新教材人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)1413空間中直線、平面的垂直-教學(xué)課件

1.4空間向量的應(yīng)用1.4.1

用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第2課時(shí)空間中直線、平面的垂直課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1．理解直線的方向向量和平面的法向量．2．能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系．1．能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面垂直關(guān)系的判定定理．(邏輯推理)3．能用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系．(邏輯推理)設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則知識(shí)點(diǎn)空間中垂直關(guān)系的向量表示線線垂直l1⊥l2?__________?_____________線面垂直l1⊥α?__________?___________________面面垂直α⊥β?__________?_____________u1⊥u2

u1·u2＝0

u1∥n1

?λ∈R，u1＝λn1

n1⊥n2

n1·n2＝0

思考：怎樣用語(yǔ)言敘述利用直線的方向向量與平面的法向量判斷垂直關(guān)系？提示：(1)若證線線垂直，則證直線的方向向量垂直；(2)若證線面垂直，則證直線的方向向量與平面的法向量平行；(3)若證面面垂直，則證兩平面的法向量垂直．題型探究題型一利用向量方法證明線線垂直

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．求證：無(wú)論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF．[分析]

只需證明直線PE與AF的方向向量互相垂直即可．典例1[規(guī)律方法]

利用向量方法證明線線垂直的方法(1)坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩直線方向向量的坐標(biāo)，然后通過(guò)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直．(2)基向量法：利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律，結(jié)合圖形，將兩直線所在的向量用基向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直．題型二利用向量方法證明線面垂直

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別為棱AB，BC，B1B的中點(diǎn)．求證：D1M⊥平面EFB1．典例2[規(guī)律方法]

坐標(biāo)法證明線面垂直的兩種思路(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明：求出直線的方向向量，在平面內(nèi)找兩條相交直線，并分別求出表示它們的方向向量，計(jì)算兩組向量的數(shù)量積為0，得到該直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直．(2)法向量法：求出直線的方向向量與平面的法向量，向量法判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)．求證：AB1⊥平面A1BD．[證明]

如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接AO．因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以AO⊥BC．因?yàn)檎庵鵄BC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1．題型三利用向量方法證明面面垂直

如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．典例3[分析]

要證明兩個(gè)平面垂直，由兩個(gè)平面垂直的條件，可證明這兩個(gè)平面的法向量垂直，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面的法向量n1，n2，證明n1·n2＝0．[解析]

由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直．以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．[規(guī)律方法]

1．利用空間向量證明面面垂直通常有兩個(gè)途徑：一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，由兩個(gè)法向量垂直，得面面垂直．2．向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系，恰當(dāng)建系或用基向量表示后，只需經(jīng)過(guò)向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果，思路方法“公式化”，降低了思維難度．題型四探究性問(wèn)題

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中點(diǎn)，試在棱CC1上求一點(diǎn)P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE．典例4[解析]

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，P(0,1，a)，則A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，[規(guī)律方法]

空間向量適合解決這類立體幾何中的探索性問(wèn)題，它無(wú)須進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷．解題時(shí)，把要說(shuō)明成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解”“是否有規(guī)定范圍的解”等，所以使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，E是B1C的中點(diǎn)．[解析]

(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空