高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-3課件：第一章+5.2+二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)-【公開課教學(xué)PPT課件】

5.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)第一章

§5二項(xiàng)式定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解楊輝三角，會用楊輝三角求二項(xiàng)式乘方次數(shù)不大時(shí)的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).2.理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)21112113311464115101051(a+b)61615201561二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

這樣的二項(xiàng)式系數(shù)表，早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，在這本書里，記載著類似下面的表：

一一一一二一一三三一一四六四一一五十十五一一六十五二十十五六一

表中除“1”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和楊輝三角:11121133114641151010511615201561

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等性質(zhì)1：對稱性性質(zhì)2：增減性與最大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；先增后減當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)和相等，且同時(shí)取得最大值。(1)在同一行中，每行兩端都是1.(2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩數(shù)的和.即二項(xiàng)式系數(shù)滿足組合數(shù)的性質(zhì).(3)與首末兩端“

”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即二項(xiàng)式系數(shù)具有對稱性，即＝

.“楊輝三角”蘊(yùn)含的規(guī)律梳理等距離特別提醒：1.二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)類似于組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)2.從二項(xiàng)式系數(shù)表中可以看出(a＋b)n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)先增加，后減少，各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即

＝2n.

題型探究解答類型一與楊輝三角有關(guān)的問題例1

如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，記其前n項(xiàng)和為Sn，求S21的值.解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

如圖所示，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中，第____行中從左至右的第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3.答案解析34解析由題意設(shè)第n行的第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3，它等于二項(xiàng)展開式的第14項(xiàng)和第15項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比，解得n＝34，所以在第34行中，從左至右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比是2∶3.解答類型二求展開式的系數(shù)和例2

設(shè)(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值.(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；解令x＝0，則展開式為a0＝2100.(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；解答(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解答∴a2k－1<0(k∈N＋).二項(xiàng)展開式中系數(shù)和的求法(1)對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可.(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

在二項(xiàng)式(2x－3y)9的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)各項(xiàng)系數(shù)之和；解設(shè)(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.解答解各項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和.解答解令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，解答類型三二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例3

已知f(x)＝(＋3x2)n展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；解令x＝1，則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5.由于n＝5為奇數(shù)，∴展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的項(xiàng)，它們分別為(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).解答∵r∈N，∴r＝4，(1)二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的求法求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(a＋b)n中的n進(jìn)行討論.①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(2)展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)的求法求展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A0，A1，A2，…，An，且第r＋1項(xiàng)最大，應(yīng)用解出r，即得出系數(shù)的最大項(xiàng).反思與感悟當(dāng)r＝4時(shí)，展開式中的系數(shù)最大，即T5＝70x4為展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)；當(dāng)r＝3或5時(shí)，展開式中的系數(shù)最小，即T4＝－56x7，T6＝－56x為展開式中的系數(shù)最小的項(xiàng).跟蹤訓(xùn)練3

已知(x2－)n展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和比(3a＋2b)7展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和大128，求(x2－)n展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng).解2n－27＝128，n＝8，解答當(dāng)堂訓(xùn)練234511.(1＋2x)10的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為A.310

B.210

C.－1 D.1解析解析設(shè)f(x)＝(1＋2x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1得各項(xiàng)系數(shù)的和為a0＋a1＋a2＋…＋a10＝310.√答案234512.在(1＋x)n(n∈N＋)的二項(xiàng)展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n等于A.8 B.9C.10 D.11√答案解析解析由題意知(1＋x)n的二項(xiàng)展開式中，x5的系數(shù)就是第6項(xiàng)的系數(shù)，因?yàn)橹挥衳5的系數(shù)最大，所以n＝10.234513.觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是A.8 B.6C.4 D.2

答案解析解析由題圖知，下一行的數(shù)是其肩上兩數(shù)的和，所以4＋a＝10，得a＝6.√解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1. ①又Tr＋1＝(2x)4－r(－1)r3r，∴當(dāng)r＝0時(shí)，x4的系數(shù)a4＝16. ②由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15.234514.設(shè)(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a1＋a2＋a3的值為____.解析答案－15解二項(xiàng)展開式系數(shù)的最小值應(yīng)在各負(fù)項(xiàng)中確定.由題意知第4項(xiàng)和第6項(xiàng)系數(shù)相等且最小，分別為T4＝(－x)3＝－56x3，T6＝(－x)5＝－56x5.5.已知(1－x)8的展開式，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；解答解因?yàn)?1－x)8的冪指數(shù)8是偶數(shù)，所以由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，中間一項(xiàng)(即第5項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大，該項(xiàng)為T5＝(－