāo)（0，-2），即E點(diǎn)在y軸上（2）設(shè)拋物線的方程y=ax2+bx+c(a≠0)過(guò)A（-2，-6），C（1，-3）E（0，-2）三點(diǎn)，得方程組解得a=-1,b=0,c=-2∴拋物線方程y=-x2-2（3）（本小題給出三種方法，供參考）由（1）當(dāng)DC水平向右平移k后，過(guò)AD與BC的交點(diǎn)E′作E′F⊥x軸垂足為F。同（1）可得：得：E′F=2方法一：又∵E′F∥AB，∴S△AE′C=S△ADC-S△E′DC===DB=3+kS=3+k為所求函數(shù)解析式方法二：∵BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA∴S△AE′C=S△BDE′∴S=3+k為所求函數(shù)解析式.證法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4∴∴S=3+k為所求函數(shù)解析式.2.已知：如圖，在直線坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M（1，0）為圓心、直徑AC為的圓與y軸交于A、D兩點(diǎn).（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線y＝x＋b與x軸交于點(diǎn)B.探究：直線AB是否⊙M的切線？并對(duì)你的結(jié)論加以證明；（3）連接BC，記△ABC的外接圓面積為S1、⊙M面積為S2，若，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)B、M兩點(diǎn)，且它的頂點(diǎn)到軸的距離為.求這條拋物線的解析式.[解]（1）解：由已知AM＝，OM＝1，在Rt△AOM中，AO＝，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（0，1）（2）證：∵直線y＝x＋b過(guò)點(diǎn)A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1∴y＝x＋1令y＝0則x＝－1∴B（—1，0），AB＝在△ABM中，AB＝，AM＝，BM＝2∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°∴直線AB是⊙M的切線（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝∵∠BAC＝90°∴△ABC的外接圓的直徑為BC，ABCDABCDxM·y而，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（—1，0）、M（1，0）的拋物線的解析式為：y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5∴拋物線的解析式為y＝5x2－5或y＝－5x2＋5解法二：（接上）求得∴h＝5由已知所求拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（—1，0）、M（1、0），則拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，由題意得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±5）∴拋物線的解析式為y＝a（x－0）2±5又B（－1,0）、M（1,0）在拋物線上，∴a±5＝0，a＝±5∴拋物線的解析式為y＝5x2－5或y＝－5x2＋5解法三：（接上）求得∴h＝5因?yàn)閽佄锞€的方程為y＝ax2＋bx＋c（a≠0）由已知得∴拋物線的解析式為y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.3.ABCOxy·P（1，－1）ABCOxy·P（1，－1）[解]（1）如圖，連結(jié)PB，過(guò)P作PM⊥x軸，垂足為M.在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°長(zhǎng)＝ABCOxyP（1，－1）·M（2）在Rt△PMB中，PB=2,PMABCOxyP（1，－1）·M又OM=1，∴A（1－，0），B（1＋，0），由拋物線及圓的對(duì)稱(chēng)性得知點(diǎn)C在直線PM上，則C(1，－3).點(diǎn)A、B、C在拋物線上，則解之得拋物線解析式為（3）假設(shè)存在點(diǎn)D，使OC與PD互相平分，則四邊形OPCD為平行四邊形，且PC∥OD.又PC∥y軸，∴點(diǎn)D在y軸上，∴OD＝2，即D（0，－2）.又點(diǎn)D（0，－2）在拋物線上，故存在點(diǎn)D（0，－2），使線段OC與PD互相平分..如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C（0，）在軸的正半軸上，A、B是軸上是兩點(diǎn)，且OA∶OB＝3∶1，以O(shè)A、OB為直徑的圓分別交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.直線EF交OC于點(diǎn)Q.AyxBEFO1QAyxBEFO1QOO2C（2）請(qǐng)猜想：直線EF與兩圓有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的猜想.（3）在△AOC中，設(shè)點(diǎn)M是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作MN∥AB交OC于點(diǎn)N.試問(wèn)：在軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PMN是一個(gè)以MN為一直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.BAEFO1QOO2yx2BAEFO1QOO2yx2134NMPC∴△AOC≌△COB.∴OC2＝OA·OB.∵OA∶OB＝3∶1,C(0,),∴∴OB＝1.∴OA＝3.∴A(-3,0),B(1,0).設(shè)拋物線的解析式為則解之，得∴經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為(2)EF與⊙O1、⊙O2都相切.證明：連結(jié)O1E、OE、OF.∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,∴四邊形EOFC為矩形.∴QE＝QO.∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，∴EF與⊙O1相切.同理：EF理⊙O2相切.(3)作MP⊥OA于P，設(shè)MN＝a,由題意可得MP＝MN＝a.∵M(jìn)N∥OA,∴△CMN∽△CAO.∴∴解之，得此時(shí)，四邊形OPMN是正方形.∴∴考慮到四邊形PMNO此時(shí)為正方形，∴點(diǎn)P在原點(diǎn)時(shí)仍可滿足△PNN是以MN為一直角邊的等腰直角三角形.故軸上存在點(diǎn)P使得△PMN是一個(gè)以MN為一直角邊的等腰直角三角形且或5.如圖，已知點(diǎn)A(0，1)、C(4，3)、E(，)，P是以AC為對(duì)角線的矩形ABCD內(nèi)部(不在各邊上)的—個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在y軸，拋物線y＝ax2+bx+1以P為頂點(diǎn)．(1)說(shuō)明點(diǎn)A、C、E在一條條直線上；(2)能否判斷拋物線y＝ax2+bx+1的開(kāi)口方向?請(qǐng)說(shuō)明理由；XOPDCABY(3)設(shè)拋物線y＝ax2+bxXOPDCABY(本題圖形僅供分析參考用)[解]（1）由題意，A(0，1)、C(4，3)確定的解析式為：y=x+1.將點(diǎn)E的坐標(biāo)E(，)代入y=x+1中，左邊=，右邊=×+1=，∵左邊=右邊，∴點(diǎn)E在直線y=x+1上，即點(diǎn)A、C、E在一條直線上.（2）解法一：由于動(dòng)點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)部，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，而點(diǎn)A與點(diǎn)P都在拋物線上，且P為頂點(diǎn)，∴這條拋物線有最高點(diǎn)，拋物線的開(kāi)口向下解法二：∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，且P在矩形ABCD內(nèi)部，∴1＜＜3，由1＜1—得—＞0，∴a＜0，∴拋物線的開(kāi)口向下.XGFOPDECABY（3）連接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3∴GO·AO—FO·AO=3∵OA=1，∴GO—FO=6.設(shè)F（x1,0）、G（x2,0），則x1、x2為方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=＜0，XGFOPDECABY∴GO=x2，F(xiàn)O=—x1，∴x2—（—x1）=6，即x2+x1=6，∵x2+x1=—∴—=6，∴b=—6a,由方程組y=ax2—6ax+1y=x+1得：ax2—（6a+）x=0∴拋物線解析式為：y=ax2—由方程組y=ax2—6ax+1y=x+1得：ax2—（6a+）x=0∴x=0或x==6+.當(dāng)x=0時(shí)，即拋物線與線段AE交于點(diǎn)A，而這條拋物線與線段AE有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則有：0＜6+≤，解得：—≤a＜—綜合得：—＜a＜—∵b=—6a，∴＜b＜0xy6.已知兩點(diǎn)O(0，0)、B(0，2)，⊙A過(guò)點(diǎn)B且與x軸分別相交于點(diǎn)O、C，⊙A被y軸分成段兩圓弧，其弧長(zhǎng)之比為3∶1，直線l與⊙A切于點(diǎn)O，拋物線的頂點(diǎn)在直線l上運(yùn)動(dòng).

（1）求⊙A的半徑；

（2）若拋物線經(jīng)過(guò)O、C兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；

（3）過(guò)l上一點(diǎn)P的直線與⊙A交于C、E兩點(diǎn)，且PC＝CE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（4）若拋物線與x軸分別相交于C、F兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求△PEC的面積關(guān)于m0xy[解](1)由弧長(zhǎng)之比為3∶1，可得∠BAO＝90o再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝eq\r(2)(2)⊙A的切線l過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)l為y＝kx

任取l上一點(diǎn)(b，kb)，由l與y軸夾角為45o可得：

b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1，

∴直線l的解析式為y＝－x或y＝x

又由r＝，易得C(2，0)或C(－2，0)

由此可設(shè)拋物線解析式為y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2)

再把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入l的解析式中得a＝1

∴拋物線為y＝x2－2x或y＝x2＋2x ……6分(3)當(dāng)l的解析式為y＝－x時(shí)，由P在l上，可設(shè)P(m，－m)(m＞0)

過(guò)P作PP′⊥x軸于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2，

又由切割線定理可得：OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分

∴C與P′為同一點(diǎn)，即PE⊥x軸于C，∴m＝－2，E(－2，2)…8分

同理，當(dāng)l的解析式為y＝x時(shí)，m＝－2，E(－2，2)(4)若C(2，0)，此時(shí)l為y＝－x，∵P與點(diǎn)O、點(diǎn)C不重合，∴m≠0且m≠2，

當(dāng)m＜0時(shí)，F(xiàn)C＝2(2－m)，高為|yp|即為－m，

∴S＝

同理當(dāng)0＜m＜2時(shí)，S＝－m2＋2m；當(dāng)m＞2時(shí)，S＝m2－2m；

∴S＝又若C(－2，0)，

此時(shí)l為y＝x，同理可得；S＝AAAB(－2,0)CC(2,0)lOPEP′xy（2,0）PClOyxCFFFPP7.如圖，直線與函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，且與x、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)．（1）若的面積是的面積的倍，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；yx（2）在（1）的條件下，是否存在和，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．若存在，求出和的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．yx[解]（1）設(shè)，(其中)，由，得∴··(····)，，又，∴，即，yx由可得，代入可得①yx∴，，∴，即．又方程①的判別式，∴所求的函數(shù)關(guān)系式為．（2）假設(shè)存在,，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．則，過(guò)、分別作軸的垂線，垂足分別為、．∵與都與互余，∴．∴Rt∽R(shí)t，∴．∴，∴，∴，即②由（1）知，，代入②得，∴或，又，∴或，∴存在,，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且或．8.已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C，且AB=6.（1）求拋物線和直線BC的解析式.（2）在給定的直角坐標(biāo)系中，畫(huà)拋物線和直線BC.（3）若過(guò)A、B、C三點(diǎn)，求的半徑.（4）拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，使被直線BC分成面積比為的兩部分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.xyO[解]（1）由題意得：xyO解得經(jīng)檢驗(yàn)m=1，∴拋物線的解析式為：或：由得，或拋物線的解析式為由得∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）.設(shè)直線BC的解析式為則∴直線BC的解析式為(2)圖象略.（3）法一：在中，.又∴的半徑法二：由題意，圓心P在AB的中垂線上，即在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸直線上，設(shè)P（－2，－h(huán)）（h＞0），連結(jié)PB、PC，則，由，即，解得h=2.的半徑.法三：延長(zhǎng)CP交于點(diǎn)F.為的直徑，又又的半徑為（4）設(shè)MN交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)M的坐標(biāo)為則點(diǎn)E的坐標(biāo)為若則解得（不合題意舍去），若則解得（不合題意舍去），存在點(diǎn)M，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或（15，280）.9.如圖，⊙M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為、，直徑CD⊥x軸于N，直線CE切⊙M于點(diǎn)C，直線FG切⊙M于點(diǎn)F，交CE于G，已知點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為3.若拋物線經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).求直線DF的解析式.是否存在過(guò)點(diǎn)G的直線，使它與（1）中拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于4？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（第27題圖）AyxONMGF（第27題圖）AyxONMGFEDCB∴，m=3.∴拋物線為.又拋物線過(guò)點(diǎn)D，由圓的對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).∴D點(diǎn)坐標(biāo)為.(2)由題意知：AB=4.∵CD⊥x軸，∴NA=NB=2.∴ON=1.由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC，∴NC×4=2×2.∴NC=1.∴C點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)直線DF交CE于P，連結(jié)CF，則∠CFP=90°.∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.∵GC、GF是切線，F(xiàn)BAyxONMGEFBAyxONMGEDCP1234∴∠1=∠2.∴GF=GP.∴GC=GP.可得CP=8.∴P點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)直線DF的解析式為則解得∴直線DF的解析式為：(3)假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)G的直線為，則，∴.由方程組得由題意得，∴.當(dāng)時(shí)，，∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根，方程組無(wú)實(shí)數(shù)解.∴滿足條件的直線不存在.10.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－3，6），并與x軸交于點(diǎn)B（－1，0）和點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P.（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并在下面的坐標(biāo)系中畫(huà)出該二次函數(shù)的圖象；（2）設(shè)D為線段OC上的一點(diǎn)，滿足∠DPC＝∠BAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使以M為圓心的圓與AC、PC所在的直線及y軸都相切？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.[解]（1）解：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A（－3，6），B（－1，0）xOy得解得xOy∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：由解析式可求P（1，－2），C（3，0）畫(huà)出二次函數(shù)的圖像（2）解法一：易證：∠ACB＝∠PCD＝45°又已知：∠DPC＝∠BAC∴△DPC∽△BAC∴易求∴∴∴解法二：過(guò)A作AE⊥x軸，垂足為E.設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于F.亦可證△AEB∽△PFD、∴.易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2∴∴∴（3）存在.（1°）過(guò)M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分別為H、G，設(shè)AC交y軸于S，CP的延長(zhǎng)線交y軸于T∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的內(nèi)切圓圓心，∴MG＝MH＝OM又∵且OM＋MC＝OC∴∴（2°）在x軸的負(fù)半軸上，存在一點(diǎn)M′同理OM′＋OC＝M′C，得∴M′即在x軸上存在滿足條件的兩個(gè)點(diǎn).MM′T11-1-24-323056E-1-223ACxyBDMFSGHP11.在平面直角坐標(biāo)系中，A（－1，0），B（3，0）.（1）若拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)（0，－3），求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖，小敏發(fā)現(xiàn)所有過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線如果與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么△ACM與△ACB的面積比不變，請(qǐng)你求出這個(gè)比值；ABCMOxy（3）若對(duì)稱(chēng)軸是AB的中垂線l的拋物線與x軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)C作CP∥x軸交l于點(diǎn)P，M為此拋物線的頂點(diǎn).ABCMOxy[解]（1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－4）.（2）由題意，設(shè)y＝a（x＋1）（x－3），即y＝ax2－2ax－3a，∴A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a），M（1，－4a），∴S△ACB＝×4×＝6，而a＞0，∴S△ACB＝6A、作MD⊥x軸于D，又S△ACM＝S△ACO＋SOCMD－S△AMD＝·1·3a＋（3a＋4a）－·2·4a＝a，∴S△ACM：S△ACB＝1：6.（3）①當(dāng)拋物線開(kāi)口向上時(shí)，設(shè)y＝a（x－1）2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k，有菱形可知＝，a＋k＞0，k＜0，∴k＝，∴y＝ax2－2ax＋，∴.記l與x軸交點(diǎn)為D，若∠PEM＝60°，則∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝，∴k＝－，a＝，∴拋物線的解析式為.若∠PEM＝120°，則∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝，∴k＝－，a＝，∴拋物線的解析式為.②當(dāng)拋物線開(kāi)口向下時(shí)，同理可得，.12.已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，拋物線經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn)。（1）試用含a的代數(shù)式表示b；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，以D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分。若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在⊙D內(nèi)，它所在的圓恰與OD相切，求⊙D半徑的長(zhǎng)及拋物線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)B是滿足（2）中條件的優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。[解]（1）解法一：∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）∵拋物線經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn)解法二：∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）∵拋物線經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn)∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線（2）由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，DO＝DA∴點(diǎn)O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO又由（1）知拋物線的解析式為∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）①當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)D'與點(diǎn)D也關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)∵點(diǎn)O在⊙D'上，且⊙D與⊙D'相切∴點(diǎn)O為切點(diǎn)∴D'O⊥OD∴∠DOA＝∠D'OA＝45°∴△ADO為等腰直角三角形∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為∴拋物線的解析式為②當(dāng)時(shí)，同理可得：拋物線的解析式為綜上，⊙D半徑的長(zhǎng)為，拋物線的解析式為或（3）拋物線在x軸上方的部分上存在點(diǎn)P，使得設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），且y＞0①當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)（如圖2）∵點(diǎn)B是⊙D的優(yōu)弧上的一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E由解得：（舍去）∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為②當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)（如圖3）同理可得，由解得：（舍去）∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為綜上，存在滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或13.在直角坐標(biāo)系中，⊙經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A、B。（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作⊙的切線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)O到直線AB的距離為，求直線AC的解析式；（2）若⊙經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，2），設(shè)的內(nèi)切圓的直徑為d，試判斷d+AB的值是否會(huì)發(fā)生變化，如果不變，求出其值，如果變化，求其變化的范圍。[解]（1）如圖1，過(guò)O作于G，則 設(shè)（3，0）AB是⊙的直徑切⊙于A，在中設(shè)直線AC的解析式為，則 直線AC的解析式為 （2）結(jié)論：的值不會(huì)發(fā)生變化 設(shè)的內(nèi)切圓分別切OA、OB、AB于點(diǎn)P、Q、T，如圖2所示圖2則在x軸上取一點(diǎn)N，使AN=OB，連接OM、BM、AM、MN平分的值不會(huì)發(fā)生變化，其值為4。14.已知：O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P（m，n）(m＞0)是函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k＞0)上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線PA⊥OP于P，直線PA與x軸的正半軸交于點(diǎn)A（a，0）(a＞m).設(shè)△OPA的面積為s，且s＝1＋eq\f(n4,4).（1）當(dāng)n＝1時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若OP＝AP，求k的值；(3)設(shè)n是小于20的整數(shù)，且k≠eq\f(n4,2)，求OP2的最小值.[解]過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于Q，則PQ＝n，OQ＝m當(dāng)n＝1時(shí)，s＝eq\f(5,4)∴a＝eq\f(2s,n)＝eq\f(5,2)(2)解1：∵OP＝APPA⊥OP∴△OPA是等腰直角三角形∴m＝n＝eq\f(a,2)∴1＋eq\f(n4,4)＝eq\f(1,2)·an即n4－4n2＋4＝0∴k2－4k＋4＝0∴k＝2解2：∵OP＝APPA⊥OP∴△OPA是等腰直角三角形∴m＝n設(shè)△OPQ的面積為s1則：s1＝eq\f(s,2)∴eq\f(1,2)·mn＝eq\f(1,2)(1＋eq\f(n4,4))即：n4－4n2＋4＝0∴k2－4k＋4＝0∴k＝2(3)解1：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△OAP設(shè)：△OPQ的面積為s1，則eq\f(s1,s)＝eq\f(PO2,AO2)即：eq\f(eq\f(1,2)k,1＋eq\f(n4,4))＝eq\f(n2＋eq\f(k2,n2),eq\f(4(1＋eq\f(n4,4))EQ\S(2),n2))化簡(jiǎn)得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0（k－2）（2k－n4）＝0∴k＝2或k＝eq\f(n4,2)(舍去)∴當(dāng)n是小于20的整數(shù)時(shí)，k＝2.∵OP2＝n2＋m2＝n2＋eq\f(k2,n2)又m＞0，k＝2，∴n是大于0且小于20的整數(shù)當(dāng)n＝1時(shí)，OP2＝5當(dāng)n＝2時(shí)，OP2＝5當(dāng)n＝3時(shí)，OP2＝32＋eq\f(4,32)＝9＋eq\f(4,9)＝eq\f(85,9)當(dāng)n是大于3且小于20的整數(shù)時(shí)，即當(dāng)n＝4、5、6、…、19時(shí)，OP2得值分別是：42＋eq\f(4,42)、52＋eq\f(4,52)、62＋eq\f(4,62)、…、192＋eq\f(4,192)∵192＋eq\f(4,192)＞182＋eq\f(4,182)＞…＞32＋eq\f(4,32)＞5∴OP2的最小值是5.解2：∵OP2＝n2＋m2＝n2＋eq\f(k2,n2)＝n2＋eq\f(22,n2)＝(n－eq\f(2,n))EQ\S(2)＋4當(dāng)n＝eq\f(2,n)時(shí)，即當(dāng)n＝eq\r(2)時(shí)，OP2最?。挥帧遪是整數(shù)，而當(dāng)n＝1時(shí)，OP2＝5；n＝2時(shí)，OP2＝5∴OP2的最小值是5.解3：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△PAQeq\f(PQ,QA)＝eq\f(OQ,PQ)eq\f(n,a－m)＝eq\f(m,n)化簡(jiǎn)得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0（k－2）（2k－n4）＝0∴k＝2或k＝eq\f(n4,2)(舍去)解4：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△PAQeq\f(s1,s－s1)＝eq\f(OQ2,PQ2)化簡(jiǎn)得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0（k－2）（2k－n4）＝0∴k＝2或k＝eq\f(n4,2)(舍去)解5：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△OAP∴eq\f(OP,OA)＝eq\f(OQ,OP)∴OP2＝OQ·OA化簡(jiǎn)得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0（k－2）（2k－n4）＝0∴k＝2或k＝eq\f(n4,2)(舍去)15.如圖，在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形，點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別坐勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)。（1）求出直線OC的解析式及經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式。（2）試在⑴中的拋物線上找一點(diǎn)D，使得以O(shè)、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)。（3）設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒。如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位，試寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并寫(xiě)出此時(shí)t的取值范圍。QAPOQAPOC（8，6）B（18，6）A（18，0）xy[解]（1）∵O、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O，C設(shè)OC的解析式為，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，，∴∵A，O是軸上兩點(diǎn)，故可設(shè)拋物線的解析式為再將C代入得：∴（2）D（3）當(dāng)Q在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可設(shè)Q，依題意有：∴，∴Q，當(dāng)Q在CB上時(shí)，Q點(diǎn)所走過(guò)的路程為，∵OC＝10，∴CQ＝∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴Q，（4）∵梯形OABC的周長(zhǎng)為44，當(dāng)Q點(diǎn)OC上時(shí)，P運(yùn)動(dòng)的路程為，則Q運(yùn)動(dòng)的路程為△OPQ中，OP邊上的高為：梯形OABC的面積＝，依題意有：整理得：∵△＝，∴這樣的不存在當(dāng)Q在BC上時(shí)，Q走過(guò)的路程為，∴CQ的長(zhǎng)為：∴梯形OCQP的面積＝＝36≠84×∴這樣的值不存在綜上所述，不存在這樣的值，使得P，Q兩點(diǎn)同時(shí)平分梯形的周長(zhǎng)和面積16.已知：如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，∠ACB＝90°，（1）求m的值及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)A、B、C的三點(diǎn)的⊙M交y軸于另一點(diǎn)D，連結(jié)DM并延長(zhǎng)交⊙M于點(diǎn)E，過(guò)E點(diǎn)的⊙M的切線分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、G，求直線FG的解析式；A·BCDEFGMA·BCDEFGMxyO[解]（1）由拋物線可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），且m＜0.設(shè)A（x1，0），B（x2，0）.則有x1·x2＝3m又OC是Rt△ABC的斜邊上的高，∴△AOC∽△COB∴∴，即x1·x2＝－m2∴－m2＝3m，解得m＝0或m＝－3而m＜0，故只能取m＝－3這時(shí)，故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，－4）（2）解法一：由已知可得：M（，0），A（－，0），B（3，0），C（0,－3），D（0，3）∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是x＝，也是⊙M的對(duì)稱(chēng)軸，連結(jié)CE∵DE是⊙M的直徑，∴∠DCE＝90°，∴直線x＝，垂直平分CE，∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－3）∵，∠AOC＝∠DOM＝90°，∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE∵AC⊥CB，∴CB⊥DE又FG⊥DE，∴FG∥CB由B（3，0）、C（0，－3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)易求直線CB的解析式為：y＝－3可設(shè)直線FG的解析式為y＝＋n，把（2，－3）代入求得n＝－5故直線FG的解析式為y＝－5解法二：令y＝0，解－3＝0得x1＝－，x2＝3即A（－，0），B（3，0）根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，易知：：⊙M半徑為2，M（，0）在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝3，，OC＝3∴∠CBO＝30°，同理，∠ODM＝30°。而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°，∴DE⊥BC∵DE⊥FG，∴BC∥FG∴∠EFM＝∠CBO＝30°在Rt△EFM中，∠MEF＝90°，ME＝2，∠FEM＝30°，∴MF＝4，∴OF＝OM＋MF＝5，∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）在Rt△OFG中，OG＝OF·tan30°＝5×＝5∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，－5）∴直線FG的解析式為y＝－5（3）解法一：存在常數(shù)k＝12，滿足AH·AP＝12連結(jié)CP由垂徑定理可知，∴∠P＝∠ACH（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO）又∵∠CAH＝∠PAC，∴△ACH∽△APC∴即AC2＝AH·AP在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2＝（）2＋32＝12A·BCDEFGA·BCDEFGMxyPHO∴AH·AP＝12解法二：存在常數(shù)k＝12，滿足AH·AP＝12設(shè)AH＝x，AP＝y(tǒng)由相交弦定理得HD·HC＝AH·HP即化簡(jiǎn)得：xy＝12即AH·AP＝12近年中考數(shù)學(xué)壓軸題大集合（二）17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，⊙C與y軸相切于D點(diǎn)，與x軸相交于A（2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，圓心C在第四象限.（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）連結(jié)BC并延長(zhǎng)交⊙C于另一點(diǎn)E，若線段BE上有一點(diǎn)P，使得AB2＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？請(qǐng)給出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；（3）在直線BE上是否存在點(diǎn)Q，使得AQ2＝BQ·EQ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，也請(qǐng)說(shuō)明理由.[解]（1）C（5，-4）；（2）能。連結(jié)AE，∵BE是⊙O的直徑，∴∠BAE=90°.在△ABE與△PBA中，AB2＝BP·BE,即,又∠ABE=∠PBA,∴△ABE∽△PBA.∴∠BPA=∠BAE=90°,即AP⊥BE.（3）分析：假設(shè)在直線EB上存在點(diǎn)Q，使AQ2＝BQ·EQ.Q點(diǎn)位置有三種情況：①若三條線段有兩條等長(zhǎng)，則三條均等長(zhǎng),于是容易知點(diǎn)C即點(diǎn)Q；②若無(wú)兩條等長(zhǎng)，且點(diǎn)Q在線段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知點(diǎn)Q即為AQ⊥EB之垂足；③若無(wú)兩條等長(zhǎng)，且當(dāng)點(diǎn)Q在線段EB外，由條件想到切割線定理，知QA切⊙C于點(diǎn)A.設(shè)Q(),并過(guò)點(diǎn)Q作QR⊥x軸于點(diǎn)R,由相似三角形性質(zhì)、切割線定理、勾股定理、三角函數(shù)或直線解析式等可得多種解法.解題過(guò)程：①當(dāng)點(diǎn)Q1與C重合時(shí)，AQ1=Q1B=Q1E,顯然有AQ12＝BQ1·EQ1,∴Q1(5,-4)符合題意；②當(dāng)Q2點(diǎn)在線段EB上，∵△ABE中，∠BAE=90°∴點(diǎn)Q2為AQ2在BE上的垂足，∴AQ2==4.8（或）.∴Q2點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2+AQ2·∠BAQ2=2+3.84=5.84,又由AQ2·∠BAQ2=2.88,∴點(diǎn)Q2（5.84，-2.88）,③方法一：若符合題意的點(diǎn)Q3在線段EB外,則可得點(diǎn)Q3為過(guò)點(diǎn)A的⊙C的切線與直線BE在第一象限的交點(diǎn).由Rt△Q3BR∽R(shí)t△EBA，△EBA的三邊長(zhǎng)分別為6、8、10,故不妨設(shè)BR=3t，RQ3=4t，BQ3=5t,由Rt△ARQ3∽R(shí)t△EAB得，即得t=，〖注:此處也可由列得方程；或由AQ32=Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等〗∴Q3點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8+3t=，Q3點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即Q3（，）.方法二：如上所設(shè)與添輔助線,直線BE過(guò)B(8,0),C(5,-4),∴直線BE的解析式是.設(shè)Q3（，）,過(guò)點(diǎn)Q3作Q3R⊥x軸于點(diǎn)R,∵易證∠Q3AR=∠AEB得Rt△AQ3R∽R(shí)t△EAB,∴,即,∴t=,進(jìn)而點(diǎn)Q3的縱坐標(biāo)為，∴Q3（，）.方法三：若符合題意的點(diǎn)Q3在線段EB外,連結(jié)Q3A并延長(zhǎng)交軸于F,∴∠Q3AB=∠Q3EA，,在Rt△OAF中有OF=2×=，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，）,∴可得直線AF的解析式為,又直線BE的解析式是,∴可得交點(diǎn)Q3（，）.18.如圖1，拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，h）(h>0)，交x軸于點(diǎn)A（d,0）、B（-d,0）（d>0）。（1）求拋物線解析式（用h、d表示）；（2）如圖2，將ABC視為拋物線形拱橋，①～⑤拉桿均垂直x軸，垂足依次在線段AB的6等分點(diǎn)上。h=9米。(i)求拉桿⑤DE的長(zhǎng)度；FGxyFGxyCBOA圖4（3）如圖4，點(diǎn)G在線段OA上，OG=kd（比例系數(shù)k是常數(shù)，0≤k≤1），GF⊥x軸交拋物線于點(diǎn)F。試探索k為何值時(shí)，tg∠FOG=tg∠CAO？此時(shí)點(diǎn)G與OA線段有什么關(guān)系？[解]（1）用頂點(diǎn)式，據(jù)題意設(shè)y=ax2+h代入A（d，0）得a=∴y=x2+h(2)(i)h=9，代入（1）中解析式得y=x2+9據(jù)題意OE=d，設(shè)D（d，yD）點(diǎn)D在拋物線上，yD=(d)2+9=5，∴DE=5米。(ii)拉桿⑤DE的長(zhǎng)度不變。（3）OG=kd，∴點(diǎn)F坐標(biāo)可設(shè)（kd，yF）代入y=x2+h，得：yF=h(1－k2)tg∠FOG=tg∠CAO，=解得（∵0<k<1，舍），此時(shí)點(diǎn)G是線段OA的黃金分割點(diǎn)。19.已知：拋物線經(jīng)過(guò)A（2，0）、B（8，0）、C（0，）COCO（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P，把△APB翻折，使點(diǎn)P落在線段AB上（不與A、B重合），記作，折痕為EF，設(shè)A=x，PE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)但不與A、B重合時(shí)，能否使△EF的一邊與x軸垂直？若能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由。[解]（1）設(shè)把代入得∴即（2）頂點(diǎn)P（AP=AB=BP=6∴作于G，則，又，在中，∴（3）若軸則，（舍去）∴若軸則，（舍去）∴若軸，顯然不可能?！嗷?0.已知拋物線：（，為常數(shù)，且，）的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)；拋物線與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，其頂點(diǎn)為，連接，，．注：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）請(qǐng)?jiān)跈M線上直接寫(xiě)出拋物線的解析式：________________________；（2）當(dāng)時(shí)，判定的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形？如果存在，請(qǐng)求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解]（1）．（2）當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形． 3分理由如下：如圖：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)又在軸上，．過(guò)點(diǎn)作拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交軸于，過(guò)點(diǎn)作于．當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，．又點(diǎn)的坐標(biāo)為，．．從而，．由對(duì)稱(chēng)性知，．為等腰直角三角形．（3）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形，則．由（2）知，，．從而為等邊三角形．．四邊形為菱形，且點(diǎn)在上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)．與的交點(diǎn)也為點(diǎn)，因此．點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．在中，．，．故拋物線上存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形，此時(shí)．21.如圖，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（n，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)(n＜0）以AO為一邊作矩形AOBC，點(diǎn)C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o得矩形AGDE．過(guò)點(diǎn)A的直線y＝kx＋m交y軸于點(diǎn)F，F(xiàn)B＝FA．拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)E、F、G且和直線AF交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M．(1)求k的值；(2)點(diǎn)A位置改變時(shí)，△AMH的面積和矩形AOBC的面積的比值是否改變？說(shuō)明你的理由．[解]（1）根據(jù)題意得到：E（3n，0），G（n，－n）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝kx＋m＝m，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，m）∵Rt△AOF中，AF2＝m2＋n2，∵FB＝AF，∴m2＋n2＝(-2n－m)2，化簡(jiǎn)得：m＝－0.75n，對(duì)于y＝kx＋m，當(dāng)x＝n時(shí)，y＝0，∴0＝kn－0.75n，∴k＝0.75（2）∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)E、F、G，∴解得：a＝，b＝－，c＝－0.75n∴拋物線為y=x2－x－0.75n解方程組：得：x1＝5n，y1＝3n；x2＝0，y2＝－0.75n∴H坐標(biāo)是：（5n，3n），HM＝－3n，AM＝n－5n＝－4n，∴△AMH的面積＝0.5×HM×AM＝6n2；而矩形AOBC的面積＝2n2，∴△AMH的面積∶矩形AOBC的面積＝3:1，不隨著點(diǎn)A的位置的改變而改變．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，AB=25，頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，tan∠ACO=eq\f(3,4)，點(diǎn)P在線段OC上，且PO、PC的長(zhǎng)(PO<PC)是關(guān)于x的方程x2-(2k+4)x+8k=O的兩根．(1)求AC、BC的長(zhǎng)；(2)求P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形?若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出直線PQ的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解](1)∵∠ACB=900，CO⊥AB，∴∠ACO=∠ABC．∴tan∠ABC=eq\f(3,4)，Rt△ABC中，設(shè)AC=3a，BC=4a則AB=5a，5a=25∴a=5∴AC=15，BC=20(2)∵S△ABC=eq\f(1,2)AC·BC=eq\f(1,2)OC·AB，∴OC=12∴PO+PC=4+2k=12．∴k=4∴方程可化為x2-12x+32=O．解得x1=4，x2=8∵PO<PC．∴PO=4．∴P(O，-4)(3)存在，直線PQ解析式為：y=-eq\f(4,3)x-4或y=-eq\f(4,27)-423.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長(zhǎng)(0A<OB)是方程x2-18x+72=0的兩個(gè)根，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段OC上，OD=2CD．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求直線AD的解析式；(3)P是直線AD上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以0、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解](1)OA=6，OB=12點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，OC=AC作CE⊥x軸于點(diǎn)E．∴OE=eq\f(1,2)OA=3，CE=eq\f(1,2)OB=6．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，6)(2)作DF⊥x軸于點(diǎn)F△OFD∽△OEC，eq\f(OD,OC)=eq\f(2,3)，于是可求得OF=2，DF=4．∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4)設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b．把A(6，0)，D(2，4)代人得解得∴直線AD的解析式為y=-x+6(3)存在．Q1(-3eq\r(,2)，3eq\r(,2))Q2(3eq\r(,2)，-3eq\r(,2))Q3(3，-3)Q4(6，6)二、函數(shù)與方程綜合的壓軸題1.已知拋物線y＝－x2＋mx－m＋2.（1）若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且AB＝，試求m的值；（2）設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)M、N，并且△MNC的面積等于27，試求m的值.MNCxyO[解]（1）設(shè)點(diǎn)Ａ（x1，0）,BMNCxyO則x1，x2是方程x2－mx＋m－2＝0的兩根.∵x1＋x2＝m，x1·x2=m－2＜0即m＜2又AB＝∣x1－x2∣＝∴m2－4m＋3=0.解得：m=1或m=3(舍去),∴m的值為1.（2）設(shè)M(a，b)，則N(－a，－b).∵M(jìn)、N是拋物線上的兩點(diǎn),∴①＋②得：－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2.∴當(dāng)m＜2時(shí)，才存在滿足條件中的兩點(diǎn)M、N.∴.這時(shí)M、N到y(tǒng)軸的距離均為,又點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2－m）,而S△MNC=27,∴2××（2－m）×=27.∴解得m=－7.2.已知二次函數(shù)(為常數(shù)，△=)的圖象與軸相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為，例如，通過(guò)研究其中一個(gè)函數(shù)及圖象(如圖)，可得出表中第2行的相交數(shù)據(jù)?！鳎?61231－－2－23（1）在表內(nèi)的空格中填上正確的數(shù)；（2）根據(jù)上述表內(nèi)d與△的值，猜想它們之間有什么關(guān)系？再舉一個(gè)符合條件的二次函數(shù)，驗(yàn)證你的猜想；（3）對(duì)于函數(shù)(為常數(shù)，△=)證明你的猜想[解]（1）第一行；第三行，△=9，；（2）猜想：△例如：中；；由得，∴△（3）證明。令，得，∵△>0設(shè)的兩根為，則+，3.已知：二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上．（1）試判斷這個(gè)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向，并說(shuō)明你的理由；（2）求證：函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（3）如果函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），與y軸相交于點(diǎn)C，且△ABC的面積等于2．求這個(gè)函數(shù)的解析式．[解]（1）∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上，∴，．∴．又∵，∴．∴這個(gè)函數(shù)圖象的開(kāi)口方向向上．（另解：∵這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上，且與y軸的正半軸相交，∴這個(gè)函數(shù)圖象的開(kāi)口方向向上．（2）∵，∴這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)．．∵，∴，．∴Δ>0．∴函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．（3）由題意，得，．∵，∴．而，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）．∴．∴．∴．∴．∴．∴所求的函數(shù)解析式為．4.已知二次函數(shù).（1）若a=2，c=-3，且二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-2），求b的值；（2）若a=2，b+c=-2，b>c，且二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（p,-2），求證：b≥0；（3）若a+b+c=0，a>b>c，且二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（q,-a），試問(wèn)當(dāng)自變量x=q+4時(shí)，二次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y是否大于0？請(qǐng)證明你的結(jié)論.[解]（1）當(dāng)a=2，c=-3時(shí)，二次函數(shù)為，∵該函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-2），∴，解得b=1.（2）當(dāng)a=2，b+c=-2時(shí)，二次函數(shù)為∵該函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（p，-2），∴，即于是，p為方程的根，∴判別式△=又∵b+c=-2，b>c，∴b>-b-2，即b>-1，有b+8>0∴.（3）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（q，-a）,∴.∴q為方程的根，于是，判別式△=又∵∴△=又， 且a>b>c，知a>0，c<0∴3a-c>0∴∴q為方程的根，∴或.當(dāng)時(shí)，若，則.∵a>b≥0，∴，即，∴若，則.∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于0.5.已知：如圖，A（0,1）是y軸上一定點(diǎn)，B是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB，過(guò)B作BC⊥AB，交AE于點(diǎn)C.(1)當(dāng)B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，求線段AC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)C的縱、橫坐標(biāo)分別為y、x，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式（當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C也與O點(diǎn)重合）；

(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-1）的直線l與(2)中所求函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且x12+x22－6(x1+x2)=8，求直線l的解析式．

[解](1)方法一：在Rt△AOB中，可求得AB＝y(tǒng)AOBxCDGH∵∠OAB＝∠BACyAOBxCDGH∴△ABO∽△ABC，∴，由此可求得：AC＝方法二：由題意知：tan∠OAB=(2)方法一：當(dāng)B不與O重合時(shí)，延長(zhǎng)CB交y軸于點(diǎn)D，過(guò)C作CH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H，則可證得AC＝AD，BD＝∵AO⊥OB，AB⊥BD，∴△ABO∽△BDO，則OB2＝AO×OD，即化簡(jiǎn)得：y=，當(dāng)O、B、C三點(diǎn)重合時(shí)，y=x=0，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=方法二：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則AC2＝(1－y)2+x2=(1+y)2，化簡(jiǎn)即可得。(3)設(shè)直線的解析式為y=kx+b，則由題意可得：，消去y得：x2-4kx-4b=0，則有，由題設(shè)知：x12+x22-6(x1+x2)=8，即(4k)2+8b-24k=8，且b=-1，則16k2-24k-16=0，解之得：k1=2，k2=，當(dāng)k1=2、b=-1時(shí)，△＝16k2+16b=64-16>0，符合題意；當(dāng)k2=，b=-1時(shí)，△＝16k2+16b=4-16<0，不合題意（舍去），∴所求的直線l的解析式為：y=2x-16.已知拋物線y=x2+mx-2m2(m≠0)．(1)求證：該拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(2)過(guò)點(diǎn)P(0，n)作y軸的垂線交該拋物線于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在點(diǎn)P的左邊)，是否存在實(shí)數(shù)m、n，使得AP=2PB?若存在，則求出m、n滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解]（1）△∵∴△∴該拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。（2）由題意易知點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足方程：，即由于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此△，即….①由求根公式可知兩根為：，∴分兩種情況討論：第一種：點(diǎn)在點(diǎn)左邊，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊∵∴∴……………….②∴……….③由②式可解得…………..④第二種：點(diǎn)、都在點(diǎn)左邊∵∴∴……………….⑤∴……….⑥由⑤式可解得……….⑦綜合①③④⑥⑦可知，滿足條件的點(diǎn)存在，此時(shí)、應(yīng)滿足條件：，或。三、動(dòng)態(tài)幾何型壓軸題1.已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點(diǎn)．若P為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ∥BC，且交AC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形PQMN，記正方形PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y．（1）如圖，當(dāng)AP＝3cm時(shí)，求y的值；（2）設(shè)AP＝xcm，試用含x的代表式表示y（cm）2；（3）當(dāng)y＝2cm2時(shí)，試確定點(diǎn)P的位置．[解]（1）∵PQ∥BC，∴．∵BC＝4，AB＝8，AP＝3，∴PQ＝．∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝AB＝4，PD＝AD－AP＝1．∵PQMN為正方形，DN＝PN－PD＝PQ－PD＝，∴y＝MN·DN＝cm2．（2）∵AP＝x，∴AN＝x．當(dāng)o≤x＜時(shí)，y＝0；當(dāng)≤x＜4時(shí)，；當(dāng)4≤x＜時(shí)，y＝x；當(dāng)≤x≤8時(shí)，y＝2（8－x）＝－2x＋16．（3）將y＝2代入y＝—2x＋16（≤x≤8）時(shí)，得x＝7，即P點(diǎn)距A點(diǎn)7cm；將y＝2代入時(shí)，得，即P點(diǎn)距A點(diǎn)cm．2.操作：將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q．圖5圖6圖7探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x．（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)的x的值；如果不可能，試說(shuō)明理由．（圖5、圖6、圖7的形狀大小相同，圖5供操作、實(shí)驗(yàn)用，圖6和圖7備用）[解]圖1圖2圖3（1）解：PQ＝PB證明如下：過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC，分別交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，那么四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如圖1）．∴NP＝NC＝MB．∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°．

而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN＝∠PBM．又∵∠QNP＝∠PMB＝90°，∴△QNP≌△PMB．∴PQ＝PB．（2）解法一由（1）△QNP≌△PMB．得NQ＝MP．∵AP＝x，∴AM＝MP＝NQ＝DN＝，BM＝PN＝CN＝1－，∴CQ＝CD－DQ＝1－2·＝1－．得S△PBC＝BC·BM＝×1×（1－）＝－x．S△PCQ＝CQ·PN＝×（1－）（1－）＝－＋x2S四邊形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝x2－＋1．即y＝x2－＋1（0≤x＜）．解法二作PT⊥BC，T為垂足（如圖2），那么四邊形PTCN為正方形．∴PT＝CB＝PN．又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．S四邊形PBCQ＝S△四邊形PBT＋S四邊形PTCQ＝S四邊形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN?＝CN2＝（1－）2＝x2－＋1∴y＝x2－＋1（0≤x＜）．（3）△PCQ可能成為等腰三角形①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，這時(shí)PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，?此時(shí)x＝0②當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線上，且CP＝CQ時(shí)，△PCQ是等腰三角形（如圖3）解法一：此時(shí)，QN＝PM＝，CP＝－x，CN＝CP＝1－．∴CQ＝QN－CN＝－（1－）＝－1．當(dāng)－x＝－1時(shí)，得x＝1．解法二：此時(shí)∠CPQ＝∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°，∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB＝1，∴x＝1．ONPQMCC1B1A1ABONPQMCC1B1A1AB圖1度先向下平移，當(dāng)BC邊與網(wǎng)的底部重合時(shí)，繼續(xù)同樣的速度向右平移，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P重合時(shí)，Rt△ABC停止移動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，△QAC的面積為y.（1）如圖1，當(dāng)Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置時(shí)，請(qǐng)你在網(wǎng)格中畫(huà)出Rt△A1B1C1關(guān)于直線QN成軸對(duì)稱(chēng)的圖形；（2）如圖2，在Rt△ABC向下平移的過(guò)程中，請(qǐng)你求出y與ONPQMCAONPQMCAB圖2最小值？最大值和最小值分別是多少？（3）在Rt△ABC向右平移的過(guò)程中，請(qǐng)你說(shuō)明當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值和最小值？最大值和最值分別是多少？為什么？[解]（1）如圖1，△A2B2C2是△A1B1C1關(guān)于直線QN成軸對(duì)稱(chēng)的圖形.…………2分ONONPQMCABCAB圖2ONPQMC1C2B1A1A2B2圖1（2）當(dāng)△ABC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向下平移x秒時(shí)（如圖2），則有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，y=S梯形QMBC-S△AMQ-S△ABC==2x+40(0≤x≤16).由一次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=0時(shí)，y取得最小值，且y最小=40；當(dāng)x=16時(shí)，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72.（3）解法一：當(dāng)△ABC繼續(xù)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向右平移時(shí)，此時(shí)16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x,∴y=S梯形BAQP-S△CPQ-S△ABC=-2x+104(16≤x≤32).由一次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=32時(shí)，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40；當(dāng)x=16時(shí)，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72.解法二：在△ABC自左向右平移的過(guò)程中，△QAC在每一時(shí)刻的位置都對(duì)應(yīng)著（2）中△QAC某一時(shí)刻的位置.使得這樣的兩個(gè)三角形關(guān)于直線QN成軸對(duì)稱(chēng).因此，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，只需考察△ABC在自上至下平移過(guò)程中△QAC面積的變化情況，便可以知道△ABC在自左向右平移過(guò)程中△QAC面積的變化情況.當(dāng)x=16時(shí)，y取得最大值，且y最大=72；當(dāng)x=32時(shí)，y取得最小值，且y最小=40.4.如圖，在△ABC中，AB＝17，AC＝5，∠CAB＝45°，點(diǎn)O在BA上移動(dòng)，以O(shè)為圓心作⊙O，使⊙O與邊BC相切，切點(diǎn)為D，設(shè)⊙O的半徑為x，四邊形AODC的面積為y．ABODC（1）求ABODC（2）求x的取值范圍；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，⊙O與BC、AC都相切？[解]（1）如圖=1\*GB3①，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．在Rt△ACE中，AC=5，∠CAB=45°，∴AE=CE=AC·sin45°=．∴BE=AB－AE=17－5=12，．∴tanB=．∵CB切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥BC．又=tanB=，∴BD=．∵S四邊形AODC=S△ABC－S△BOD，∴－．AABCDEFO①ABCDOG②(2)過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CB交AB于F．在Rt△BCF中，CF=BC·tanB=13×．∴x的取值范圍是0＜x≤．（3）當(dāng)⊙O與BC、AC都相切時(shí)，設(shè)⊙O與AC的切點(diǎn)為G，連結(jié)OG、OC（如圖=2\*GB3②），則OG=OD=x．∵S△AOC+S△BOC=S△ABC，∴．∴．5.已知是半圓的直徑，AB＝16，P點(diǎn)是AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合)，PQ⊥AB，垂足為P，交半圓O于Q；PB是半圓O1的直徑，⊙O2與半圓O、半圓O1及PQ都相切，切點(diǎn)分別為M、N、C．（1）當(dāng)P點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)(如圖1)，求⊙O2的半徑r；圖⑵圖⑴AO（P）N·O2·O1MCQBP·AON·O2·圖⑵圖⑴AO（P）N·O2·O1MCQBP·AON·O2·O1MCQB[解](1)連結(jié)OO2、O1O2、O2C，作O2D⊥AB于D．∵⊙O2與⊙O、⊙O1、PQ相切，∴OO2＝8－r，O1O2＝4＋r．∵四邊形ODO2C是矩形，∴OD＝r，O1D＝4－r根據(jù)勾股定理得:，即:，∴r＝2．(2)∵AB是⊙O直徑，PQ⊥AB．∴PQ2＝AP·PB．設(shè)⊙O1半徑是a，則x2＝2a（16－2a）＝4（8a－a2）．連結(jié)OO2、O1O2、O2C，作O2D⊥AB于D∴＝，＝，，，根據(jù)勾股定理得:，即:，化簡(jiǎn)得:．∴，即．∵為0≤x≤8，∴0≤r≤8．AAQB圖⑴O（P）N·O2·O1MCBD圖⑵P·AON·O2·O1MCQD6.如圖12，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）。（1）設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？（3）當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)O，且2AO＝OB時(shí)，求∠BQP的正切值；（4）是否存在時(shí)刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（1）如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形。∴PM＝DC＝12[解]ABMCDPQ圖3∵QB＝16－t，∴S＝×ABMCDPQ圖3（2）由圖可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。熱以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中，，由PQ2＝BQ2得，解得t＝；A②若BP＝BQ。在Rt△PMB中，。由BP2＝BQ2得：A即。由于Δ＝－704＜0∴無(wú)解，∴PB≠BQ③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得整理，得。解得（不合題意，舍去）綜合上面的討論可知：當(dāng)t＝秒時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形。PAEEDCQPAEEDCQBO圖4∵AP＝2t－21，BQ＝16－t，∴2(2t－21)＝16－t?！鄑＝。過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AD，垂足為E，∵PD＝2t，ED＝QC＝t，∴PE＝t。在RT△PEQ中，tan∠QPE＝PAEEDCQBO圖5（4）設(shè)存在時(shí)刻t，使得PQ⊥PAEEDCQBO圖5，即。解得t＝9所以，當(dāng)t＝9秒時(shí)，PQ⊥BD。7.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝2，DC＝2eq\r(2)，點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)(與B、C不重合)，設(shè)PC＝x，四邊形ABPD的面積為y。（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）若以D為圓心、eq\f(1,2)為半徑作⊙D，以P為圓心、以PC的長(zhǎng)為半徑作⊙P，當(dāng)x為何值時(shí)，⊙D與⊙P相切？并求出這兩圓相切時(shí)四邊形ABPD的面積。[解]（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，∵∠ABC＝900，∴DE＝AB＝2，又∵DC＝2eq\r(2)，∴EC＝eq\r(DC2－DE2)＝2∴BC＝BE＋EC＝AD＋EC＝2＋1＝3∴S四邊形ABPD＝eq\f((AD＋BP)·AB,2)＝\f((1＋3－x)×2,2)＝4－x，即y＝－x＋4(0＜x＜3）（2）當(dāng)P與E重合時(shí)，⊙P與⊙D相交，不合題意；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E不重合時(shí)，在Rt△DEP中，DP2＝DE2＋EP2＝22＋|2－x|2＝x2－4x＋8∵⊙P的半徑為x，⊙D的半徑為eq\f(1,2)，∴①當(dāng)⊙P與⊙D外切時(shí)，(x＋eq\f(1,2))2＝x2－4x＋8，解得x＝eq\f(31,20)此時(shí)四邊形ABPD的面積y＝4－eq\f(31,20)＝eq\f(49,20)②當(dāng)⊙P與⊙D內(nèi)切時(shí)，(x＋eq\f(1,2))2＝x2－4x＋8，解得x＝eq\f(31,12)此時(shí)四邊形ABPD的面積y＝4－eq\f(31,12)＝eq\f(17,12)∴⊙P與⊙D相切時(shí)，四邊形ABPD的面積為eq\f(49,20)或eq\f(17,12)8.已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)按順時(shí)針?lè)较蜓亍鰽BC的邊運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)即停止．點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度分別為1厘米/秒、2厘米/秒，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．（1）當(dāng)時(shí)間為何值時(shí)，以P、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積（圖中的陰影部分）等于2厘米2；（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，陰影部分的形狀隨之變化．設(shè)PQ與△ABC圍成陰影部分面積為S（厘米2），求出S與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍；（3）點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，陰影部分面積S有最大值嗎？若有，請(qǐng)求出最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解]（1）S△PCQ＝PC·CQ＝＝＝2，解得＝1，＝2∴當(dāng)時(shí)間為1秒或2秒時(shí)，S△PCQ＝2厘米2；（2）①當(dāng)0＜≤2時(shí)，S＝＝；②當(dāng)2＜≤3時(shí)， S＝＝；③當(dāng)3＜≤4.5時(shí)，S＝＝；（3）有；①在0＜≤2時(shí)，當(dāng)＝，S有最大值，S1＝；②在2＜≤3時(shí)，當(dāng)＝3，S有最大值，S2＝；③在3＜≤4.5時(shí)，當(dāng)＝，S有最大值，S3＝；∵S1＜S2＜S3∴＝時(shí)，S有最大值，S最大值＝．9.圖1是邊長(zhǎng)分別為4EQ\R(,3)和3的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和C′D′E′疊放在一起（C與C′重合）.（1）操作：固定△ABC，將△C′D′E′繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，連結(jié)AD、BE，CE的延長(zhǎng)線交AB于F（圖2）；探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論.（2）操作：將圖2中的△CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，平移后的△CDE設(shè)為△PQR（圖3）；探究：設(shè)△PQR移動(dòng)的時(shí)間為x秒，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)自變量x的取值范圍.（3）操作：圖1中△C′D′E′固定，將△ABC移動(dòng)，使頂點(diǎn)C落在C′E′的中點(diǎn)，邊BC交D′E′于點(diǎn)M，邊AC交D′C′于點(diǎn)N，設(shè)∠ACC′=α（30°＜α＜90°＝（圖4）；E′D′圖2圖3D′E′圖4C/（C/）（C/）探究：在圖4中，線段E′D′圖2圖3D′E′圖4C/（C/）（C/）[解]（1）BE=AD 證明：∵△ABC與△DCE是等邊三角形∴∠ACB=∠DCE=60°CA=CB，CE=CD∴∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ACD ∴BE=ADTSTS（2）如圖在△CQT中∵∠TCQ=30°∠RQT=60°∴∠QTC=30°∴∠QTC=∠TCQ ∴QT=QC=x∴RT=3－x∵∠RTS＋∠R=90°∴∠RST=90°∴y=×32－(3－x)2=－(3－x)2＋(0≤x≤3)（3）C′N(xiāo)·E′M的值不變證明：∵∠ACC′=60°∴∠MCE′＋∠NCC′=120° ∵∠CNC′＋∠NCC′=120°∴∠MCE′=∠CNC′ ∵∠E′=∠C′∴△E′MC∽△C′CN ∴∴C′N(xiāo)·E′M=C′C·E′C=×=10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（－10，0），B（－8，6），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB沿AB翻折得到△PAB．將四邊形OAPB先向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到四邊形O1A1P1B1．設(shè)四邊形O1A1P1B1與四邊形OAPB重疊部分圖形的周長(zhǎng)為l．（1）求A1、P1兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；（2）求周長(zhǎng)l與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出m的取值范圍．[解]（1）過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥OA于點(diǎn)Q．（如圖1）O－3yBxO－3yBxAPQα圖1∴點(diǎn)A1坐標(biāo)為（－10＋m，－3），OA＝10．又∵點(diǎn)B坐標(biāo)是（－8，6），∴BQ＝6，OQ＝8．在Rt△OQB中，．∴OA＝OB＝10，．由翻折的性質(zhì)可知，PA＝OA＝10，PB＝OB＝10，∴四邊形OAPB是菱形，∴PB∥AO，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（－18，6），∴P1點(diǎn)坐標(biāo)為（－18＋m，3）．（2）①當(dāng)0＜m≤4時(shí)，（如圖2）,過(guò)點(diǎn)B1作B1Q1⊥x軸于點(diǎn)Q1，則B1Q1＝6-3＝3，xOyBAP1A1O1B1Q1FαQβ圖2P設(shè)O1xOyBAP1A1O1B1Q1FαQβ圖2P在Rt△FQ1B1中，，∴，∴Q1F＝4，∴B1F＝＝5，∵AQ＝OA－OQ＝10－8＝2，xOBAP1A1O1B1圖3PSHFy∴AF＝xOBAP1A1O1B1圖3PSHFy∴周長(zhǎng)l＝2（B1F＋AF）＝2（5＋6＋m）＝2m＋22；②當(dāng)4＜m＜14時(shí)，（如圖3）設(shè)P1A1交x軸于點(diǎn)S，P1B1交OB于點(diǎn)H，OSyBSxA由OSyBSxA此時(shí)AS＝m－4，∴OS＝OA－AS＝10－（m－4）＝14－m，∴周長(zhǎng)l＝2（OH＋OS）＝2（5＋14－m）＝－2m＋38．11.四邊形OABC是等腰梯形，OA∥BC。在建立如圖的平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0），B（3，2），點(diǎn)M從O點(diǎn)以每秒3個(gè)單位的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)N作NP垂直于x軸于P點(diǎn)連結(jié)AC交NP于Q，連結(jié)MQ。（1）寫(xiě)出C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)t秒，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)（用含t的式子表示（3）其△AMQ的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍。（4）當(dāng)t取何值時(shí)，△AMQ的面積最大；（5）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMQ為等腰三角形。[解]（1）C（1，2）（2）過(guò)C作CEx軸于E，則CE＝2當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，NB＝t∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3—t設(shè)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yQ由PQ∥CE得∴∴點(diǎn)Q（）（3）點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，∴OM＝2t，AM＝4—2tS△AMQ＝＝＝當(dāng)t＝2時(shí)，M運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，AMQ存在，∴t2∴t的取值范圍是0≤t＜2（4）由S△AMQ＝。當(dāng)（5）、=1\*GB3①若QM＝QA∵QP⊥OA∴MP＝AP而MP＝4—（1＋t＋2t）＝3—3t即1＋t＝3—3tt＝∴當(dāng)t＝時(shí)，△QMA為等腰三角形。=2\*GB3②若AQ＝AMAQ2＝AP2＋PQ2＝AQ=AM＝4—2t＝4—2t∴當(dāng)t＝時(shí)，△QMA為等腰三角形。=3\*GB3③若MQ＝MAMQ2＝MP2＋PQ2＝∴＝解得t＝或t＝—1（舍去）∵0＜＜2∴當(dāng)t＝時(shí)，△QMA為等腰三角形。綜上所述：當(dāng)t＝、t＝或t＝△QMA都為等腰三角形。12.如圖，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)P沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s)。⑴求x為何值時(shí)，PQ⊥AC；⑵設(shè)△PQD的面積為y(cm2)，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；⑶當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求證：AD平分△PQD的面積；⑷探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系。請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍(不要求寫(xiě)出過(guò)程)[解]（1）∵當(dāng)Q在AB上時(shí)，顯然PQ不垂直于AC。當(dāng)，由題意得：BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x，∴AB＝BC＝CA＝4，∠C＝600，若PQ⊥AC，則有∠QPC＝300，∴PC＝2CQ∴4－x＝2×2x，∴x＝eq\f(4,5)，∴當(dāng)x＝eq\f(4,5)(Q在AC上)時(shí)，PQ⊥AC；（2）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，P在BD上，Q在AC上，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于H，∵∠C＝600，QC＝2x，∴QH＝QC×sin600＝eq\r(3)x∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝eq\f(1,2)BC＝2∴DP＝2－x，∴y＝eq\f(1,2)PD·QH＝eq\f(1,2)(2－x)·eq\r(3)x＝－eq\f(\r(3),2)x2＋\r(3)x（3）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，在Rt△QHC中，QC＝2x，∠C＝600，∴HC＝x，∴