2022-2023學(xué)年吉林省長春市高一年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題1含答案

2022-2023學(xué)年吉林省長春市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合"=8={-2,-1,0,1,2},則4n8=(

)

A.{-2,TO}B,{-1,0,1)

C.{-叫D.{°」}

【答案】C

【分析】根據(jù)交集的定義直接求解即可.

【詳解】因?yàn)?=卜卜2Vx＜1},8={-2,-1,0,1,2},

所以4n八{(lán)T，。},

故選：C

2.sin240°=()

_1_＞/3直1

A.2B.2C.2D.2

【答案】B

【分析】利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡并求值

【詳解】')2

故選：B

3.對于實(shí)數(shù)。，6，。，“。＞匕”是“改2＞從2?的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】試題分析：由于不等式的基本性質(zhì),%＞尸=、廣＞13廣”必須有。-＞0這一條件.解：主

要考查不等式的性質(zhì).當(dāng)c=0時(shí)顯然左邊無法推導(dǎo)出右邊，但右邊可以推出左邊.故選B

【解析】不等式的性質(zhì)

點(diǎn)評：充分利用不等式的基本性質(zhì)是推導(dǎo)不等關(guān)系的重要條件.

4.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家

萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究

函數(shù)圖象的特征.我們從這個(gè)商標(biāo)■中抽象出一個(gè)圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)可能是()

1

A.B.M-1

/(x)=

C.D.x+1

【答案】B

【分析】由圖象知函數(shù)的定義域排除選項(xiàng)選項(xiàng)A、D,再根據(jù)/(°)二-1不成立排除選項(xiàng)C,即可得

正確選項(xiàng).

【詳解】由圖知/G)的定義域?yàn)閧回尤*±1},排除選項(xiàng)A、D,

又因?yàn)楫?dāng)x=O0寸，/(°)=T,不符合圖象/(°)=1,所以排除選項(xiàng)C,

故選：B.

In—

J(x)=

5.函數(shù)x的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()

A.B)Q，e)

B.

C.(e,3)G，+8)

D.

【答案】C

3

f(x)=Inx——

【詳解】'X,

，函數(shù)f(x)在(0,+00)上單調(diào)遞增,

33

vf(3)=ln3-l>0,f(e)=lne-e=1-e<0,

.1.f(3)f(e)<0,

???在區(qū)間(e,3)內(nèi)函數(shù)f(x)存在零點(diǎn).

故選C.

網(wǎng)-2a

sina=—sin

2

6.已知3,則()

正1

A.T

B.9C.D.9

【答案】B

【分析】利用誘導(dǎo)公式及余弦的二倍角公式即可求解.

sin(2-2a)=-cos2a=一(1-2$泊％)=一l-2xf—=--

【詳解】＜2JL9

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，三角恒等變換求值，選擇合理的二倍角公式是求解的

關(guān)鍵，屬于中檔題.

7.函數(shù)y=、in?x+0)的部分圖象如圖所示,則

冗

y=2sin(2x---)

A.6

y=2sin(2x--)

B.3

y=2sin(x+—)

C.6

,y=2sin(x+—)

D.3

【答案】A

T=2[---(---)1=7ico=—=2

【詳解】試題分析：由題圖知，幺=2,最小正周期36，所以乃，所以

c..C、(—,2)2=2sin(2x工+9)sin(—+^)=1

k2sm(2x+0)因?yàn)閳D象過點(diǎn)3,所以3,所以3，所以

27t_.冗..7Tc.7V.

——+電=2k兀?—(keZ)0=---y=2sin(zx---)

32,令人=0,得6,所以.6,故選A.

【解析】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【名師點(diǎn)睛】根據(jù)圖象求解析式問題的一般方法是：先根據(jù)函數(shù)y=A4"。'+。)+〃圖象的最高點(diǎn)、

最低點(diǎn)確定A,h的值，由函數(shù)的周期確定co的值，再根據(jù)函數(shù)圖象上的一個(gè)特殊點(diǎn)確定(p值.

8.在西雙版納熱帶植物園中有一種原產(chǎn)于南美熱帶雨林的時(shí)鐘花，其花開花謝非常有規(guī)律.有研究

表明，時(shí)鐘花開花規(guī)律與溫度密切相關(guān)，時(shí)鐘花開花所需要的溫度約為20°C,但當(dāng)氣溫上升到

31℃時(shí)，時(shí)鐘花基本都會(huì)凋謝.在花期內(nèi)，時(shí)鐘花每天開閉一次.已知某景區(qū)有時(shí)鐘花觀花區(qū)，且該

景區(qū)6時(shí)~14時(shí)的氣溫T（單位：與時(shí)間，（單位：小時(shí)）近似滿足函數(shù)關(guān)系式

7'=25+10sinf-/+—"I

【84人則在6時(shí)~14時(shí)中，觀花的最佳時(shí)段約為（）（參考數(shù)據(jù):

sin—?0.6

5)

A.6.7時(shí)~11.6時(shí)B.6.7時(shí)~12.2時(shí)

C.8.7時(shí)~11.6時(shí)D.8.7時(shí)~12.2時(shí)

【答案】C

【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)求解

713兀3兀57i（713兀）

【詳解】當(dāng)‘e[6[4]時(shí)，4'2」，則一+‘貝9+"在回町上單調(diào)遞增設(shè)花

開、花謝的時(shí)間分別為'"2.

.（7t3兀、1K37rli兀26

由Z=20,得sin[-8t,H-4--）=—2,-84H4=-----6---,解得t=—3n8,7時(shí)；

.(713兀、八,.71713兀1171

不…sin—右+—=0.6?sm—,—+—=---

由%=31,得"一4J58-45,解得H.6時(shí)

故在6時(shí)~14時(shí)中，觀花的最佳時(shí)段約為8.7時(shí)~11.6時(shí).

故選：C

二、多選題

9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（°,+8）上單調(diào)遞減的是（）

1

V=-2

A.％B.1r

N=log』x|

c.2Dy=cosx

【答案】BC

【分析】利用奇偶性和單調(diào)性的知識(shí)逐一判斷即可.

1

y=-

【詳解】,X是奇函數(shù)，不滿足題意；

是偶函數(shù)，且在區(qū)間（°,內(nèi)）上單調(diào)遞減，滿足題意；

2是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，滿足題意；

V=COSX是偶函數(shù)，但在區(qū)間（°，”）上不單調(diào)遞減，不滿足題意；

故選：BC

10.下列結(jié)論正確的是（）

A.第二象限角一定是鈍角

兀3兀

B.若圓心角為號的扇形的弧長為兀，則該扇形面積為萬

C.在“8C中，tan（，+8）=-tanC

jV=sinf2%+—^―

D.函數(shù)I3J的圖象是由y=sin2x的圖象向左平移3個(gè)單位長度而得到的

【答案】BC

【分析】利用特例法判斷A；求出扇形的面積判斷B；利用誘導(dǎo)公式判斷C；利用平移變換法則判

斷D.

4兀

【詳解】對于A.,一行是第二象限角，但不是鈍角，錯(cuò)誤；

-=3

717C1r3冗

一—一X7Cx3=—

對于B,由圓心角為3的扇形的弧長為兀，可得圓的半徑為3,則該扇形面積為22,

正確；

對于C,在“8C中，tan（/+B）=tan（"C）=-tanC,正確；

—=sin2fx+—'j=sinf2x+—

對于D,V=sin2x的圖象向左平移3個(gè)單位長度而得到函數(shù)’I3）（3J的圖象,

錯(cuò)誤，

故選：BC.

11.下列命題是真命題的是（）

a=~—

A.若黑函數(shù)/（x）=x?過點(diǎn)1I!2/4則2

>log,X

B,王€(0,1),I2

log.x>log.X

C.Wxe(0,+8),ii

D.命題'TxeR,sinx+cosx<1”的否定是“VxeR,sinx+cosx>1?

【答案】BD

【解析】根據(jù)基函數(shù)的定義判斷A,結(jié)合圖象判斷8C,根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題可判斷。.

丐_

【詳解】解：對于A：若幕函數(shù)/（》）=苫"過點(diǎn)（2'）則夢0解得a=-2,故A錯(cuò)誤

>V=log|X

對于8：在同一平面直角坐標(biāo)系上畫出與5兩函數(shù)圖象，如圖所示

y=logiXy=log[X

對于C：在同一平面直角坐標(biāo)系上畫出3與2兩函數(shù)圖象，如圖所示

小，、log,x>loglxlog,x=log,X八log,x<log,X

由圖可知，當(dāng)xe(0,l)時(shí)，I5,當(dāng)x=l時(shí)，i3,當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，,j,

故C錯(cuò)誤；

對于。：根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題可知，命題“女?R,sinx+cosx<l^^^^VxeR,

sinx+cosxNI”，故。正確：

故選：BD

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，基函數(shù)的概念，含有一個(gè)量詞的命題的否定，屬于基

礎(chǔ)題.

12.已知函數(shù)/(x)=si"x+百sinxcosx,下列結(jié)論中正確的有()

A.函數(shù)/G)的最小正周期為燈，且圖象關(guān)于對稱

號浮。&Z)

B.函數(shù)/(X)的對稱中心是

715萬

C.函數(shù)/(X)在區(qū)間112'12」上單調(diào)遞增

D.函數(shù)/(X)的圖象可以由g")=c°s2“+5的圖象向右平移§個(gè)單位得到

【答案】AD

f(x)=sin2x+V3sinxcosx=sin2x--+—

【分析】首先利用倍角公式與輔助角公式化簡I6>2,進(jìn)一步

利用正弦型函數(shù)的周期公式以及對稱性判斷AB；利用單調(diào)性判斷C；利用三角函數(shù)圖象的變換規(guī)

則判斷D.

，/、./X-1-cos2x5/3sin2x.萬、1

f(x)=sin2x+，3sinxcosx=-------+--------=sin2x——+—

【詳解】函數(shù)22I6J2,

21JT1,13幾

"(§)=sin+—=1+—=—X=—

.??函數(shù)”刈的最小正周期為2222,圖象關(guān)于3對稱，故A

正確;

x」+絲％eZ〃、71

2x--=k7v+

令6,即122,函數(shù)J。)的對稱中心是12，故B錯(cuò)誤;

715乃2TT喘］上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤;

XGr[—,—]2x----e0,——y=sinx+—'

1212」時(shí),63」，顯然2在L

/、c11

g(x)=cos2x+——

2的圖象向右平移3個(gè)單位得到

2乃1(2，-會(huì)9+呆"2'-￡|+9小)

g(x-g)=cos(2x-+—=cos

2，故D正確.

故選：AD.

三、填空題

,15

3,og372+92+lg-+21g2=

13.2.

【答案】6

【解析】由幕的運(yùn)算法則和對數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算.

2+3+lg|+lg4=5+lgf5|x4)=5+l=6

【詳解】原式=2

故答案為：6.

/、2/、2tana

sin(a+/7)=—,sin(a-/)=—------

14.已知35,貝ijtan/?的值為.

【答案】4

82

sinacosB--,cosasinB--

【分析】由兩角和與差的正弦公式展開，聯(lián)立方程組，求得1515,再結(jié)

合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.

2

sin(a+￡)=sinacosB+cosasin￡=一

【詳解】由題意，可得3,

2

sin(?-/7)=sinacos(3-cosasinf3=—

5f

82

sinacosB=—,cosasinB--

聯(lián)立方程組，可得1515,

￡

tana_sinacosP_Ts_

tanpcosasinP2

又由15.

故答案為：4.

log,a+log,b=16sin-cos-

15.已知一-1212,則a+b的最小值為.

【答案】8

【解析】由已知結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及二倍角的正弦公式進(jìn)行化簡可求成的值，然后利用基本不

等式即可求解.

log,a+log,b=16sin--cos—=8sin—=4

【詳解】因?yàn)?2126,

所以log2a6=4,

故川=16,

貝I]a+b^2y/ab=8,

當(dāng)且僅當(dāng)a5=4時(shí)取等號，的最小值8.

故答案為：8.

16.已知函數(shù)/3=噢2（八以-"1）,下列說法中錯(cuò)誤的序號是.

①,0）一定有最小值.

②當(dāng)a=0時(shí)，/（X）的定義域?yàn)?/p>

③當(dāng)a=0時(shí)，/（X）的值域?yàn)镽

④若/（x）在區(qū)間R,+8）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{”.2-4}

【答案】①②④

【分析】求出函數(shù)的值域?yàn)镽,可知①錯(cuò)誤；求出函數(shù)定義域可知②錯(cuò)誤；求出函數(shù)的值域?yàn)镽,

可知③正確：當(dāng)。=-4時(shí)，/（x）=l°g2（f-4x+3）在沖2處無定義，可知④錯(cuò)誤

【詳解】對于①，當(dāng)。=0時(shí)，/（*）=噪2（公一1）,此時(shí)"（-8,-12（1,+8）「2_]?0,+8）,

此時(shí)/（x）=IOg2G2-1）值域?yàn)镽,故①錯(cuò)誤；

對于②，當(dāng)。=0時(shí)，解不等式爐-1>0得xe（f°，-l）U（l，+8）,故②錯(cuò)誤；

對于③，由①知，③正確；

對于④，若/（X）在區(qū)間[2,+8）上單調(diào)遞增,

2［x=—W2

此時(shí)y=x+辦-。-1對稱軸2，解得。2-4.

但當(dāng)a=-4時(shí)，/6）=唾2白2-48+3）在*=2處無定義，故④錯(cuò)誤.

故答案為：①②④.

四、解答題

17.已知函數(shù)/（x）=l°g,（l+x）（a>%"D,且/⑴=1.

（1）求。值及函數(shù)/（X）的定義域；

（2）若關(guān)于x的方程=°在區(qū)間［0,3］上有解，求實(shí)數(shù)切的取值范圍.

【答案】⑴2,（T+00）

⑵02］

【分析】（1）根據(jù)/0）=1代入即可求出參數(shù)。的值，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零得到不等式，解

得即可；

（2）依題意函數(shù)、=/。）與^=用在區(qū)間1°，3］上有公共點(diǎn)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出/（X）在

［°'3］上的值域，即可求出參數(shù)掰的取值范圍；

【詳解】⑴解:因?yàn)椤▁）=log.（l+x）（a>0且"1）,且/。）=1,所以/（1）=1嗎2=1

:.a=2,所以/（x）=bg2（l+x）,

令l+x>0,解得x>7,

所以〃x）的定義域?yàn)椋═，+8）

（2）解：方程“X）-機(jī)=°在區(qū)間03］上有解，

所以函數(shù)丁=/（幻與夕=加在區(qū)間10，引上有公共點(diǎn)，

因?yàn)椤▁）=log2（l+x）在區(qū)間［0,3］上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=0時(shí)，“X）取最小值0,當(dāng)x=3時(shí)，/（X）取最大值2,

所以函數(shù)/⑶的值域?yàn)?2］,所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為22］時(shí)，函數(shù)y=/（x）與>在區(qū)間

［0,3］上有公共點(diǎn)，

綜上：實(shí)數(shù)小的取值范圍為1°，2］

(n)(3TT、

cos+xcos—+x

/(x)_12J12__,

18.已知函數(shù)sin(7t-x)cos(2K-x)

⑴求I4J值；

sinx(sinx+cosx)

⑵若，(x)=-2,求l+sin2x的值.

【答案】(1)1;

2

(2)3.

7K

【分析】(1)用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡/(?,將彳代入計(jì)算;

(2)由條件得tanx的值，將代數(shù)式化簡成由tanx表示，代入計(jì)算即可.

、-sinx-sinx

/(X)=---------------=-tanx

【詳解】(1)sinx-cosx,

〃/7兀\7兀.兀、711

/(—)=-tan——=-tan(——)=tan—=1

所以4444

(2)〃x)=-tanx=-2,所以tanx=2,

sinx(sinx+cosx)sin2x+sinxcosxtan2x+tanx2

-----------------------=-----------------------=-----------------=—

l+sin2x2sin2x+cos2x2tan2x+l3

19.如圖，角6的頂點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系工帆的原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單

位圓交于點(diǎn)尸，且夕為第二象限角，若點(diǎn)。的坐標(biāo)為K'T.

(1)求tan0-sin2e的值;

(2)若將。尸繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40',得到角a，設(shè)tana=m,求tan.+85)的值

21

【答案】(1)麗

7W+1

⑵1-加

【分析】（1）由三角函數(shù)定義求得cos。，再由同角間三角函數(shù)關(guān)系求得sin?,tane,用二倍角公

式得sin2。后可得結(jié)論；

（2）由角的關(guān)系得9+850=。+45°,利用兩角和的正切公式可求得tan0+85）.

【詳解】(i)終邊與單位圓交于點(diǎn)2，且°為第二象限角，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為t5A所以

_4

n-54

cos￡=--=——

15,

----------------a-a

sin^=vl-cos20=-tan6=——

則------------------5,4,

...tan0-sin20=tan^-2sin^cos^

(2)由題意知。=0+40°,則8=a-40

則tan(夕+85)=tan(a+45)

_tana+tan45

1-tanatan45"

7774-1

\—m.

J\x)=sinx(cosx+\/3sinx)-

20.已知函數(shù)2.

小)

(1)求I3J的值及函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

Vxe以二

（2）若口2'2」，不等式“</（》）<加+2恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值集合.

百「7萬7,5乃］（1）

【答案】（1）2,單調(diào)增區(qū)間L1212J,keZ.（2）12）

【解析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)人R，代值求用整體代換法求單調(diào)遞增區(qū)間;

nn7171

（2）求出函數(shù)在上的值域,原不等式等價(jià)于函數(shù)/（X）在上的值域是（機(jī)，〃?+2）的子

集，列出不等式組化簡即可.

2k冗--<2x-—<2kTV+—(keZ)kn--<x<kn-(keZ)

由232',得1212V

k7T----,4乃+—(kjZ)

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為］1212」

717T、717121

XG——2x6----,——

⑵當(dāng)〔122」時(shí)，3163」，

/（工）￡

所以2

因?yàn)閁2'2」不等式機(jī)＜/（x）＜"?+2恒成立

1

m<—?1

2=>-1</w<——

2

1<〃7+2

所以

2

所以實(shí)數(shù)，"的取值集合2

【點(diǎn)睛】求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法：

（1）代換法:就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)處理后的整體當(dāng)作一個(gè)角"（或，），利用基本三角函數(shù)的單

調(diào)性來求所要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）圖象法:函數(shù)的單調(diào)性表現(xiàn)在圖象上是從左到右，圖象上升趨勢的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，圖象

下降趨勢的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間，畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象易求它的單調(diào)區(qū)間.

21.為了節(jié)能減排，某農(nóng)場決定安裝一個(gè)可使用10年的太陽能供電設(shè)備，使用這種供電設(shè)備后，

該農(nóng)場每年消耗的電費(fèi)C（單位：萬元）與太陽能電池板面積x（單位：平方米）之間的函數(shù)關(guān)系

2,04x410

C（X）=

L+2010

--------,x＞10

為IX-1（機(jī)為常數(shù)）.已知太陽能電池板面積為5平方米時(shí)，每年消耗的電費(fèi)

為8萬元，安裝這種供電設(shè)備的工本費(fèi)為0.5x（單位：萬元），記尸6）為該農(nóng)場安裝這種太陽能供

電設(shè)備的工本費(fèi)與該農(nóng)場10年消耗的電費(fèi)之和.

⑴求常數(shù)m的值；

⑵寫出尸（X）的解析式;

（3）當(dāng)x為多少平方米時(shí)，尸（、）取得最小值？最小值是多少萬元?

【答案】（1）心=60；

120-7.5%,0<x<10

尸（x）=，瓷+0.5…10

（2）

（3）當(dāng)x=41平方米時(shí)，尸（x）有最小值為40.5萬元.

【分析】（1）代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

⑵尸（x）=10C（x）+0.5x,代入解析式化簡即可.

（3）考慮04x410和x>l。兩種情況，分別計(jì)算最小值，比較得到答案.

【詳解】⑴抄式=8,解得…。；

60-4%

10x------+0.5x,0<x<10120-7.5x,0<x<10

F（x）=10C（x）+0.5x=<5

QQ號+0.5x,x>10

10x——+0.5x,x>10

（2）x-1

（3）當(dāng)04x410時(shí)，尸（x）=120-7.5,尸（也“?=尸（10）=45；

尸（x）=史^+0.5x=筌&+0.5（X-1）+0.5

當(dāng)x>10時(shí)，7x-1x-1

>2.1—X0.5（X3）+0.5=40.5—=0,5（x-l）

，當(dāng)x