平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算

第二節(jié)平面向量的基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算【知識(shí)梳理】1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填(1)平面向量基本定理:①基底:平面內(nèi)

不共線

的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.②定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2

.(2)平面向量的坐標(biāo)表示:在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底,該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a=xi+yj,由于a與數(shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的,把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=

(x,y)

,其中a在x軸上的坐標(biāo)是x,a在y軸上的坐標(biāo)是y.(3)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:向量的加法、減法設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2)

,a-b=

(x1-x2,y1-y2)向量的數(shù)乘設(shè)a=(x,y),λ∈R,則λa=

(λx,λy)向量坐標(biāo)的求法設(shè)O(0,0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，則①

=

(x

,y

)OA

1

1②

=

(x

-x

,y

-y

)AB

2

1

2

1(4)向量共線的坐標(biāo)表示:2

2若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1

=0,22特別地,若x

,y

≠0,則a∥b?

x1x

y=

y1

.2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記1

2

1

2A與B的中點(diǎn).3.必用技法 核心總結(jié) 看一看

(1)常用方法:待定系數(shù)法.

(2)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合思想,函數(shù)與方程思想.OA，OB

1

2

OC

=

l1

OA

+若

是平面內(nèi)不共線的向量,則存在實(shí)數(shù)λ

,λ

使

l2

OB，則當(dāng)λ+λ

=1時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線.特別地,當(dāng)λ=λ=1

時(shí),C是2【小題快練】1.思考辨析 靜心思考 判一判(1)平面向量不論經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.()(2)平面內(nèi)任何兩個(gè)不共線的向量均可作為一組基底.())(3)向量

與

的夾角為∠ABC.(

)AB

BC(4)在同一組基底下同一向量的表現(xiàn)形式是唯一的.(【解析】(1)正確.由向量的坐標(biāo)表示可知向量不論怎樣平移,其坐標(biāo)均為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo),故平移后坐標(biāo)不變.

(2)正確.由基底的定義可知,只要兩向量不共線均可作為一組基底.(3)錯(cuò)誤.兩向量的夾角,關(guān)鍵要看起點(diǎn)與方向,∠ABC的補(bǔ)角.(4)正確.由平面向量基本定理可知存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)λ,μ使a=λe1+μe2故其表現(xiàn)形式唯一.答案:(1)√

(2)√

(3)×

(4)√BC的夾

角應(yīng)為AB與2.教材改編 鏈接教材 練一練(1)(必修4P98例7改編)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,λ),若A,B,C三點(diǎn)共線,則λ=

.若A,B,C三點(diǎn)共線,則2(λ-3)-1×4=0,即2λ=10,得λ=5.答案:5=(1,λ-3).AB

BC【解析】由已知得

=

(2,4),(2)(必修4P99例8改編)設(shè)P是線段P1P2上的一點(diǎn),若P1(2,3),P2(4,7)且P是P1P2的一個(gè)四等分點(diǎn),則P的坐標(biāo)為

.【解析】由題意可知,P是P1P2的一個(gè)四等分點(diǎn)有三種情況:即=

1

或

=3

或

=

,P1P

3

PP2

P1P

PP2

P1PPP2=(4

-x,7-y),P1P

PP2設(shè)P(x,y),則

=(x-2,y-3),P1P若

=3

PP21

,則(x-2,y-3)=

(4-x1,7-y),33x

-

6

=

4

-

x,即

得3y

-

9

=

7

-

y,2y

=

4.x=

5，PP2,則

(x-2,y-3)=3(4-x,7-y),P1P若

=

3x

-

2

=12

-

3x,即

得y

-

3

=

21-

3y,2x=

7

,y

=

6.,則

(x-2,y-3)=(4-x,7-y),P1P

PP2若

=即x

-2

=4得-x,y

-

3

=

7

-

y,答案:x=

3,y

=

5.5

或( ,

4)2或7(3,5)( ,

6)23.真題小試 感悟考題 試一試(1)(2014·福建高考)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來(lái)的是(

)A.e1=(0,0),e2=(1,2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)【解析】選B.只有B選項(xiàng)兩個(gè)向量不共線,其他選項(xiàng)的向量都是共線的,不共線的向量方可成為基底,才可以表示向量a.(2)(2015·南寧模擬)在下列向量組中可以把a(bǔ)=(4,2)表示出來(lái)的是(

)A.b=(0,0),c=(3,2) B.b=(1,1),c=(-1,1)C.b=(1,-1),c=(-1,1)

D.b=(2,4),c=(1,2)【解析】選B.由已知A中,b=0,而C,D中兩向量共線,不符合作為基底的條件,而B中,a=3b-c,所以選B.ABAC(3)(2015·成都模擬)在?ABCD中,AC為一條對(duì)角線,

=(2,4),

=BD(1,3),則向量

的坐標(biāo)為

.答案:(-3,-5)AD所以(1,3)=(2,4)+(x,y),【解析】設(shè)=(x,y),因?yàn)?/p>

AC

=

AB

+

AD,所以1

=2

即+x,3

=

4

+

y,y

=

-1,

AD所x

以=-1,=(-1,-1),BD

=

AD

-

AB所以=(-1

,-1)-(2,4)=(-3,-5).考點(diǎn)1

平面向量基本定理及其應(yīng)用【典例1】(1)(2015·廣州模擬)設(shè)a是已知的平面向量且a≠0,關(guān)于向量a的分解,有如下四個(gè)命題:①給定向量b,總存在向量c,使a=b+c;②給定向量b和c,總存在實(shí)數(shù)λ和μ,使a=λb+μc;③給定單位向量b和正數(shù)μ,總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ,使a=λb+μc;④給定正數(shù)λ和μ,總存在單位向量b和單位向量c,使a=λb+μc.上述命題中的向量b,c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題的個(gè)數(shù)是(

)A.1

B.2

C.3

D.4試求t的值.3

3CP

=

CA

+

CB,(2)(2015·泉州模擬)在△ABC中,點(diǎn)P是AB上一點(diǎn),且2

1

Q是BC的中點(diǎn),AQ與CP的交點(diǎn)為M,又

CM

=

tCP,【解題提示】(1)利用平面向量基本定理來(lái)逐一判斷.(2)首先利用條件確定P點(diǎn)的位置,再利用平面向量基本定理確定基底,從而聯(lián)立方程得t.【規(guī)范解答】(1)選B.對(duì)于①因?yàn)閍與b給定,所以a-b一定存在,可表示為c,即c=a-b,故a=b+c成立,①正確;對(duì)于②,因?yàn)閎與c不共線,由平面向量基本定理可知②正確;對(duì)于③,以a的終點(diǎn)為圓心,以μ為半徑作圓,這個(gè)圓必須和向量λb有交點(diǎn),這個(gè)不一定滿足,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,由向量加法的三角形法則(不共線兩邊的和大于第三邊),即必有|λb|+|μc|=λ+μ>|a|,而給定的λ和μ不一定滿足此條件,所以④是假命題.所以即所以即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近A點(diǎn)),又因?yàn)锳,M,Q三點(diǎn)共線,3

3(2)因?yàn)?/p>

2

1

CP

=

CA

+

CB，

3CP

=

2CA

+CB，

2CP

-

2CA

=

CB

-

CP，

2AP

=

PB.故.AM

=

lAQ.設(shè)2

2CM

=

AM

-

AC

=

lAQ

-

AC

=

l(

AB

+

AC)

-

AC所以

1

1

AC,22AB

+=

l

l

-

2

CM

=

tCP

=

t

(AP

-

AC又

1

=

t(

AB

-

AC)33AB

-

tAC.=

t

3

解得2l

=

t

,

2l-

2=

-t，12t

=

3

,故t的值4

是l=

.34【易錯(cuò)警示】解答本例題(1)有兩點(diǎn)容易出錯(cuò).(1)對(duì)于①中判斷易直接利用平面向量基本定理而不會(huì)變換為c=a-b去判斷從而誤解.

(2)對(duì)于③④判斷時(shí)易忽視向量加法的幾何意義,及平面向量基本定理的理解而誤解.【互動(dòng)探究】題(2)中若條件和所求不變,再附加一問(wèn):M在AQ的什么位置?如何求解.【解析】由(2)的解析知,因此點(diǎn)M是AQ的中點(diǎn).AC2CM

=

AB

+2

l

及l(fā)-λ2=,12

CB

=

2CQ1CA2CM

=

l(CB

-

CA

+2

2

-l

2.2=

CB

+

(1-

l)CAl

CQ

+CA

=

lCQ

+

(1-

l)CA

=【規(guī)律方法】應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點(diǎn)(1)平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量.(2)選定基底后,通過(guò)向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件,把相關(guān)向量用這一組基底表示出來(lái).(3)強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用,用基底表示未知向量,常借助圖形的幾何性質(zhì),如平行、相似等.提醒:在基底未給出的情況下,合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便.OB【變式訓(xùn)練】如圖,已知△OCB中,A是CB的中點(diǎn),D是將

分成2∶1OAOB的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn),DC和OA交于點(diǎn)E,設(shè)

=a,

=b.(1)用a和b表示向量

,

.OC

DCOEOA(2)若

=λ

,求實(shí)數(shù)λ的值.則,得3OD

=【解析】(1)由題意知,A是BC的中點(diǎn),且2由平

行四邊形法OB，

OB

+

OC

=

2OA，OC

=

2OA

-

OaBb所以

=2-

,DC

=

OC

-

ODa-b)-

b=2a-

b.

=(22353(2)由題意知,

EC

DC，EC

=

xDC.故設(shè)EC

=

OC

-

OEa因?yàn)?(2

-b)-λaDC=(2-λ)a-b,

=2a-

b,53所以(2-λ)a-b=x(2a-

b5).3因?yàn)閍與b不共線,由平面向量基本定理,3得

5-1

=

-

x,452

-l

=

2x,

x

=

3

,解得

故λ=

5.l=

.45【加固訓(xùn)練】1.若a與b不共線,已知下列各組向量①a與-2b;②a+b與a-b;③a+b與a+2b;④a-1

b與1

a-1

b.2

2

4其中可以作為基底的是

(只填序號(hào)即可).【解析】因?yàn)閍與b不共線,所以,對(duì)于①,顯然a與-2b不共線;對(duì)于②,假設(shè)a+b與a-b共線,則存在實(shí)數(shù)λ,使a+b=λ(a-b),則λ=1且-λ=1,

由此得λ=1且λ=-1矛盾,故假設(shè)不成立,即a+b與a-b不共線;同理,對(duì)2

4

2

2于③,a+b與a+2b也不共線;對(duì)于④,

1a-

b1=

(a1-

b),1故a-

b與

121a-

b1共線.由基向量的定義知,①②③都可以作為基底,④不可以.2

4答案:①②③=c,以a,b為基底試表示c.2.(2015·武漢模擬)如圖所示,已知OBAB

=

2BC，

OA

OC

=a,

=b,

【解析】由

得AB

=

2BC，

即

AO

+OB

=

2 BO

+OC

，

2OC

=

-OA

+

3OB，2即c=3

b-

1a.2考點(diǎn)2

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算A.(-6,21) B.(-2,7)C.(6,-21) D.(2,-7)【典例2】(1)(2015·臨沂模擬)在△ABC中,點(diǎn)P在BC上,且

=2

,BP

PCPQPA

BC點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn),若

=(4,3),

=(1,5),則

等于(

)(2)(2013·北京高考)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),則

l

=

.mPC【解題提示】(1)利用已知求得

的

坐標(biāo)即可求BC(2)結(jié)合圖形建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及平面向量基本定理列方程組求解.的坐標(biāo).【規(guī)范解答】(1)選A.如圖,2),QC

=

AQ

=

PQ

-

PA

=(1,5)-(4,3)=(-3,PC

=

PQ

+QC

=(1,5)+(-3,2)=(-2,7),=3

=(-6,21).BC

PC(2)以向量a,b的交點(diǎn)為原點(diǎn),原點(diǎn)向右的方向?yàn)閤軸正方向,正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系,則a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,答案:4-l

+

6m

=

-1,l+

2m

=

-3,2-3),根據(jù)c=λa+μb得(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),即解得λ=-2,μ=-

,1所以

=l4.m【互動(dòng)探究】在本例(2)中,試用a,c表示b.【解析】建立本例(2)規(guī)范解答中的平面直角坐標(biāo)系,則a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),設(shè)b=xa+yc,則(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3),即

-x

-

y解=

6得,x

-

3y

=

2,故xb==--44,a-2c.y

=

-2,【規(guī)律方法】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).

(2)解題過(guò)程中,常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則,通過(guò)列方程

(組)來(lái)進(jìn)行求解.OC【變式訓(xùn)練】已知向量a=(6,4),b=(0,2),

=a+λb,O為坐標(biāo)原點(diǎn),2若點(diǎn)C在函數(shù)y=sin

px

的圖象上,求實(shí)數(shù)λ的值.12【解析】因?yàn)?/p>

=

a+λb=(6,4)+λ(0,2)=(6,4+2λ),OC所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,4+2λ).又點(diǎn)C在函數(shù)y=sin

px的圖象上,12故4+2λ=sin

p=1,所以λ=-

.32【加固訓(xùn)練】1.已知點(diǎn)A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),給出下面的其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)AB

+

BC

=

CA;結(jié)論:①直線OC與直線BA平行;②

OA

+

OC

=

OB;③

AC

=

OB

-

2OA.④

OC【解析】選C.由題意得

=

(-2,1),BA=(2,-1),故,又OC

BA因?yàn)?/p>

故②錯(cuò)誤;AB

+

BC

=

AC，OA

+

OC因?yàn)镺B=(0,2)=

,故③

正確;OB因?yàn)?2OA=(-4,0),AC=(-4,0),故④正確.所以選C.

無(wú)公共點(diǎn),故OC∥BA,①正確;OC，BA2.已知點(diǎn)A(-1,2),B(2,8)以及求點(diǎn)C,D的坐3

3

1

1

AC

=

AB，DA

=

-

BA，BA=(-3,-6).DA=(-1-x2,2-y2),AC

1

1

AB得

=(x

+1,y

-2),

=(3,6),標(biāo)和CD

的坐標(biāo).【解析】設(shè)點(diǎn)C,D的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),所以點(diǎn)C,D的坐標(biāo)分別是(0,4),(-2,0),從而3

3因?yàn)?

1

AC

=

AB，DA

=

-

BA，所以有

x1

+1和=1,-解1-得x2

=1,和y

-

2

=

2

2

-

y

=

2.x1

=

0,y

=

4

1

2

1x2

=

-2,y=

0,

2CD=(-2,-4).考點(diǎn)3

平面向量共線的坐標(biāo)表示及運(yùn)算知·考情以平面向量的共線為載體考查三角函數(shù)問(wèn)題及利用平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)的范圍,是高考考查的一個(gè)重要考向,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).明·角度命題角度1:利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)的值或角【典例3】(2014·陜西高考)設(shè)0<θ<p

,向量a=(sin2θ,cosθ),2b=(cosθ,1),若a∥b,則tanθ=

.【解題提示】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)化簡(jiǎn)即可得解.【解析】由a∥b得sin2θ-cos2θ=0,即2sinθcosθ=cos2θ,又0<θ<p

,cosθ≠0,所以2sinθ=cosθ可得tanθ=

.

122答案:

12命題角度2:利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)的值【典例4】(2013·陜西高考)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,則實(shí)數(shù)m等于(

)

(本題源于教材必修4P101T5)A.-

B.2C.-

2

或

D.02

2【解題提示】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示列方程求解.【規(guī)范解答】選C.因?yàn)閍=(1,m),b=(m,2),a∥b,所以1×2-m2=0,即m2=2,故m=±2

.悟·技法1.根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)的值:利用向量共線轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程,解方程可求參數(shù).

2.利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值:利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程,再利用三角恒等變換求解.通·一類a∥b,則銳角θ等于(

)A.30°

B.45°

C.60°D.75°1.(2015·沈陽(yáng)模擬)已知向量a=(1-sinθ,1),b=(1

,1+sinθ),若2【解析】選B.由a∥b得,(1-sinθ)(1+sinθ)-1×

=01,2解得sinθ=±

.2又θ為銳角,所以θ=45°.22.(2015·攀枝花模擬)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ為實(shí)數(shù),(a+λb)∥c,則λ=(

)【解析】選B.因?yàn)閍+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),c=(3,4),又(a+λb)∥c,所以4(1+λ)-2×3=0.解得λ=2A.

1

B.

1

C.1

D.24.

12)OA

OB10),且A,B,C三點(diǎn)共線,則k的值是(OC3.(2015·鄭州模擬)已知向量

=(k,12),

=(4,5),

=(-k,D.

13A.-

2

B.

4

C.

13

3

2【解析】選A.

=(4-k,-7),AC

=

OC

-

OAAB

=

OB

-

OA

=(-2

k,-2).因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以

共線,AB，AC所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-2.3創(chuàng)新體驗(yàn)3

以向量坐標(biāo)運(yùn)算為載體的創(chuàng)新問(wèn)題【創(chuàng)新點(diǎn)撥】高考考情:以向量的坐標(biāo)運(yùn)算為載體的創(chuàng)新問(wèn)題是近幾年高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),綜合考查向量與函數(shù)等知識(shí),考查學(xué)生的應(yīng)變能力與創(chuàng)新能力.【新題快遞】1.(2015·貴陽(yáng)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,若O為坐標(biāo)原點(diǎn),則A,B,C點(diǎn)共線分解系數(shù)”.若已知P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三點(diǎn)共線且向A.-3

B.3C.1D.-1OAOBOC三點(diǎn)在同一直線上的充要條件為存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使得

=λ

OAOC

OB+(1-λ)

成立,此時(shí)稱實(shí)數(shù)λ為“向量

關(guān)于

和

的終OP3線分解系數(shù)”為(

)OP3

OP1OP2量

與向量a=(1,-1)共線,則“向量

關(guān)于

和

的終點(diǎn)共-1,3-2λ),所以【解析】選D.由

與

向量a=(1,-1)共線,可設(shè)OP3=(t,-t)(t≠0),由=

λOP3

OP1OP3+(1-λ)OP2得(t,-t)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ4l-兩1

=式t,相加得2λ+2=0,所以λ=-1.3

-

2l

=

-t,2.(2015·杭州模擬)將