統(tǒng)計假設(shè)檢驗的思想

統(tǒng)計假設(shè)檢驗的思想第一頁，共十五頁，編輯于2023年，星期三引言

前一章中我們討論了如何根據(jù)樣本去得到總體分布中所含參數(shù)的最優(yōu)（優(yōu)良）估計。用參數(shù)估計方法得到的總體參數(shù)的優(yōu)良估計值，去代替總體分布的未知參數(shù)而得到的“總體”，與真的總體作比較，就要考察它們之間是否在統(tǒng)計意義上相擬合，盡管這種比較也只能在樣本的基礎(chǔ)上進(jìn)行。那么，怎樣在樣本的基礎(chǔ)上做出一個有較大把握的結(jié)論，就是統(tǒng)計假設(shè)檢驗問題。事實上，實際中很多統(tǒng)計問題都可以作為統(tǒng)計假設(shè)檢驗問題予以解決。第二頁，共十五頁，編輯于2023年，星期三一.假設(shè)檢驗的概念我們來看一個例子。

例1：設(shè)某廠生產(chǎn)一種燈泡，其壽命服從的正態(tài)分布，從過去較長一段時間的生產(chǎn)情況看，燈泡的平均壽命小時。現(xiàn)在采取新工藝后，在所生產(chǎn)的燈管中抽取25只測得平均壽命為1650小時。

問：采用新工藝后，燈管的壽命是否有顯著提高？

本例的問題就是要我們判斷：新產(chǎn)品的壽命是：

1、服從

正態(tài)分布呢？還是2、仍然服從的正態(tài)分布呢？若新產(chǎn)品的壽命是服從的正態(tài)分布，就說“新產(chǎn)品的壽命

有顯著提高”；若新產(chǎn)品的壽命是仍然服從的正態(tài)分布，就說“

新產(chǎn)品的壽命沒有顯著提高”

。第三頁，共十五頁，編輯于2023年，星期三在上面的例子中，我們可以把涉及到的兩種情況用統(tǒng)計假設(shè)的形式表示出來。第一個統(tǒng)計假設(shè)：。稱為原假設(shè)，用符號：表示。，表示“采用新工藝后，燈管壽命沒有顯著提高?！奔础昂屠袭a(chǎn)品一樣，服從均值為1500的正態(tài)分布”。第二個統(tǒng)計假設(shè)：。稱為備選假設(shè)，用符號：表示。，表示“采用新工藝后，燈管壽命有顯著提高。”即“不同于老產(chǎn)品，服從均值大于1500的正態(tài)分布”。今后，我們把任意一個有關(guān)總體分布不確定的假設(shè)

稱為統(tǒng)計假設(shè)或簡稱假設(shè)。第四頁，共十五頁，編輯于2023年，星期三

至于在兩個假設(shè)中用哪個作為原假設(shè)，哪個作為備選假設(shè)呢?

要看具體的目的和要求而定。（1）一般，假如我們的目的是希望從樣本觀測值對某一陳述取得強有力的支持，我們就將這一陳述的否定作為原假設(shè)，而把陳述本身作為備選假設(shè)。對例1我們作的統(tǒng)計假設(shè)就是這樣的。因為，新工藝是延長燈泡壽命的一種革新，我們當(dāng)然希望新工藝能使燈泡的壽命確有提高，但它又不象老產(chǎn)品那樣有較多的數(shù)據(jù)。為此，我們以“即壽命沒有提高”作為原假設(shè)，以“壽命顯著提高”作為備選假設(shè)。（2）有時，原假設(shè)的選定還要考慮數(shù)學(xué)上的處理方便。

在許多問題中，總體分布的類型為已知，僅僅是其分布函數(shù)中的一個或幾個參數(shù)為未知，只要對這一個或幾個參數(shù)的值作出假設(shè)，就可以完全確定總體的分布。如上例只要對作出假設(shè)即可。這種僅涉及到總體分布的未知參數(shù)的統(tǒng)計假設(shè)稱為：參數(shù)假設(shè)。

在有些實際問題中，我們不知道總體分布的具體類型。比如：某種蔬菜的農(nóng)藥殘留量，它可能服從對數(shù)正態(tài)分布，也可能服從其它分布。因此，對它的統(tǒng)計假設(shè)就只能對未知分布的類型或它的某些特征提出某種假設(shè)。這種不同于參數(shù)假設(shè)的統(tǒng)計假設(shè)稱為：非參數(shù)假設(shè)。

例如：設(shè)某種蔬菜的農(nóng)藥殘留量X的分布函數(shù)為F（x）,

F(x){對數(shù)正態(tài)分布族}；F(x){正態(tài)分布族}

都是非參數(shù)假設(shè)。第五頁，共十五頁，編輯于2023年，星期三

從上面我們看到，一個統(tǒng)計假設(shè)是對總體分布狀態(tài)的一種陳述。如果一個統(tǒng)計假設(shè)可完全確定總體的分布，則稱這種假設(shè)為：簡單統(tǒng)計假設(shè)

或

簡單假設(shè)。否則，稱為：復(fù)合統(tǒng)計假設(shè)或簡稱復(fù)合假設(shè)。例如：完全確定總體的分布，是簡單假設(shè)；而：是復(fù)合假設(shè)。

統(tǒng)計假設(shè)檢驗問題的一般提法是：

在給定備選假設(shè)下，對原假設(shè)作出判斷。若拒絕原假設(shè)，那就意味著接受備選假設(shè)；否則，就接受原假設(shè)。簡單地說，統(tǒng)計假設(shè)檢驗問題，就是要在原假設(shè)備選假設(shè)中作出拒絕哪一個接受哪一個的判斷。這類假設(shè)檢驗問題常稱為對的檢驗問題。小結(jié)：統(tǒng)計假參數(shù)假非參數(shù)假復(fù)合假設(shè)簡單假設(shè)原假設(shè)備選假設(shè)第六頁，共十五頁，編輯于2023年，星期三拒絕

在對的檢驗問題中，要作出某種判斷，必須從樣本出發(fā)，制定出一個“法則”，一旦樣本觀測值確定后，我們就可以用所構(gòu)造的“法則”作出：拒絕，還是拒絕的判斷。

那么我們的檢驗“法則”是什么呢？

它應(yīng)該是以定義在樣本空間上的一個樣本函數(shù)為依據(jù)所構(gòu)成的一個“準(zhǔn)則”。一旦樣本觀測值確定后，我們就可以根據(jù)這個“準(zhǔn)則”作出：“拒絕”，還是“拒絕的”判斷。

二、假設(shè)檢驗的思想方法我們的檢驗準(zhǔn)則本質(zhì)上就是：把樣本空間劃分成兩個互不相交的子集和，（子空間）

使得當(dāng)樣本觀測值點時，我們就將拒絕原假設(shè)（也即接受備選假設(shè)）；否則，我們將接受原假設(shè)（也即拒絕備選假設(shè)）。這樣的劃分構(gòu)成一個準(zhǔn)則，我們稱這樣的樣本空間的子集為假設(shè)檢驗的臨界域（或拒絕域）。拒絕接受接受n維空間拒絕劃分第七頁，共十五頁，編輯于2023年，星期三反之，一旦我們給出了某個檢驗“準(zhǔn)則”，也就給出了樣本空間的一個“劃分”。

由于樣本的隨機(jī)性，在進(jìn)行判斷時，我們還是有可能犯兩類錯誤：

拒絕接受接受n維空間拒絕第一類錯誤拒真、棄真第二類錯誤受假、受偽

判斷屬于拒絕（接受）拒絕（接受）總體假設(shè)當(dāng)為真（為假）

犯第一類錯誤

正確

當(dāng)

為真（為假）

正確犯第二類錯誤劃分第八頁，共十五頁，編輯于2023年，星期三第一類（棄真、拒真）錯誤發(fā)生的概率稱為犯第一類錯誤的概率或拒真概率。

通常記為，即：P（

拒絕|為真）=第二類（受假、受偽）錯誤發(fā)生的概率稱為犯第二類錯誤的概率或受偽概率。

通常記為，即：

P（接受|為假）=。

也就是：P（

拒絕|為真）=

對于給定的一對假設(shè)和，總可以找出許多臨界域。當(dāng)然，我們希望尋得這種臨界域---使犯兩類錯誤的概率和都很小。但在樣本容量固定時，要使和都很小是不可能的。否則，將會導(dǎo)致樣本容量的無限增大，這又是不現(xiàn)實的。基于這種情況，奈曼與皮爾遜（Neyman—Pearson）提出了一個原則：在控制犯第一類錯誤的概率的條件下，盡量使犯第二類錯誤的概率小。之所以提出這樣的原則，是因為人們常常把錯誤地拒絕比錯誤地接受看得更重要些。盡管基于奈曼與皮爾遜的這一原則可以去討論尋找最優(yōu)檢驗的問題，但是有時最優(yōu)檢驗法則很難找到，甚至可能不存在。因而，我們不得不將奈曼與皮爾遜的這一原則放寬：只對犯第一類錯誤的概率加以限制，而不考慮犯第二類錯誤的概率。如此，在尋找臨界域時只涉及原假設(shè)，而不涉及備選假設(shè)。這種只涉及原假設(shè)的統(tǒng)計假設(shè)檢驗問題稱為顯著性假設(shè)檢驗問題。

第九頁，共十五頁，編輯于2023年，星期三

下面我們來討論，對給定的犯第一類錯誤的概率（顯著性水平）在顯著性假設(shè)檢驗問題中，如何來構(gòu)造一個檢驗“法則”？如果一個檢驗法則已經(jīng)確定，那么臨界域及其補集就完全確定了。在實踐中為了能簡化數(shù)據(jù)，總是去尋找這樣一個統(tǒng)計量或樣本函數(shù)，并記及于是P（為真）=P（

|為真）=這樣就可以做出等價的判斷：當(dāng)時，就拒絕；否則，就接受。如此，就把對樣本空間的劃分問題轉(zhuǎn)化為對統(tǒng)計量的值域空間的劃分問題。由于樣本空間是n維的，而統(tǒng)計量的值域空間是1

維的，所以通過構(gòu)造合適的統(tǒng)計量可以使尋找臨界域的問題變得簡單多了。第十頁，共十五頁，編輯于2023年，星期三拒絕拒絕接受接受n維空間拒絕劃分第十一頁，共十五頁，編輯于2023年，星期三值得注意的是，如果我們構(gòu)造的統(tǒng)計量t

的分布類型已知，只是它的分布參數(shù)不確定，那么在原假設(shè)成立的條件下，對給定的顯著水平a，可以通過等式P(為真)=a

來定出區(qū)域，從而得到臨界域C

。譬如，我們還拿例1來看：如果原假設(shè)：成立（為真），那么在新工藝下的燈泡的平均壽命。在重復(fù)取樣下，的取值偏離1500較大的較少。那么由抽取的樣本觀測值算出的比1500大到什么程度，我們才認(rèn)為這組樣本觀測值已經(jīng)不是從成立所規(guī)定的總體中抽出的呢？我們?nèi)z驗統(tǒng)計量，易知，在為真時，。對給定的顯著水平a，由，可定出一個值，使得由樣本觀測值算出的時就拒絕，否則就接受。那么，臨界域第十二頁，共十五頁，編輯于2023年，星期三比如取，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知，從而得到臨界域：

={

}

而實際上，在采用新工藝后，對25只燈泡的平均壽命觀測值；顯然>1566,這組樣本落入了臨界域(拒絕域)C,因此我們就拒絕原假設(shè),并且說:與1500有顯著差異。第十三頁，共十五頁，編輯于2023年，星期三那么，為什么能做出拒絕的決定呢？或者，換句話說，為什么能把{}作為臨界域C呢？因為，在下，，，這意味著“”是一個小概率事件。根據(jù)小概率事件在一次試驗中實際不可能發(fā)生的推斷原理，現(xiàn)在在一次試驗（觀察）中竟然出現(xiàn)了，所以我們甘愿冒犯第一類錯誤的風(fēng)險而拒絕原假設(shè)。下面，我們來歸納一下解題的思路和步驟：1．根據(jù)問題的要求建立原假設(shè)和備選假設(shè)。2．選取一個合適的統(tǒng)計量，一般以簡單為好，并且它的分布已知（不含未知參數(shù)）從而可算出或查出分位點。3．給定顯著性水平（一般較小，如0.05,0.01等）,并在原假設(shè)為真時求出能使成立的值,從而求出臨界域