2022-2023學年四川省宜賓市校高二年級下冊學期開學考試數(shù)學（理）試題含答案

2022-2023學年四川省宜賓市校高二下學期開學考試數(shù)學（理）試題

一、單選題

1.命題“存在2"V0”的否定是（

A.不存在所右區(qū)，2*。>0B,存在％eR,2%20

C.對任意的xeR,2，<0D.對任意的xeR,2*>0

x=-y

2.拋物線3的焦點坐標為（）

3.從某中學甲、乙兩班各隨機抽取10名同學，測量他們的身高（單位：cm）,所得數(shù)據(jù)用莖葉圖

表示如圖，由此可估計甲、乙兩班同學的身高情況，則下列結論正確的是（）

甲班乙班

211813

820171268

65316257

87159

A.甲乙兩班同學身高的極差相等B.甲乙兩班同學身高的平均值相等

C.甲乙兩班同學身高的中位數(shù)相等D.乙班同學身高在175cm以上的人數(shù)較多

4.若直線4：x->+2=°與直線4：2x+取-3=°平行，則實數(shù)〃的值為（）

A.-2B.-1C.2D.1

5.在區(qū)間［-2,2］內隨機取一個數(shù)x,使得不等式/+2x<°成立的概率為（）

23

11

A.3B.2C.3D.4

6.6知命題使得？+%+1<0；：Wxw[l,2],使得f-120.以下命題為真命題的為

AAB?PlV_*P2C-^|Ap2D.月八22

7.圓與圓。2：（x-3）-+/=9的位置關系為（）

A.外離B.外切C.相交D.內切

8,，，",=-1，，是，，直線（2%-4“+（帆+1?+2=0與直線（加+1“-即+3=0垂直,,的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

9,直線/：y=x與圓C：（xT）2+（y_2）2=/（a>0）交48兩點若|/8|="，則的面積為

)

旦0

A.6B.3C.6D.4

10.在三棱錐尸-N8C中，/0=/8=2,/8/。=90°^^平面/8&尸。=1,則該三棱錐外接球的

體積為（）

9

—71

A.36乃B.3C.而D.2

11.已知拋物線「=2px（p>0））的焦點為廠，準線為/,過下的直線與拋物線交于點/、B,與直

線,交于點。，若萬=3而阿=上則尸（）

3

A.1B.2C.2D.3

x22

12.己知雙曲線4一”"〉"的左、右焦點分別為耳，鳥，。為雙曲線0右支上的動點，過

戶作兩漸近線的垂線，垂足分別為A,B.若圓（x-2）-+/=l與雙曲線0的漸近線相切，則下列

結論正確的有（）個.

①。=4；

②四附為定值；

2百

③雙曲線C的離心率03.

④當點尸異于頂點時，△兩片的內切圓的圓心總在直線x=2G上.

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

13.已知空間向量"=（2LL3）3=（"4,2,X）,若ZJ.",則實數(shù)x的值為.

x2丁

14.已知橢圓/的左、右焦點分別為￡、B,上頂點為4若△“耳工為正三角形,

則該橢圓的離心率為

a~+b~—cVI.

15.已知實數(shù)。，b,c滿足4,貝lj"+b+c的最小值是.

16.已知4。8=90。，C為空間中一點，且410C=N30C=60。，則直線℃與平面所成角的

正弦值為.

三、解答題

17.我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調整居民生活用水收費

方案，擬確定一個合理的月用水量標準N噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，

超出x的部分按議價收費?為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用

水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照@8)，帙5』),…，口，45］分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方

圖.

O0.511.522.533.544.5月均用水量(噸)

(1)求直方圖中。的值；

(2)設該市有3。萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；

(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準M噸)，估計x的值，并說明理由.

18.已知圓C的圓心在直線3x+2y=°上，C經過點”(-2,0),且與直線4x-3y+8=0相切

(1)求C的標準方程；

(2)直線，：x-2k3=0與C相交于兩點，求ACMN的面積.

19.某地級市受臨近省會城市的影響，近兒年高考生人數(shù)逐年下降，下面是最近五年該市參加高考

人數(shù)y與年份代號x之間的關系統(tǒng)計表.

年份代號X12345

高考人數(shù)y(千人)

3533282925

(其中2018年代號為1,2019年代號為2,…2022年代號為5)

(1)求了關于x的線性回歸方程；

(2)根據(jù)(1)的結果預測該市2023年參加高考的人數(shù)；

(3)試分析該市參加高考人數(shù)逐年減少的原因.

￡(為-加,一刀__

Z>=-i=!—；----------,a=y-hx

(參考公式：7)

20.如圖，在五面體/8COE尸中，ABHCDHEF,AABC=ABAF=90°,CD=2AB=4EF=4,

BC=AF=2,p,O分別為8,ZP的中點，二面角尸-48-。的大小為60。.

(2)求平面ADF平面BCE成二面角的正弦值.

21.已知平面上動點P到定點尸⑵°)的距離比P到直線x=T的距離大1.記動點P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過點(一2，°)的直線/交曲線C于/、8兩點，點/關于x軸的對稱點是。，證明：直線8。恒

過點F.

22.已知橢圓+的右焦點為小'。)，點RM，”為橢圓C上的點，直線過

k,k=_1

坐標原點，直線PM，?！钡男甭史謩e為左他，且「2一2

(1)求橢圓C的標準方程；

\MN(

(2)若"http://MN且直線尸尸與橢圓的另一個交點為0,問歸。|是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)；若

不是，請說明理由.

參考答案：

1.D

【分析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題，寫出結果即可.

【詳解】解：由題意

???特稱命題的否定是全稱命題，

???命題“存在與€口，2'"0”的否定是：

對任意的xeR,2、＞0.

故選：D.

2.D

【分析】將拋物線化成標準形式，即可求解.

x=-y2y2=-x

【詳解】由3.得4,故焦點為

故選：D

3.D

【分析】根據(jù)莖葉圖和極差、平均數(shù)、中位數(shù)等概念逐一計算，即可判斷選項是否正確.

【詳解】由莖葉圖可知，甲班同學身高的極差為182-157=25,乙班同學身高的極差為

183-159=24,兩班身高極差不相等，故A錯誤；

—(157+158+163+165+166+170+172+178+181+182)=169.2

甲班同學身高的平均值為10

—(159+162+165+167+171+172+176+178+181+183)=171.4

乙班同學身高的平均值為10

顯然，甲乙兩班同學身高的平均值不相等，即B錯誤；

1^2=168

根據(jù)莖葉圖可知，甲班同學身高的中位數(shù)為2,乙班同學身高的中位數(shù)為

所以，甲乙兩班同學身高的中位數(shù)不相等，即C錯誤；

由莖葉圖可知，甲班同學身高在175cm以上的人數(shù)為3人，乙班同學身高在175cm以上的人數(shù)為4

人，故D正確.

故選;D

4.A

【分析】解方程lx“-(T)x2=°即得解.

【詳解】解：由題得lxa-(-l)x2=0,;.a=

經檢驗，當。=-2時，滿足題意.

故選：A

5.B

【分析】由一+2x<°可得-2<x<°，再根據(jù)幾何概型的計算方法求解即可.

【詳解】解：由/+2x<0可得-2<x<0,

0-(-2)_2_1

由幾何概型的定義可得使不等式x2+2x<0成立的概率為：2-(-2)42

故選：B.

6.D

【詳解】???△=(-1)2-4=-3<0,二/+》+1<0的解集為空集，故命題B為假命題，-Pi

為真命題：,“一12°，二*21或x〈Le[l,2],使得__12°恒成立，故心為真命

題，為假命題；因「四為真命題，為真命題，故必為真命題，答案為C.

7.D

【分析】求出兩個圓的圓心與半徑，通過圓心距與兩圓的半徑和與差的關系，判斷兩個圓的位置關

系.

【詳解】因為圓q：G-iy+v=i的圓心a，°),半徑為八=1,

圓q：(x-3)-+V=9的圓心(3,0),半徑為々=3,,

則兩圓的圓心距為,(>3)2+。2=2,而h-41=2,

則圓°與圓°?的位置關系為內切.

故選:D.

8.B

【分析】根據(jù)兩直線垂直的條件，求解加范圍即可求解.

【詳解】若直線(2'”一4卜+3+1”+2=0與直線伽+3-叩+3=0垂直，則

(2加一4)(加+1)—〃7(加+1)=0=+1)=0=加=4或加=_]

故，，-，，是，，直線(2時4)x+3+l)y+2=0與直線(m+l)x-叩+3=0垂直,，的充分不必要條件，

故選：B

9.A

【分析】由題知圓心為0（1'2）,半徑為r=a,進而根據(jù)幾何法求弦長得

\AB\=2-/=2./<?2——=aa=

、2，解得3,再計算面積即可得答案.

【詳解】解：由題知圓心為C0Z,半徑為廠=。，

d=J_=顯

所以，圓心c0'2）到直線/：y=x的距離為V22,

\AB\=2y/r2-d'=2.1a2--=aa=

所以，弦長V2,即3/_2=0,解得3,

所以“8C的面積為212326

故選：A

10.D

【解析】畫出圖形，將幾何體補全為長方體，則將問題轉化為求對應長方體外接球體積問題，結合

體積公式即可求解

【詳解】

V22+22+l_3

如圖所示，三棱錐實際上為長方體上四點組合而成，則外接球半徑為‘一2~2,

T/434279

V=-7Tr=—7TX—=—71

則該三棱錐外接球的體積為3382

故選：D

【點睛】本題考查錐體外接球體積算法，對于這類問題，我們都可考慮把錐體還原成對應的長方體

或圓柱體，再求對應的外接球半徑，這樣會簡化求解難度，屬于中檔題

11.D

【分析】利用拋物線的定義，以及幾何關系可知c°sN"4,再利用數(shù)形結合可求的值.

則陽//FK///4根據(jù)拋物線定義知阿卜\BF\\AA\=\AF\^

萬1=3而，阿卜4I幽=|陰=+4|=+目,|即=；陷

又II,所以J33,

設NDBB、=e,因為BBJiFK/lAA,所以NF<4=NKFD=NDBB[=￡

COM一忸叫?聞3]幽3|幽

則\DB\\DA\\AB\+\DB\4\BBt\+\DB\

網3網」

所以4忸聞+1。8|,,又配|=4,可得|明|=2,所以8S。-/,

1KF\區(qū)可|什|\KF\

2~~DF\一\DB\+\BF\~|。卻+忸耳|—~6~

可得陽=3,即P=3

故選：D.

12.C

【分析】由雙曲線漸近線方程"士心=°,圓（x-2）-+〉12=l圓心（2,0）,半徑是［,應用點線距離

公式列方程求。，設°（*。/。）有片-3"=12,由點線距離公式寫出回，附，直接用離心率定義

求雙曲線離心率，根據(jù)圓切線性質及雙曲線定義可得由。-1名口=2“，進而確定內切圓的圓心的

位置.

【詳解】由題意，雙曲線漸近線方程是2》±e=°,圓（、-2）一+『=1的圓心（2,0）,半徑是］,

JM_

則=1,可得。=2打（-2百舍去），①錯誤.

設尸（X。/。），則124-1,即x：-3y：=12.

漸近線方程是x土島=°,則戶'卜—2—，戶園--2

c_425/3

由6=2,所以c=J/+b2=4,離心率為,3,③正確;

設△尸6耳的內切圓與三邊切點分別為。，E,H,如圖，

O\DF2x

由圓的切線性質知國力一內必=寓MT6同=|耳尸|一向尸|=2.,

所以%=”，因此內心/在直線x=a,即直線x=26上，④正確;

故選：C

13.3

【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標表示求解.

［詳解］因為所以a?=2x(-4)+(-l)x2+3x=0,解得3,

10

故答案為：了.

14.2##0.5

【分析】利用題給條件求得。=2。，進而求得橢圓的離心率

【詳解】△"6鳥為正三角形，則a=2c,則橢圓的離心率‘一】一五一5

故答案為：2

15.8

【分析】由a+b+c*+6+4(a2+b2),通過配方變形即可得出.

,a2+b2<-c<i

【詳解】???實數(shù)”，b,c滿足4

。+b+cN。+6+4任+/??)=4(〃+口+4(6+1

88I8一8

,11

a=b=——c=—

當8,8時等號成立,

.?.a+6+c的最小值為8.

故答案為:-8

V2

16.2

【分析】由對稱性點C在平面408內的射影。必在的平分上，作3石,04于￡,根據(jù)線面

所成角的定義可知NC°D為直線℃與平面AOB所成角，在三角形COD中求解此角即可.

【詳解】由對稱性可知，點C在平面內的射影。必在的平分上,

作。/于2連接CE,易知CE'°E,

設?！?1,則。后=1，。。=血，又NCOE=6(f,CELOE,則OC=2,所以CQ=J"：-g=及

5

sinZCO￡)=—

因此直線℃與平面/。8所成角的正弦值2

72

故答案為：2.

(2)3.6萬，理由見解析

（3產=2.9,理由見解析

【分析】（1）根據(jù)各組的累積頻率為1,構造方程，可得。值；

（2）由圖可得月均用水量不低于3噸的頻率，進而可估算出月均用水量不低于3噸的人數(shù);

（3）由圖可得月均用水量低于25噸的頻率及月均用水量低于3噸的頻率，進而可得x值.

［詳解］（1）T°5x（0Q8+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=l

/.a=0.3.

⑵由圖可得月均用水量不低于3噸的頻率為：0.5x（0.12+0.08+0.04）=0.12；

由30x0.12=3.6,得全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)約為3.6萬；

（3）由圖可得月均用水量低于25噸的頻率為：05*（008+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73<85%；

5x08

月均用水量低于3噸的頻率為：°-(O+0-16+0.3+0.4+0.52+0.3)=0.88>85%；

一…0.85-0.73—

x=2.5+0.5x---------=2.9

則0.3x0.5噸.

18.⑴(A?)+。+3)=25⑵10

【解析】（1）不妨設圓心為半徑為廠，結合待定系數(shù)法和點到直線距離公式即可求解;

（2）由圓心到直線距離公式求得弦心距〃，再由幾何性質和勾股定理求得弦長，利用

S=-|A/?V|-4/

2即可求解

【詳解】⑴設圓心為°（“/），半徑為廣，則圓的標準方程為;G-4由題可得

3a+2b=0

(24-a)2+62=r2a=2

|4a-36+8|b二-3

5〃,則圓C的標準方程為（x_2）~+（y+3）2=25；

1解得

_|2-2x(-3)-3=0|

(2)如圖，可求出圓心到直線/：x-2y-3=°的距離"

—=\lr2-d~=s/25—5=2#)r-

則半弦長2,/=4,5,

S&CMN=；*|4/叫."=；x4石x石=10

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的標準方程，由圓的幾何性質求弦長,屬于中檔題

[9.（i）V=-2.4x+37.2

（2）22.8千人

（3）答案見解析

【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)計算得b=-2.4,a=37.2即可解決；口）根據(jù)（1）中回歸方程計算即

可；（3）言之有理，客觀分析即可.

【詳解】（1）設回歸方程為＞=bx+a,由表中數(shù)據(jù)知，

x=3,y=30

L-2x5+（-l）x3+0x（-2）+lx（-l）+2x（-5）12.,

b=-------------------------------------=----=-2.4

所以4+1+4+15,

所以。=y-bx=30-（-2.4）x3=37.2

所以V關于x的回歸方程、=-2.4X+37.2

（2）由（1）得V關于x的回歸方程尸-2.4X+37.2.

令x=6,y--2.4x6+37.2=22.8（千人），

所以預測該市2023年參加高考的人數(shù)為22.8千人.

（3）①該市經濟發(fā)展速度慢；

②該市人口數(shù)量減少：

③到省會城市求學人數(shù)增多.

20.（1）證明見解析

V42

⑵7

【分析】（1）由已知條件證明尸為等邊三角形，則有少°,4尸，證明/平面〃P,則有

FOLABf可得尸平面力BCD；

（2）建立空間直角坐標系，利用法向量解決二面角的問題.

【詳解】（1）???4R/CQ,CD=2AB,P為C。的中點，4PC8為平行四邊形，../P//BC且

AP=BC=2

...乙4BC=90°,：.AB上BC,則“尸_LZ8.

又?：NBAF=90°,...ABLAF,

NFAP為二面角F-AB-D的平面角，:NF4P=60°

又=〃=.“HP為等邊三角形，丫。為ZP的中點，則/OL/P,

又AB工AF,AP1AB,4凡”尸匚平面用尸，AFryAP=A,；*4Bq平面F4P,

...尸0<=平面尸/尸，...尸0128,

4B,4Pu平面4BCD,4804尸=/,...FO，平面Z8CO

（2）設8c的中點為Q,以°凡OQ°尸所在的直線分別為樂了z軸建立如圖所示的空間直角坐

標系，

則尸(0,0,6),4(-1,0,0),。(1，-20),￡(0,1,73)5(7,20),C(l,2,0)

萬=(1,0,石)而=(2,-2,0)SC=(2,0,0)EC=(1,1,-VJ)

設平面NO尸的一個法向量為揚=a，?,zi),貝|j

Jin-AF=占+6z、=0

［而?而=23-2%=0,令z=-l,則乂=尸石，麗=國瓜-1)

設平面8CE的一個法向量為"=(》2，%/2),則

n?BC=2工］=0

n-EC=x2+y2-y/3z2=0,令z=l,則工=。/=8，n=(0,73,1)

|cos行㈤|=4包=4

...1'"1^|-|?17

.?.所求二面角的正弦值為

21.（1）V=8x（2）證明見解析

【解析】（1）先分析出點尸在直線的右側，然后利用拋物線的定義寫出方程即可

（2）設出直線/的方程和/、8兩點坐標，聯(lián)立方程求出”［的范圍和/、8兩點縱坐標之和和積，寫

出直線8。的方程，然后利用前面得到的關系化簡即可.

【詳解】（I）不難發(fā)現(xiàn)，點尸在直線x=T的右側，

..p到F（2,0）的距離等于P到直線x=-2的距離.

二產的軌跡為以FQ,0）為焦點，以x=-2為準線的拋物線，

???曲線C的方程為『=8x

⑵設直線/的方程為*=〃少2"（王,乂）,'（々，％）

（x=my-2

聯(lián)立［y2=8x,得9+16=0,A=64/H2-64＞0,解得力＞［或加＜-l.

.?.必+8=8/，=16.

又點/關于x軸的對稱點為D,°（再，-乂）

y2+yxx

y-y2=-'（-2）