2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章6.2均值不等式核心考點精準研析訓(xùn)練含解析新人教B版

PAGE9-第6章核心考點·精準研析考點一利用均值不等式求最值

命題精解讀考什么：(1)考查求最值，證明不等式等問題.(2)考查數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的【核心素養(yǎng)】.怎么考：求式子的最值，證明不等式、與函數(shù)結(jié)合考查求函數(shù)的值域，與解析幾何結(jié)合求面積等幾何量的最值.新趨勢：與函數(shù)相結(jié)合求值域.學(xué)霸好方法1.求最值的解題思路(1)拼湊法：拼湊成積或和為定值，利用均值不等式求相應(yīng)的最值.(2)構(gòu)造法：通過對已知條件的變形，構(gòu)造定值，代入后利用均值不等式求值.(3)消元法：當(dāng)要求最值的式子中含有多個字母時，應(yīng)考慮利用已知條件減少字母的個數(shù)，以達到利用均值不等式求最值的目的.2.交匯問題與方程、不等式交匯時，涉及恒成立問題、參數(shù)的范圍等.通過拼湊定值求最值【典例】已知a,b>0,則QUOTE+QUOTE的最小值為__________.

【解析】因為a,b>0,方法一:原式=QUOTE+1+QUOTE-1=QUOTE+QUOTE-1≥2QUOTE-1=4-1=3,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,a=b時取等號.方法二:所以QUOTE+QUOTE=QUOTE+1+QUOTE-1≥2QUOTE-1=3,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE+1=QUOTE,即a=b時取等號.答案:3本例不能直接運用均值不等式時怎么辦？提示：通過分子分母同除以a統(tǒng)一式子的結(jié)構(gòu)或直接加1變形，再觀察拼湊定值利用均值不等式求最小值.通過常值代換求最值【典例】(2019·深圳模擬)已知a>1,b>0,a+b=2,則QUOTE+QUOTE的最小值 ()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTE C.3+2QUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】選A.已知a>1,b>0,a+b=2,可得(a-1)+b=1,a-1>0,則QUOTE+QUOTE=[(a-1)+b]QUOTE=1+QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE+2QUOTE=QUOTE+QUOTE;當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,a+b=2時取等號.則QUOTE+QUOTE的最小值為QUOTE+QUOTE.將條件進行變形目的是什么？提示：將已知條件變形，變形的方向是要證明的式子，特別是與式子分母相關(guān)的定值，將定值變?yōu)?后相乘，再利用均值不等式求最值.通過消元求最值【典例】(2020·武漢模擬)若正數(shù)x,y滿足x+4y-xy=0,則QUOTE的最大值為 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因為正數(shù)x,y滿足x+4y-xy=0,所以y=QUOTE>0,解得x>4,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)x-4=QUOTE,x=6時等號成立,所以QUOTE的最大值為QUOTE.將其中一個字母利用另一個字母表示，代入后的變形方向如何？提示：構(gòu)造定值以利用均值不等式求最值.構(gòu)造二次不等式求最值【典例】(2019·重慶模擬)已知a,b,c均為正實數(shù),且ab+2a+b=6,則2a+b的最小值為________.

【解析】因為a,b,c均為正實數(shù),且ab+2a+b=6,所以6-2a-b=ab=QUOTE×2ab≤QUOTE,所以(2a+b)2+8(2a+b)-48≥0,所以2a+b≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=2時取等號,所以2a+b的最小值為4.答案:4本題利用均值不等式，將已知式子進行轉(zhuǎn)換的目標(biāo)是什么？提示：轉(zhuǎn)化成關(guān)于2a+b的二次不等式，通過解不等式求最值.1.設(shè)x,y∈R,且xy≠0,則QUOTE的最小值為()A.-9 B.9 C.10 D.02.(2020·廈門模擬)已知0<x<1,當(dāng)QUOTE+QUOTE取得最小值時x= ()A.2-QUOTE B.QUOTE-1 C.QUOTE D.QUOTE3.(2019·嘉興模擬)已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,則a+2b的最小值為()A.5+2QUOTE B.8QUOTE C.5 D.94.已知正數(shù)x,y滿足x2+2xy-3=0,則2x+y的最小值是 ()A.1 B.3 C.6 D.12【解析】1.選B.QUOTE=5+QUOTE+x2y2≥5+2QUOTE=9,當(dāng)且僅當(dāng)xy=±QUOTE時,上式取得等號,可得最小值為9.2.選D.因為0<x<1,所以1-x>0,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE(x+1-x)=5+QUOTE+QUOTE≥5+2QUOTE=9,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE時取等號,所以QUOTE+QUOTE取得最小值時x=QUOTE.3.選A.因為a>0,b>0,且2a+b=ab-1,所以a=QUOTE>0,所以b>2,所以a+2b=QUOTE+2b=2(b-2)+QUOTE+5≥5+2QUOTE=5+2QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)2(b-2)=QUOTE,即b=2+QUOTE時取等號.所以a+2b的最小值為5+2QUOTE.4.選B.因為x2+2xy-3=0,所以y=QUOTE,所以2x+y=2x+QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=3.當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即x=1時取等號.1.已知點A(1,2)在直線ax+by-1=0(a>0,b>0)上,若存在滿足該條件的a,b,使得不等式QUOTE+QUOTE≤m2+8m成立,則實數(shù)m的取值范圍是 ()A.(-∞,-1]∪[9,+∞) B.(-∞,-9]∪[1,+∞)C.[-1,9] D.[-9,1]【解析】選B.點A(1,2)在直線ax+by-1=0(a>0,b>0)上,可得a+2b=1,QUOTE+QUOTE=(a+2b)QUOTE=5+QUOTE+QUOTE≥5+2QUOTE=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=QUOTE時取得等號,即QUOTE+QUOTE的最小值為9,則9≤m2+8m,解得m≥1或m≤-9.2.以點(-1,-1)為圓心且與曲線C:xy=1(x>0)有公共點的圓稱之為C的“望圓”,則曲線C的所有“望圓”中半徑最小值為 ()A.4 B.QUOTE C.8 D.2QUOTE【解析】選D.根據(jù)題意,設(shè)QUOTE為曲線C上任意一點,“望圓”的半徑為r,若“望圓”與曲線C有公共點,則r2=(t+1)2+QUOTE=t2+QUOTE+2QUOTE+2≥2QUOTE+2×2QUOTE+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)t=QUOTE時,等號成立,則r的最小值為2QUOTE.考點二均值不等式在實際問題中的應(yīng)用

【典例】經(jīng)測算,某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量y(L)與速度x(km/h)(50≤x≤120)的關(guān)系可近似表示為y=QUOTE當(dāng)該型號汽車的速度為________km/h時,每小時耗油量最少,最少為每小時________L. 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】當(dāng)x∈[50,80)時,y=QUOTE(x2-130x+4900)=QUOTE[(x-65)2+675],所以當(dāng)x=65時,y取得最小值,最小值為QUOTE×675=9.當(dāng)x∈[80,120]時,函數(shù)y=12-QUOTE單調(diào)遞減,故當(dāng)x=120時,y取得最小值,最小值為12-QUOTE=10.因為9<10,所以當(dāng)x=65,即該型號汽車的速度為65km/h時,可使得每小時耗油量最少,最少為每小時9L.答案:659有關(guān)實際問題中的最值問題(1)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用均值不等式求得函數(shù)的最值.(2)解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.(3)在應(yīng)用均值不等式求函數(shù)最值時，若等號取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.網(wǎng)店和實體店各有利弊,兩者的結(jié)合將在未來一段時期內(nèi),成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2019年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實體店體驗安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn),產(chǎn)品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系式x=3-QUOTE.已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為3萬元,產(chǎn)品每1萬件進貨價格為32萬元,若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和,則該公司最大月利潤是________萬元.

【解析】由題意知t=QUOTE-1(1<x<3),設(shè)該公司的月利潤為y萬元,則y=QUOTEx-32x-3-t=16x-QUOTE-3=16x-QUOTE+QUOTE-3=45.5-QUOTE≤45.5-2QUOTE=37.5,當(dāng)且僅當(dāng)x=QUOTE時取等號,即最大月利潤為37.5萬元.答案:37.5考點三均值不等式的交匯應(yīng)用

【典例】1.已知A,B是函數(shù)y=2x的圖象上不同的兩點,若點A,B到直線y=QUOTE的距離相等,則點A,B的橫坐標(biāo)之和的取值范圍是 ()A.(-∞,-1) B.(-∞,-2)C.(-∞,-3) D.(-∞,-4)2.已知等差數(shù)列{an}中,a3=7,a9=19,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則QUOTE的最小值為________. 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號

【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由A,B是圖象上兩點,想到設(shè)出點的坐標(biāo);由點A,B到直線距離相等想到構(gòu)造等式條件2由a3,a9想到基本量的運算,由Sn,an想到求出代入【解析】1.選B.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨設(shè)x1<x2.函數(shù)y=2x為單調(diào)增函數(shù)，若點A，B到直線y=QUOTE的距離相等，則QUOTE-y1=y2-QUOTE，即y1+y2=1，即QUOTE+QUOTE=1.由均值不等式得1=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=-1時取等號，則QUOTE≤QUOTE，解得x1+x2<-2(因為x1≠x2，所以等號取不到).2.因為a3=7，a9=19，所以d=QUOTE=QUOTE=2，所以an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1，所以Sn=QUOTE=n(n+2)，因此QUOTE=QUOTE=QUOTE≥QUOTE×2QUOTE=3，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時取等號.故QUOTE的最小值為3.答案:3關(guān)于均值不等式與其他知識點的交匯利用其他知識點的知識進行條件轉(zhuǎn)化，表示出要求最值的式子，根據(jù)條件，利用均值不等式求最值.1.已知a>b>1,且2logab+3logba=7,則a+QUOTE的最小值為 ()A.3 B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選A.令logab=t,由a>b>1得0<t<1,2logab+3logba=2t+QUOTE=7,得t=QUOTE,即logab=QUOTE,a=b2