等腰三角形 全省一等獎(jiǎng)

第23課時(shí)

等腰三角形1．[2015·荊門(mén)]已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和4，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為 () A．8或10 B．8 C．10 D．6或122．[2014·鹽城]若等腰三角形的頂角為40°，則它的底角度數(shù)為 () A．40° B．50° C．60° D．70°[小題熱身]CD3．[2015·蘇州]如圖23－1，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∠BAD＝35°，則∠C的度數(shù)為() A．35° B．45° C．55° D．60° 【解析】

AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，

∴AD是∠BAC的平分線，∠B＝∠C，

∵∠BAD＝35°，

∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，圖23－1C4．如圖23－2，BD是△ABC的角平分線，∠ABD＝36°，∠C＝72°，則圖中的等腰三角形有_______個(gè)．圖23－23一、必知5 知識(shí)點(diǎn)1．等腰三角形的概念和性質(zhì)

定義：有兩_______相等的三角形是等腰三角形．

性質(zhì)：(1)等腰三角形是______________，頂角平分線所在直線是它的對(duì)稱(chēng)軸； (2)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱(chēng)______________)； (3)等腰三角形的頂角__________，底邊上的________和高線互相重合(簡(jiǎn)稱(chēng)等腰三角形三線合一)．[考點(diǎn)管理]邊軸對(duì)稱(chēng)圖形等邊對(duì)等角平分線中線【智慧錦囊】等腰三角形常見(jiàn)結(jié)論：(1)等腰三角形兩腰上的高相等；(2)等腰三角形兩腰上的中線相等；(3)等腰三角形兩底角的平分線相等；(4)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半；(5)等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行；(6)等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高；(7)等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之差等于一腰上的高．2．等腰三角形判定

判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．(簡(jiǎn)稱(chēng)等角對(duì)等邊)

拓展：(1)一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形； (2)一邊上的高與這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形； (3)一邊上的中線與這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形．3．等邊三角形的性質(zhì)

定理：等邊三角形的各個(gè)角都等于60°.4．等邊三角形的判定：

判定定理：(1)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形； (2)有一個(gè)角等于60°的________三角形是等邊三角形．5．線段的垂直平分線

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離_______．

判定：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的______________上．等腰相等垂直平分線【智慧錦囊】(1)等腰三角形的性質(zhì)常用于證明角相等、線段相等、直線垂直，其用途較廣，題型變化多；(2)已知等腰三角形，常添的輔助線是作底邊上的高(或頂角平分線或底邊上的中線)；(3)等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是底邊的垂直平分線．二、必會(huì)2 方法1．分類(lèi)討論

在等腰三角形中，若條件中沒(méi)有明確底和腰時(shí)，一般

應(yīng)從某一邊是底還是腰進(jìn)行討論，還要注意構(gòu)造三角形的條件，滿(mǎn)足三邊關(guān)系；同樣在條件中沒(méi)有明確底角和頂角時(shí)，也要進(jìn)行分類(lèi)討論．2．方程思想

與等腰三角形有關(guān)的角度計(jì)算，常用方程思想，結(jié)合三角形內(nèi)角和等于180°來(lái)解，是中考的熱點(diǎn)考題．三、必明3 易錯(cuò)點(diǎn)1．等邊三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等邊三角形；2．解答等腰三角形的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常作輔助線，構(gòu)造出“三線合一”的基本圖形，在添加輔助線時(shí)，要根據(jù)具體情況而定，表達(dá)輔助線的語(yǔ)句不能限制太多，如“作一邊上的高并且要平分這條邊”“作一個(gè)角的平分線并且垂直對(duì)邊”等，這些都是不正確的；3．在解有關(guān)等腰三角形問(wèn)題時(shí)，不要總認(rèn)為腰大于底，實(shí)際上底也可以大于腰，此時(shí)也能構(gòu)成三角形.類(lèi)型之一等腰三角形的性質(zhì) [2014·南充]如圖23－3，在△ABC

中，AB＝AC，且D為BC上一點(diǎn)，

CD＝AD，AB＝BD，則∠B的度數(shù)

為 () A．30° B．36° C．40° D．45°B圖23－3 【解析】

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵AB＝BD，

∴∠BAD＝∠BDA＝∠C＋∠CAD，

∵CD＝AD，∴∠C＝∠CAD，

∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＋∠C＝180°，

∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°. 【點(diǎn)悟】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行角度計(jì)算，常與三角形內(nèi)角和結(jié)合，利用方程求解．1．[2014·新疆]如圖23－4，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，點(diǎn)D在AC上，BD＝BC，則∠ABD的度數(shù)是________.圖23－430°2．[2015·杭州]如圖23－5，在△ABC中，已知

AB＝AC，AD平分∠BAC，點(diǎn)M，N分別在

AB，AC邊上，AM＝2MB，AN＝2NC.求

證：DM＝DN.

證明：∵AM＝2MB，AN＝2NC，AB＝AC，

∴AM＝AN， AD平分∠BAC，

∴∠MAD＝∠NAD，

∴△AMD≌△AND(SAS)，

∴DM＝DN.圖23－5類(lèi)型之二等腰三角形的性質(zhì)與線段的垂直平分線的結(jié)合 [2015·畢節(jié)]如圖23－6，等腰△ABC的底角為72°，腰AB的垂直平分線交另一腰AC于點(diǎn)E，垂足為D，連結(jié)BE，則∠EBC的度數(shù)為_(kāi)_________. 【解析】

∵等腰△ABC的底角為72°，

∴∠A＝180°－72°×2＝36°，

∵AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E，

∴AE＝BE，

∴∠ABE＝∠A＝36°，

∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝36°.圖23－636°1．如圖23－7，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是

AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，

連結(jié)AE.已知∠BAE＝10°，則∠C的度數(shù)為

() A．30° B．40° C．50° D．60°B圖23－7 【解析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等邊對(duì)等角等知識(shí)．

∵ED垂直平分AC，∴EC＝EA，

∴∠C＝∠EAC，

又∵∠B＋∠BAE＋∠C＋∠EAC＝180°，2．[2015·隨州]如圖23－8，△ABC中，AB＝5，

AC＝6，BC＝4，邊AB的垂直平分線交AC

于點(diǎn)D，則△BDC的周長(zhǎng)是 () A．8 B．94 C．10 D．11 【解析】

AB的垂直平分線交AC于D，

∴AD＝BD，

∵△BDC的周長(zhǎng)＝DB＋BC＋CD，

∴△BDC的周長(zhǎng)＝AD＋BC＋CD＝AC＋BC＝6＋4＝10.C圖23－83．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得銳角為50°，則∠B＝________________.20°或70°變式跟進(jìn)3答圖類(lèi)型之三等腰三角形的判定 [2014·襄陽(yáng)]如圖23－9，在△ABC中，

點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，BD與CE交于

點(diǎn)O，給出下列三個(gè)條件：

①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD； ③OB＝OC. (1)上述三個(gè)條件中，由哪兩個(gè)條件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序號(hào)寫(xiě)出所有成立的情形) (2)請(qǐng)選擇(1)中的一種情形，寫(xiě)出證明過(guò)程．圖23－9

解：(1)①②；①③； (2)選①②，證明如下：

在△BOE和△COD中，

∵∠EBO＝∠DCO，∠EOB＝∠DOC，BE＝CD，

∴△BOE≌△COD，

∴BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB，

即∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，

即△ABC是等腰三角形．1．已知：如圖23－10，銳角△ABC的兩條

高BD，CE相交于點(diǎn)O，且OB＝OC. (1)求證：△ABC是等腰三角形； (2)判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的平分線上，

并說(shuō)明理由． 【解析】

(1)要證△ABC是等腰三角形，可通過(guò)證兩個(gè)角相等，從而得到兩邊相等，本題可證△BDC≌△CEB，易知∠BDC＝∠BEC＝90°，BC＝CB，再由OB＝OC，得∠OBC＝∠OCB，利用AAS可證△BDC≌△CEB，得到∠ACB＝∠ABC，則AB＝AC. (2)根據(jù)角平分線的判定定理，轉(zhuǎn)化為證OD＝OE即可．圖23－10

解：(1)證明：∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB.

∵BD，CE是△ABC的兩條高，

∴∠BDC＝∠CEB＝90°.

又∵BC＝CB，

∴△BDC≌△CEB(AAS)，

∴∠ACB＝∠ABC，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形； (2)點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上．

理由：∵△BDC≌△CEB，

∴BD＝CE.

∵OB＝OC，

∴OD＝OE.

又∵OD⊥AC，OE⊥AB，

∴點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上．2．如圖23－11，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF與DE交于點(diǎn)O. (1)求證：AB＝DC； (2)試判斷△OEF的形狀，并說(shuō)明理由． 【解析】

(1)證明△ABF≌△DCE； (2)由等角對(duì)等邊可判斷其形狀．

解：(1)證明：∵BE＝CF，

∴BE＋EF＝CF＋EF，

即BF＝CE.

又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，

∴△ABF≌△DCE(AAS)，

∴AB＝DC；圖23－11 (2)△OEF為等腰三角形．理由如下：

∵△ABF≌△DCE，

∴∠AFB＝∠DEC，

∴OE＝OF，

∴△OEF為等腰三角形． 【點(diǎn)悟】判定等腰三角形的一般方法是“兩邊相等”和“等角對(duì)等邊”兩種，這就涉及證明線段相等或角相等的問(wèn)題，結(jié)合三角形全等可以解決．類(lèi)型之四等邊三角形的性質(zhì)與判定 [2016·中考預(yù)測(cè)]如圖23－12，已知△ABC為等邊三角形，D為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CE平分∠ACD，CE＝BD，求證：△ADE為等邊三角形． 【解析】由條件可以證明△ABD≌ △ACE，進(jìn)一步得出AD＝AE，

∠BAD＝∠CAE，加上∠DAE＝60°，

即可證明△ADE為等邊三角形．圖23－12

證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，

∴∠ACD＝120°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠1＝∠2＝60°，

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

又∵∠BAC＝60°，

∴∠DAE＝60°，

∴△ADE為等邊三角形． 【點(diǎn)悟】在幾何問(wèn)題的解答過(guò)程中，有一部分思路來(lái)源于靈感，這種靈感建立在對(duì)一些幾何圖形的基本性質(zhì)(如本題是等邊三角形的基本性質(zhì))的掌握之上，借助這些圖形的特性，可以啟發(fā)我們尋找解答問(wèn)題的思路和方法，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的． [2014·溫州]如圖23－13，在等邊三角形

ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，

且DE∥AB，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC

的延