追及與相遇問題

追及與相遇問題第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三追及與相遇問題第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三1、追及與相遇問題的實質(zhì)：2、理清三大關(guān)系：

兩者速度相等。它往往是物體間能否追上或（兩者）距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。

研究的兩物體能否在相同的時刻到達相同的空間位置的問題。時間關(guān)系、速度關(guān)系、位移關(guān)系。3、巧用一個條件：第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三

1.物理分析法：抓好“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關(guān)鍵，認真審題，挖掘題中的隱含條件，在頭腦中建立起一幅物體運動關(guān)系的圖景。

2.數(shù)學(xué)分析法：設(shè)相遇時間為t，根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于t的方程（通常為一元二次方程），用判別式進行討論，若>0，即有兩個解，說明可以相遇兩次；若=0，說明剛好追上或相遇；若<0，說明追不上或不能相碰。

3.圖象法：將兩者的速度—時間圖象在同一坐標系中畫出，然后利用圖象求解。

4.相對運動法：巧妙地選取參照系，然后找兩物體的運動關(guān)系。

解答追及、相遇問題常用的方法第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三(1)速度小者追速度大者類型圖象說明勻加速追勻速①t=t0以前,后面物體與前面物體間距離增大②t=t0即速度相等時,兩物體相距最遠為x0+x③t=t0以后，后面物體與前面物體間距離減?、苣茏芳扒抑荒芟嘤鲆淮蝿蛩僮穭驕p速勻加速追勻減速第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三1.在解決追及相遇類問題時，要緊抓“一圖三式”，即：過程示意圖，時間關(guān)系式、速度關(guān)系式和位移關(guān)系式，另外還要注意最后對解的討論分析。2.分析追及、相遇類問題時，要注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等，往往對應(yīng)一個臨界狀態(tài)，滿足相應(yīng)的臨界條件。解題思路分析兩物體運動過程畫運動示意圖找兩物體的關(guān)系式列方程求解第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三(1)汽車一定能追上自行車嗎？若能追上，汽車經(jīng)多長時間追上？追上時汽車的瞬時速度多大？例3一輛汽車以3m/s2的加速度開始啟動的瞬間，另一輛以6m/s的速度做勻速直線運動的自行車恰好從汽車的旁邊通過．(2)當v汽<v自時，兩者距離如何變化？當v汽>v自時，兩者距離如何變化？汽車追上自行車前多長時間與自行車相距最遠？此時的距離是多大？(3)畫出兩車運動的v－t圖象，并試著用圖象法解上述兩問題．第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三例3一輛汽車以3m/s2的加速度開始啟動的瞬間，解：汽車:第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三例3一輛汽車以3m/s2的加速度開始啟動的瞬間，另一輛以6m/s的速度做勻速直線運動的自行車恰好從汽車的旁邊通過．(1)汽車一定能追上自行車嗎？若能追上，汽車經(jīng)多長時間追上？追上時汽車的瞬時速度多大？(2)當v汽<v自時，兩者距離如何變化？當v汽>v自時，兩者距離如何變化？汽車追上自行車前多長時間與自行車相距最遠？此時的距離是多大？解：汽車:乘客:第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三(3)畫出兩車運動的v－t圖象，并試著用圖象法解上述兩問題．第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三練一練、甲.乙兩車在平直公路上比賽，某一時刻，乙車在甲車前方L1＝11m處，乙車速度v乙＝60m/s，甲車速度v甲＝50m/s，此時乙車離終點線尚有L2＝600m，如圖所示.若甲車加速運動，加速度a＝2m/s2，乙車速度不變，不計車長.求：（1）經(jīng)過多長時間甲.乙兩車間距離最大，最大距離是多少？

（2）經(jīng)過多長時間甲乙兩車相遇？（3）試通過計算說明到達終點前甲車能否超過乙車？第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三(2)速度大者追速度小者類型圖象說明勻減速追勻速開始追及時，后面物體與前面物體間的距離在減小，當兩物體速度相等時，即t=t0時刻：①若x=x0，則恰能追及，兩物體只能相遇一次，這也是避免相撞的臨界條件②若x<x0，則不能追及，此時兩物體最小距離為x0-x③若x>x0，則相遇兩次，設(shè)t1時刻x1=x0，兩物體第一次相遇，則t2時刻兩物體第二次相遇勻速追勻加速勻減速追勻加速第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三

說明：①表中的x是開始追及以后，后面物體因速度大而比前面物體多運動的位移；

②x0是開始追及以前兩物體之間的距離；

③t2-t0=t0-t1；

④v1是前面物體的速度，v2是后面物體的速度。第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三解：汽車:乘客:此時人和車相距最近此過程：x人＝vt＝4×2m＝8m第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三在一條平直的公路上，乙車以10m/s的速度勻速行駛，甲車在乙車的后面做初速度為15m/s，加速度大小為0.5m/s2的勻減速運動，則兩車初始距離L滿足什么條件時可以使：（1）兩車不相遇；（2）兩車只相遇一次；（3）兩車能相遇兩次（設(shè)兩車相遇時互不影響各自的運動）第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三例1：一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮起時汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后面超過汽車。試求：汽車從路口開動后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠？此時距離是多少？第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三甲、乙兩車在一平直道路上同向運動，其v-t圖象如圖示，圖中△OPQ和△OQT的“面積”分別為x1和x2(x2>x1)。初始時，甲車在乙車前方x0處()A.若x0=x1+x2，兩車不會相遇B.若x0<x1，兩車相遇2次C.若x0=x1，兩車相遇1次D.若x0=x2，兩車相遇1次ABC第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三分析：汽車追上自行車之前，

v汽<v自時△x變大

v汽=v自時△x最大

v汽>v自時△x變小解法一物理分析法兩者速度相等時，兩車相距最遠。（速度關(guān)系）

v汽=at=v自∴t=v自/a=6/3=2s△x=v自t－at2/2=6×2－3

×22/2=6m第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三解法二用數(shù)學(xué)求極值方法來求解設(shè)汽車在追上自行車之前經(jīng)過t時間兩車相距最遠∵△x=x1－x2=v自t－at2/2（位移關(guān)系）∴△x=6t

－3t2/2由二次函數(shù)求極值條件知t=－b/2a=6/3s=2s時，△x最大∴△xm=6t－3t2/2=6×2－3

×22/2=6m第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三解法三用相對運動求解更簡捷

選勻速運動的自行車為參考系，則從運動開始到相距最遠這段時間內(nèi)，汽車相對參考系的各個物理量為：初速度v0=v汽初－v自=0－6=－6m/s末速度vt=v汽末－v自=6－6=0加速度a=a汽－a自=3－0=3m/s2∴相距最遠x===－6mvt2－v022a－622×3第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三解法四用圖象求解1）自行車和汽車的v－t圖象如圖v/（ms-1）v′60t/st′tV汽V自由于圖線與橫坐標軸所包圍的面積表示位移的大小，所以由圖上可以看出在相遇之前，在t時刻兩車速度相等時，自行車的位移（矩形面積）與汽車位移（三角形面積）之差（即斜線部分）達最大，所以t=v自/a=6/3=2s2）由圖可看出，在t時刻以后，由v自線與v汽線組成的三角形面積與標有斜線的三角形面積相等時，兩車的位移相等（即相遇）。所以由圖得相遇時，

t′=2t=4sv′=2v自=12m/s第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三

2．什么時候汽車追上自行車，此時汽車的速度是多少？解：汽車追上自行車時，二車位移相等（位移關(guān)系）則vt′=at′2/26×t′=at′2/2，t′=4sv′=at′=3×4=12m/s

思考：若自行車超過汽車2s后，汽車才開始加速。那么，前面的1、2兩問如何？第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三例2：A火車以v1=20m/s速度勻速行駛，司機發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距100m處有另一列火車B正以v2=10m/s速度與A火車同方向勻速行駛，A車立即做加速度大小為a的勻減速直線運動。要使兩車不相撞，a應(yīng)滿足什么條件？第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三兩車恰不相撞的條件是：兩車速度相同時相遇.由A、B速度關(guān)系：由A、B位移關(guān)系：方法一：物理分析法第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三v/ms-1BAt/so10t020方法二：圖象法第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三

代入數(shù)據(jù)得

若兩車不相撞，其位移關(guān)系應(yīng)為其圖像(拋物線)的頂點縱坐標必為正值,故有方法三：二次函數(shù)極值法第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三

代入數(shù)據(jù)得∵不相撞∴△<0方法四、判別式法：第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三

以B車為參照物，A車的初速度為v0=10m/s，以加速度大小a減速，行駛x=100m后“停下”，末速度為vt=0

以B為參照物,公式中的各個量都應(yīng)是相對于B的物理量.注意物理量的正負號.方法五：相對運動法第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三例3、一車從靜止開始以1m/s2的加速度前進，車后相距x0為25m處，某人同時開始以6m/s的速度勻速追車，能否追上？如追不上，求人、車間的最小距離。一、數(shù)學(xué)分析法：依題意，人與車運動的時間相等，設(shè)為t,當人追上車時，兩者之間的位移關(guān)系為：x車+x0=x人即：at2／2+x0=v人t由此方程求解t，若有解，則可追上；若無解，則不能追上。代入數(shù)據(jù)并整理得：t2－12t+50=0△=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0所以，人追不上車。x0v=6m/sa=1m/s2第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三二、物理分析法在剛開始追車時，由于人的速度大于車的速度，因此人車間的距離逐漸減??；當車速大于人的速度時，人車間的距離逐漸增大。因此，當人車速度相等時，兩者間距離最小。at′=v人t′=6s在這段時間里，人、車的位移分別為：x人=v人t=6×6=36mx車=at′2/2=1×62/2=18m△x=x0+x車－x人=25+18－36=7m二、數(shù)學(xué)分析法△s=1/2×1×t2+25-6t=1/2×1×t2-6t+25△=-14<0△st第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三

例4.

在平直公路上有兩輛汽車A、B平行同向行駛，A車以vA=4m/s的速度做勻速直線運動，B車以vB=10m/s的速度做勻速直線運動，當B車行駛到A車前x=7m處時關(guān)閉發(fā)動機以2m/s2的加速度做勻減速直線運動，則從此時開始A車經(jīng)多長時間可追上B車？分析：畫出運動的示意圖如圖所示：vA=4m/svB=10m/s7m追上處a=-2m/s2A車追上B車可能有兩種不同情況：B車停止前被追及和B車停止后被追及。究竟是哪一種情況，應(yīng)根據(jù)解答結(jié)果，由實際情況判斷。第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三解答：設(shè)經(jīng)時間t追上。依題意：vBt+at2/2+x=vAt10t-t

2+7=4tt=7st=-1s(舍去)B車剎車的時間t′=vB/a=5s顯然，B車停止后A再追上B。B車剎車的位移xB=vB2/2a=102/4=25mA車的總位移xA=xB+x=32m∴t=xA/vA=32/4=8s思考：若將題中的7m改為3m，結(jié)果如何？答：甲車停止前被追及錯解：4t=7+10t–?×2t2

t=-1(舍)t=7第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三例5.汽車正以10m/s的速度在平直公路上做勻速直線運動,突然發(fā)現(xiàn)正前方10m處有一輛自行車以4m/s的速度同方向做勻速直線運動,汽車立即關(guān)閉油門,做加速度為6m/s2的勻減速運動,問：汽車能否撞上自行車?若汽車不能撞上自行車，汽車與自行車間的最近距離為多少？汽車在關(guān)閉油門減速后的一段時間內(nèi)，其速度大于自行車速度，因此，汽車和自行車之間的距離在不斷的縮小，當這距離縮小到零時，若汽車的速度減至與自行車相同，則能滿足汽車恰好不碰上自行車v汽=10m/sv自=4m/s10m追上處a=-6m/s2分析：畫出運動的示意圖如圖所示第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三物理分析法解：（1）汽車速度減到4m/s時運動的時間和發(fā)生的位移分別為t=(v自-v汽)/a=（4-10）/(-6）s=1sx汽=（v自2-v汽2）/2a=(16-100)/(-12)=7m這段時間內(nèi)自行車發(fā)生的位移x自=v自t=4m因為x0+x自>x汽所以，汽車不能撞上自行車。汽車與自行車間的最近距離為△x=x0+x自－x汽=（10+4－7）m=7m數(shù)學(xué)分析法△x=x0+x自－x汽=(10+4t)-(10t-1/2×6t2)=3t2-6t+10△=-84<0，無解不相遇△st第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三第三十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三典例二追及類問題【例2】摩托車先由靜止開始以25/16m/s2的加速度做勻加速運動，后以最大行駛速度

25m/s勻速運動，追趕前方以15m/s的速度同向勻速行駛的卡車。已知摩托車開始運動時與卡車的距離為1000m，則：

(1)追上卡車前二者相隔的最大距離是多少？

(2)摩托車經(jīng)過多少時間才能追上卡車？

【解析】(1)對摩托車由靜止開始勻加速至vm=25m/s，用時t1=vm/a=16s。發(fā)生位移x1=vm2/(2a)=200m，顯然未追上卡車。則追上卡車前二者共速時，間距最大(如圖所示)，即x=x0+x卡-x摩①

x摩=v2/(2a)

②

x卡=v·v/a③

由①②③聯(lián)立得x=1072m。第三十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三

1.通過運動的分析，找隱含條件

2.利用二次函數(shù)求極值的方法

3.因追及相遇問題至少涉及兩個物體的運動問題，對描述它們的物理量必須選同一參考系。基本思路是：①分別對兩物體研究②畫出運動過程示意圖③列出方程④找出時間關(guān)系⑤解出結(jié)果，必要時進行討論(2)追上時，由運動情景圖(如圖所示)分析可知，

x摩′=x卡′+x0

vm2/(2a)+vm(t-t1)=x0+vt

解得t=120s。【答案】(1)1072m(2)120s第四十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三A、B兩輛汽車在筆直的公路上同向行駛。當B車在A車前84m處時，B車速度為4m/s，且正以2m/s2的加速度做勻加速運動；經(jīng)過一段時間后，B車加速度突然變?yōu)榱?。A車一直以20m/s的速度做勻速運動。經(jīng)過12s后兩車相遇。問B車加速行駛的時間是多少？【答案】6s第四十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三典