《球的表面積與體積》同步測試1【高中數(shù)學(xué)人教版】

PAGE《球的表面積與體積》同步測試1．用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為（）A．eq\f(8π,3) B．eq\f(32π,3)C．8π D．eq\f(8\r(2)π,3)解析：選C設(shè)球的半徑為R，則截面圓的半徑為eq\r(R2－1)，∴截面圓的面積為S＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(R2－1)))2＝（R2－1）π＝π，∴R2＝2，∴球的表面積S＝4πR2＝8π．2．已知各頂點都在一個球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個球的表面積為（）A．16π B．20πC．24π D．32π解析：選A設(shè)正四棱錐的高為h，底面邊長為a，由V＝eq\f(1,3)a2h＝a2＝6，得a＝eq\r(6)．由題意，知球心在正四棱錐的高上，設(shè)球的半徑為r，則（3－r）2＋（eq\r(3)）2＝r2，解得r＝2，則S球＝4πr2＝16π．故選A．3．某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（）A．72π B．48πC．30π D．24π解析：選C由三視圖可知幾何體由一個半球和倒立的圓錐組成的組合體．V＝eq\f(1,3)π×32×4＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×33＝30π．4．等體積的球和正方體的表面積S球與S正方體的大小關(guān)系是（）A．S正方體>S球 B．S正方體<S球C．S正方體＝S球 D．無法確定解析：選A設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為R，由題意，得V＝eq\f(4,3)πR3＝a3，∴a＝eq\r(3,V)，R＝eq\r(3,\f(3V,4π))，∴S正方體＝6a2＝6eq\r(3,V2)＝eq\r(3,216V2)，S球＝4πR2＝eq\r(3,36πV2)<eq\r(3,216V2)．5．球的表面積S1與它的內(nèi)接正方體的表面積S2的比值是（）A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2) D．π解析：選C設(shè)球的內(nèi)接正方體的棱長為a，球的半徑為R，則3a2＝4R2，所以a2＝eq\f(4,3)R2，球的表面積S1＝4πR2，正方體的表面積S2＝6a2＝6×eq\f(4,3)R2＝8R2，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(π,2)．6．已知正方體的棱長為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是________．解析：過正方體的對角面作截面如圖．故球的半徑r＝eq\r(2)，∴其表面積S＝4π×（eq\r(2)）2＝8π．答案：8π7．球內(nèi)切于正方體的六個面，正方體的棱長為a，則球的表面積為________．解析：正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點是六個面（正方形）的中心，經(jīng)過四個切點及球心作截面，如圖，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2．答案：πa28．圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑是10cm，有一個實心鐵球浸沒于容器的水中，若取出這個鐵球，測得容器的水面下降了eq\f(5,3)cm，則這個鐵球的表面積為________cm2．解析：設(shè)該鐵球的半徑為r，則由題意得eq\f(4,3)πr3＝π×102×eq\f(5,3)，解得r3＝53，∴r＝5，∴這個鐵球的表面積S＝4π×52＝100π（cm2）．答案：100π9．若三個球的表面積之比為1∶4∶9，求這三個球的體積之比．解：設(shè)三個球的半徑分別為R1，R2，R3，∵三個球的表面積之比為1∶4∶9，∴4πReq\o\al(2,1)∶4πReq\o\al(2,2)∶4πReq\o\al(2,3)＝1∶4∶9，即Req\o\al(2,1)∶Req\o\al(2,2)∶Req\o\al(2,3)＝1∶4∶9，∴R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，得Req\o\al(3,1)∶Req\o\al(3,2)∶Req\o\al(3,3)＝1∶8∶27，∴V1∶V2∶V3＝eq\f(4,3)πReq\o\al(3,1)∶eq\f(4,3)πReq\o\al(3,2)∶eq\f(4,3)πReq\o\al(3,3)＝Req\o\al(3,1)∶Req\o\al(3,2)∶Req\o\al(3,3)＝1∶8∶27．10．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．解：該組