八立體幾何（理）-2021年高考數(shù)學(xué)真題模擬試題

（8）立體幾何（理）一2021年高考數(shù)學(xué)真題模擬試題專項(xiàng)匯

編

1.［2021年新高考I卷，3］已知圓錐的底面半徑為近，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的

母線長為（）

A.2B.2近C.4D.4夜

2.【2021年新高考II卷，4】衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平

面，軌道高度為36000km（軌道高度指衛(wèi)星到地球表面的最短距離）.把地球看成一個(gè)球心為0,半

徑為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指0A與赤道所在平面所成角的度數(shù)，地球表面能直接觀測(cè)到

的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星的點(diǎn)的緯度的最大值記為a.該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面面積

S=27tr2（l-cosa）（單位：km2）,則S占地球表面積的百分比為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

3.【2021年北京卷，4】某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

4.【2021年新高考H卷，5】正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則四棱臺(tái)的

體積為（）

A,B.5642C.28夜1）.

33

5.【2021年全國乙卷（理），5］在正方體ABS-AqCQ中，P為BQ的中點(diǎn)，則直線PB與AR所

成的角為（）

A.-B.-C.-D.-

2346

6.【2021年全國甲卷（理），6］在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方

體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

7.【2021年北京卷，8】定義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度.其中小雨

(<10mm),中雨(10mm—25mm),大雨(25mm—50mm),暴雨(50mm—100mm),小明用一個(gè)圓錐形

容器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)()

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

8.【2021年全國甲卷(理)，11】已知A,B,C是半徑為1的球0的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC_L3C,

4c=3C=1,則三棱錐O-ABC的體積為()

A.變B.且C.正D.@

121244

9.【2021年上海卷，9］已知圓柱的底面半徑為1,高為2,AB為上底面圓的一條直徑，點(diǎn)C為下

底底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C繞著下底底面旋轉(zhuǎn)一周，則415。面積的取值范圍為.

10.【2021年全國乙卷(理)，16】以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視

圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為.______(寫出符

合要求的一組答案即可).

11.【2021年北京卷，17］已知正方體ABC￡>—A4CQ,,點(diǎn)E為AA中點(diǎn)，直線4G交平面CDE

于點(diǎn)F.

(1)證明：點(diǎn)F為用￡的中點(diǎn);

(2)若點(diǎn)M為棱Ag上一點(diǎn)，且二面角M-CF-E的余弦值為更，求則的值.

3A百

12.(2021年全國乙卷(理)，18］如圖，四棱錐P-A8CD的底面是矩形，尸￡>，底面ABCD,

PD=DC=\,M為BC的中點(diǎn)，且P3_LAM.

(1)求BC；

(2)求二面角A—PM—B的正弦值.

13.［2021年全國甲卷(理)，19】已知直三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面例用8為正方形.AB=BC=2,

E,F分別為AC和CG的中點(diǎn)，D為棱A瓦上的點(diǎn)，BF

(1)證明：BFLDE；

(2)當(dāng)耳。為何值時(shí)，面與面DFE所成的二面角的正弦值最?。?/p>

14.［2021年新高考II卷，19］在四棱錐。-A8CD中，底面ABCD是正方形，若4)=2,

QD=QA=yf5,QC=3.

(1)證明：平面。ADJ.平面ABCD；

(2)求二面角8-QO-A的平面角的余弦值.

15.【2021年新高考I卷，20］如圖，在三棱錐A-BCE＞中，平面4h，平面BCD,AB=AD，0

為BD的中點(diǎn).

A

C

(1)證明：OAA.CD,

⑵若VOC。是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE^2EA,且二面角E-BC-。的大小

為45°，求三棱錐A的體積.

答案以及解析

1.答案：B

解析：本題考查圓錐的側(cè)面展開圖.設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為1.由題意可得2a=河，所

以/=2〃=2\/2.

2.答案：C

解析：由題意可知，cosa=—--=———z0.15,所以從同步衛(wèi)星上可望見的地球的表

r+360006400+36000

面積S=2兀/(1-cosa)x27tr(l-0.15),此面積與地球表面積之比約為27tL。一,°,⑸x100%?42%.

4nr

3.答案：A

解析：畫正方體，刪點(diǎn)，剩下的4個(gè)點(diǎn)就是三棱錐的頂點(diǎn)，如圖：

4.答案:D

解析:本題考查棱臺(tái)的體積.將正四棱臺(tái)ABCR-ABCD補(bǔ)成四棱錐P-ABCD，作PO_L底面ABCD

于點(diǎn)0,交平面AB￡D、于點(diǎn)01,則棱臺(tái)ABCR-ABCD的體積V=VP_ABCD-匕1Gq.由題意，

"=歿=2=2=4，易知，%=4,40=2也，而尸O=52片_A02=J42_(2夜.=20,

所以則VP_ABCI}=1x(4x4)x2>/2=,匕，-481c也=gx(2x2)xj5=殍，所以棱臺(tái)

ABCR-ABCD的體積V=V^ABCI}-=竿-華=箏?

5.答案:D

解析：本題考查立體幾何中的線面關(guān)系及解三角形的應(yīng)用.如圖，記正方體的棱長為a,則

AR=QB=AQ=BR=&,所以B/=PG=￥"，力尸二5/0尸+旦>2=^a.在△8C/中,

由余弦定理得cosNPBG=J,所以NPBG=*又因?yàn)锳D,//BC,,所以

即為直線PB與AQ所成的角，所以直線PB與AR所成的角為四.

'6

DC

6.答案：D

解析：本題考查三視圖.由正視圖虛線可知所截為正方體的里面左下角，故側(cè)視圖為實(shí)線左下角.

7.答案：B

200

解析：由相似的性質(zhì)可得，小圓錐的底面半徑r=N-=50,故匕.=1X7cx5O2xl5O=5O3?兀,

2"、叨11箕3

積水厚度〃=匕遒段=變==12.5,屬于中雨，故選B.

S大圈K100-

8.答案：A

萬

解析：本題考查三棱錐和球.設(shè)AB的中點(diǎn)是O,aI^O'A=O'B=O'C=—,又OA=OB=OC=1,

2

則三棱錐的高是00=立，故體積是'上屋也;正.

232212

9.答案：［2,右］

解析：本題主要考查空間幾何體.上頂面圓心記為0,下底面圓心記為0',連接0C,過點(diǎn)C作

CMLAB,垂足為點(diǎn)M,貝US”睦=gxA8xCM,根據(jù)題意，AB為定值2,所以工的大小隨著

CM長短的變化而變化.當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)0重合時(shí)，CM=OC=J4+22=石,取得最大值，此時(shí)

SA.C=1X2X6=6?當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，CM取最小值2,此時(shí)邑3=；x2x2=2.綜上所述，

S.ABC的取值范圍為⑵石】?

10.答案：②⑤或③④

解析：本題考查幾何題的三視圖.由高度可知，側(cè)視圖只能為②或③.

當(dāng)側(cè)視圖為②時(shí)，則該三棱錐的直觀圖如圖1,平面R1C_L平面ABC,PA=PC=O,BA=BC=&

AC=2,此時(shí)俯視圖為⑤；當(dāng)側(cè)視圖為③時(shí)，則該三棱錐的直觀圖如圖2,上4,平面ABC,PA=l,

AC=AB=y/5,BC=2,此時(shí)俯視圖為④.

11.答案：(1)證明：連接￡>￡,因?yàn)锳BCD-ABCQ為正方體，所以AA〃4G，CD//C.D,.

又因?yàn)閏z)a平面A4GR,GRU平面ABC.,所以cn//平面.

因?yàn)槠矫鍯￡>EFn平面A4GR=EF，且CDu平面CDEF,所以CD//EF,所以C,D,//EF,

所以AiBt//EF//ClDt,

又因?yàn)锳A〃4G，所以四邊形外烏/石為平行四邊形，四邊形EFCQ為平行四邊形，

所以AE=BF，ER=FC「而點(diǎn)E為AQ中點(diǎn)，

所以AE=ER,所以B,F=FQ,所以點(diǎn)F為8c中點(diǎn).

(2)因?yàn)锳BC￡)-A81CQ為正方體，故DA,DC,OR兩兩垂直，

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,。。所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

令正方體ABCQ-AB|GA的棱長為2,設(shè)4力=24瓦(04彳41).

則C(0,2,0),￡(1,0,2),F(l,2,2),M(2,22,2).

CE=(l,-2,2),CF=(1,0,2),CM=(2,22-2,2).

設(shè)平面CEF的法向量為％=a，y,zj,

則回j=°,即儼9+21。，

[CF-n.=0[玉+2馬=0

故y[=0，令4=-1,x,=2,

可取a=(2,o,-i).

設(shè)平面CMF的法向量為%=(%，%，22)，

CM-=0(2X+(22-2)y+2z=0

___，即〈2-2-2

CF-n2=0[A+2Z2=0

設(shè)二面角M-CF-E為9且9為銳角故

解得九二工￡[01],故皿=」.

2442

12.答案：(1)連接BD.

因?yàn)榈酌鍭BCD,且AAfu平面ABCD,

所以AM_LPE>.

又因?yàn)镻BcPD=P,P3u平面PBD,PDu平面PBD,

所以AW_1平面PBD.

又3￡>u平面PBD,所以AW_L3/),所以NA￡)B+NDW=90。.

又NZM/W+ZM48=90°,

所以ZADB=ZMAB,所以Rt^DAB,

則攔=4竺，所以13c2=1,解得8C=0.

ABBM2

(2)易知DA,DC,DP兩兩垂直，故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4夜,0,0),8(0,1,0),M

所以麗=(-夜QI),~AM=\--,1,0,BM=--,0,0,即

[2)I2)

設(shè)平面AMP的法向量為〃=(x,y,z),

r-TT,A[-V2JC+Z=0,

wn-Ar=0,

則有4____即Hr1《J?

n-AM=0,----x+y=0,

2

令x=>/2,則y=1,z=2,故〃=(>/2,l,2).

設(shè)平面BMP的法向量為機(jī)=(p,%r),

亭。,

則有卜?麗=。,即<

m-BP=0,-\[2p-q+r=0,

令4=1,則r=l,故帆=(0,1,1),

mw/M\n-m\33V14

所以cos<n,in)=------=-7=——7==-----

|n||m|77x7214

13.答案：(1)因?yàn)镋,F分別是AC和CG的中點(diǎn)，側(cè)面4Al始B為正方形且A8=5C=2,

所以CF=1,BF=y/5.

如圖，連接AF,由BF_LAB|，AB〃A耳，得BFLAB,于是AF=4BF+AB。=3,所以

AC=jAF°-CF，=2猴.由AB'+BCJaC?得姑_LBC,故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,BC,期所

在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz,

則8(0,0,0),￡(1,1,0),尸(0,2,1),麗=(0,2。).

設(shè)用。=機(jī)(04相42),則。(〃?,0,2),

于是麗=(1-m,1,-2).

所以B戶。月=0,所以BFLDE.

(2)易知面34CC的一個(gè)法向量為%=(1,0,0).

設(shè)面DFE的法向量為〃2=(%,y,z)，

DE?%=0,

則s

EFn2=0,

又逆=（1一九1,-2）,前=（—1,1,1）,

（1一加）尤+y-2z=0,人/口

所以,令x=3,得y=m+l,z=2-/n,

-x+y+z=0,

于是，面DFE的一個(gè)法向量為〃2=(3,機(jī)+1,2-加)，

3

所以COS〈％,〃2〉=

設(shè)面與面DFE所成的二面角為。，則sin6>=Jl—cos2(〃1,"2〉，

故當(dāng)機(jī)=；時(shí)，面BBC。與面DFE所成的二面角的正弦值最小，為理,即當(dāng)耳短=；時(shí)，面84GC

與面DFE所成的二面角的正弦值最小.

14.答案：(1)如圖，取AD的中點(diǎn)E,連接EQ,EC.

因?yàn)镼A=Q￡>=逐，所以QE_LA￡>.

又因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，4)=2,所以。E=2,EC<,

MQE'+EC2=9=QC2,所以QE_LEC.

又ECcAD=E,EC,4)u平面ABCD,

所以QEJL平面ABCD.

因?yàn)镼Eu平面QAD,所以平面04￡>，平面ABCD.

(2)由(1)知QEJ_平面ABCD,因此以點(diǎn)E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz,則

5(2,-1,0),￡>(0,1,0),0(0,0,2),BD=(-2,2,0),麗=(0,-1,2).

設(shè)平面BDQ的法向量/=(x,y,z),則J〃「吧=°，即［V=*

ntDQ=01y=2z,

取z=l,得x=y=2,則%=(2,2,1).

易知平面A