師說(shuō)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)教版課件

5.1.1

角的概念的推廣新知初探課前預(yù)習(xí)題型探究課堂解透新知初探課前預(yù)習(xí)最新課程標(biāo)準(zhǔn)了解任意角的概念和弧度制．能進(jìn)行弧度與角度的互化．體會(huì)引入弧度制的必要性．學(xué)科核心素養(yǎng)了解任意角的概念，能區(qū)分各類角的概念，掌握象限角的概念，并會(huì)用集合表示象限角．(數(shù)學(xué)抽象)理解弧度制的概念，能對(duì)弧度和角度進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)教材要點(diǎn)要點(diǎn)一 角的分類類型定義圖示正角以

逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角以

順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角不旋轉(zhuǎn)所形成的的角，用0°表示狀元隨筆

(1)正角、負(fù)角的引入是從正數(shù)、負(fù)數(shù)類比而來(lái)的，它們是用來(lái)表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量的．(2)在判斷角度時(shí)，應(yīng)時(shí)刻抓住“旋轉(zhuǎn)”二字：①要明確旋轉(zhuǎn)方向；②要明確旋轉(zhuǎn)角的大?。虎垡鞔_射線未做任何旋轉(zhuǎn)時(shí)的位置；④要注意由旋轉(zhuǎn)方向來(lái)確定角的符號(hào)．要點(diǎn)二 象限角在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此取角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸的

非負(fù)半軸

，那么角的終邊落在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角，如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角

不屬于任何一個(gè)象限．要點(diǎn)三 終邊相同的角把所有與角α

終邊相同的角用集合表示出來(lái)，即S

＝

{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}

，當(dāng)k=0時(shí)，角β就是角α本身．狀元隨筆

(1)α為任意角，“k∈Z”這一條件不能漏．k·360

°與α中間用“＋”連接，k·360

°－α可理解成k·360

°＋(－α)．當(dāng)角的始邊相同時(shí)，相等的角的終邊一定相同，而終邊相同的角不一定相等．終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360

°的整數(shù)倍．終邊不同則表示的角一定不同．基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．(

√

)(2)終邊相同的角的表示不唯一．(

√

)(3)終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍．(

√

)(4)終邊與始邊重合的角是零角．(

×

)2．手表時(shí)針走1小時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度是()B．－60°D．－30°A．60°C．30°答案：D??解析：－?

×360°＝－30°.3．與53°角終邊相同的角是()B．233°D．－127°A．127°C．－307°答案：C解析：與53°角終邊相同的角是53°＋k·360°，k∈Z，當(dāng)k＝－1時(shí)，角為－307°.故選C.4．2019°是第

三

象限角．解析：∵2

019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°.∴2

019°是第三象限角．題型探究課堂解透題型1

任意角的概念及應(yīng)用例1

(1)(多選)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A．0°～90°的角是第一象限角

B．第二象限角大于第一象限角

C．鈍角都是第二象限角

D．小于90°的角都是銳角(2)將表的分針撥慢30分鐘，則這個(gè)過(guò)程中時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是()A．10°C．30°B．15°D．－30°答案：(1)ABD

(2)B解析：(1)0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不屬于任何象限，所以A不正確；120°是第二象限角，390°是第一象限角，顯然390°>120°，所以B不正確；鈍角的范圍是(90°，180°)，顯然是第二象限角，所以C正確；銳角的范圍是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或負(fù)角，所以

D不正確．故選ABD.(2)分針撥慢，則時(shí)針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為正數(shù)．又因??為分針撥慢30分鐘，時(shí)針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)0.5個(gè)小時(shí)，所以?

×360°＝15°.故選B.方法歸納與角的概念有關(guān)問(wèn)題的解決方法正確解答角的概念問(wèn)題，關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大?。硗庑枰莆张袛嘟Y(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可．跟蹤訓(xùn)練1

(1)下列說(shuō)法正確的是(

C

)A．第一象限的角一定是正角

B．三角形的內(nèi)角不是銳角就是鈍角C．銳角小于90°D．終邊相同的角相等(2)將時(shí)鐘撥快20分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)是

－120°

．解析：(1)－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A錯(cuò)誤；三角形的內(nèi)角還可能是90°，所以B錯(cuò)誤；銳角小于90°，C正確；45°角與

405°角的終邊相同，但不相等，所以D錯(cuò)誤．故選C.(2)將時(shí)鐘撥快20分鐘，分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，所以分針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)為－120°.題型2

終邊相同的角例2

(1)寫出與75°角終邊相同的角的集合，并求在360°～1080°范圍內(nèi)與75°角終邊相同的角．解析：(1)與75°角終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．??

??當(dāng)360°≤β<1

080°，即360°≤k·360°＋75°<1

080°時(shí)，解得??≤k<2??.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.當(dāng)k＝1時(shí)，β＝435°；當(dāng)k＝2時(shí)，β＝795°.綜上所述，與75°角終邊相同且在360°～1

080°范圍內(nèi)的角為435°角和795°角．(2)寫出終邊在直線y＝－

3x上的角的集合．解析：

(2)

終邊在y

＝－

3

x(x<0)

上的角的集合是S1

＝{α|α

＝

120°

＋

k1·360°

，k1∈Z}；終邊在y＝－

3x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}．因此，終邊在直線y＝－

3x上的角的集合是S＝S1∪

S?＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪

?α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k1·180°，k1∈Z}∪?α|α＝120°＋(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．故終邊在直線y＝－

3x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．方法歸納寫出終邊落在直線上的角的集合的步驟①寫出在[0°，360°)內(nèi)相應(yīng)的角；②由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；③根據(jù)條件能合并一定合并，使結(jié)果簡(jiǎn)潔．終邊相同角常用的三個(gè)結(jié)論①終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍；②終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍；③終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍．)跟蹤訓(xùn)練2

(1)與－460°角終邊相同的角可以表示成(A．460°＋k·360°，k∈ZB．100°＋k·360°，k∈ZC．260°＋k·360°，k∈ZD．－260°＋k·360°，k∈Z(2)終邊落在x軸上的角的集合為

．答案：(1)C

(2){β|β＝k·180°，k∈Z}解析：(1)因?yàn)椋?60°＝260°＋(－2)×360°，所以－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.故選C.(2)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝0上的角有兩個(gè)，即0°和180°，又所有與0°角終邊相同的角的集合為S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有與180°角終邊相同的角的集合為S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，終邊在直線y＝0上的角的集合為S＝S1

∪S?

＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．題型3

象限角與區(qū)域角的表示角度1

象限角的判定?例3

(多選)若α是第二象限角，則?所在的象限是(

)B．第二象限

D．第四象限A．第一象限

C．第三象限答案：AC解析：∵α

是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z

，∴45°＋?

?k·180°<?<90°＋k·180°，k∈Z.當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，45°＋n·360°<?<90°＋n·360°(n∈Z)；?

?當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，225°＋n·360°<?<270°＋n·360°(n∈Z)．∴?的終邊位于第一或第三象限．故選AC.方法歸納?關(guān)于角nα或?象限的確定?(1)由α的范圍，表示出nα，?的范圍，由n的取值確定象限．(2)特別地，求?所在象限時(shí)，可以把每個(gè)象限等分為n份，在每一份?中按順序標(biāo)記一、二、三、四，找到原象限數(shù)字即可．(如圖)角度2

區(qū)域角的表示例4

寫出如圖所示陰影部分(包括邊界)的角α的范圍．解析：(1)因?yàn)榕c45°角終邊相同的角可寫成45°＋k·360°，k∈Z的形式，與－180°＋30°＝－150°角終邊相同的角可寫成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以圖(1)陰影部分的角α的范圍可表示為{α|－150°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．(2)因?yàn)榕c45°角終邊相同的角可寫成45°＋k·360°，k∈Z的形式，與

360°－60°＝300°角終邊相同的角可寫成300°＋k·360°，k∈Z的形式，所以圖(2)陰影部分的角α的范圍為{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．方法歸納區(qū)域角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域內(nèi)的角．其寫法可分為三步：按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°到360°范圍內(nèi)的

角α和β，并將該范圍內(nèi)的區(qū)域角表示為{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α、β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角的范圍．?跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知α是第一象限角，那么?是(

)A．第一象限角

B．第二象限角

C．第一或第二象限角

D．第一或第三象限角(2)寫出終邊落在圖中陰影部分(包括邊界)的角的集合．答案：(1)D(2)見(jiàn)解析解析：(1)∵k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，?

?∴k·180°<?<45°＋k·180°，k∈Z.當(dāng)k＝2n，n∈Z時(shí)，n·360°<?<45°＋n·360°，n∈Z，?∴?是第一象限角．?當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時(shí)，180°＋n·360°<?<45°＋180°＋n·360°(n∈Z)，?∴?在第三象限．故選D.(2)若角α的終邊落在OA上，則α＝30°＋k·360°，k∈Z.若角α的終邊落在OB上，則α＝135°＋k·360°，k∈Z.所以，角α的終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)時(shí)，

30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z.故角α的取值集合為{α|30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．易錯(cuò)辨析 忽視軸線角致誤例5

已知α為銳角，則2α為(

)B．第二象限角

D．小于180°的角解析：因?yàn)棣翞殇J角，所以α∈(0°，90°)，則2α∈(0°，180°)．A．第一象限角

C．第一或第二象限角答案：D易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得當(dāng)α＝45°時(shí)，2α＝90°，90°既不是第一象限也不是第二象限角．易錯(cuò)選：C.象限角不包括坐標(biāo)軸表示的角．

(0°，180°)內(nèi)的角不能說(shuō)是第一或第二象限角，其中還有終邊在y軸的非負(fù)半軸的角．課堂十分鐘)1．下列各角中，與35°終邊相同的角是(A．215°

B．365°

C．755°D．－235°答案：C解析：