2022-2023學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題-含答案

2022-2023學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.如圖，直線，/，認(rèn)的斜率分別為勺&自人，則()

C.<k)<kt<k2D.與<&4<勺〈氏2

【答案】D

【分析】直接由斜率的定義判斷大小即可.

［詳解】由斜率的定義知，&>尢>0>&4>%.

故選：D.

2.在等比數(shù)列｛4｝中,%%=6,生+4。=5,則也等于

。10

A._2或_3B.-C.-D.|咤

3232

【答案】D

【詳解】?；｛q｝為等比數(shù)列，二%%=%〃10=6,又/+《0=5

...七,a。為/-5x+6=O的兩個(gè)不等實(shí)根，

q8*或q*=|

.?.組=-3或2

須23

故選D

3.直線x+y+l=0被圓/+丁―2x+2y+l=0截得的弦長(zhǎng)為()

A.2B.V2C.1D.—

2

【答案】B

【分析】由圓的方程可求得圓心和半徑，利用垂徑定理可求得結(jié)果.

【詳解】由圓的方程知其圓心為（卜1）,半徑r=gj4+"4=l；

???圓心到直線x+y+i=o的距離4=匕口=也，

V22

???所求弦長(zhǎng)為2。產(chǎn)-/=2m=&.

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓的弦長(zhǎng)的求法：

（1）幾何法，設(shè)圓的半徑為，弦心距為d,弦長(zhǎng)為L(zhǎng),則（4）=/-/；

y=kx+m

（2）代數(shù)法，設(shè)直線與圓相交于A（A,，M）,3優(yōu)，％），聯(lián)立直線與圓的方程”.4+（）,_牙=/，

消去y得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，從而可求出用+當(dāng)，x也，根據(jù)弦長(zhǎng)公式

22

|AB\=\l\+k-^xt+x2）-4xtx2,即可得出結(jié)果.

4.有3位男生，3位女生和1位老師站在一起照相，要求老師必須站中間，與老師相鄰的不能同時(shí)為

男生或女生，則這樣的排法種數(shù)是

A.144B.216C.288D.432

【答案】D

【詳解】先排與老師相鄰的:C；C；&=18，再排剩下的：,所以共有188=432種排法種數(shù)，選

D.

點(diǎn)睛：求解排列、組合問(wèn)題常用的解題方法：

（1）元素相鄰的排列問(wèn)題——“捆邦法”；（2）元素相間的排列問(wèn)題——“插空法”；（3）元素有順序限制的

排列問(wèn)題——“除序法”；（4）帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問(wèn)題——間接法.

5.若雙曲線工+片=1a為非零常數(shù)）的離心率是否，則雙曲線的虛軸長(zhǎng)是（）

4k

A.6B.8C.12D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得到a，4c,進(jìn)而根據(jù)離心率求出院而后得到從最后求出答案.

【詳解】由題意，k<0,則a=2,>=J—=J4—4,雙曲線的離心率e==有=>—%=16,

2

所以，6=4,即虛軸長(zhǎng)為8.

故選：B.

6.設(shè)尸為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8(3,()),若|時(shí)=忸耳，貝!||蝴=()

A.2B.272C.3D.372

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)A坐標(biāo),

即可得到答案.

【詳解】由題意得,尸(1,0),則|A尸|=忸同=2,

即點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-1的距離為2,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1+2=1,

不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，代入得，A(L2),

所以[4卻=^(3-1)2+(0-2)2=2&.

故選：B

7.的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()

【答案】A

【分析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式即可得出.

【詳解】解：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為1+L6?(；)「小』,

令12-3r=(),解得：r=4,

.??二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

2lo

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.若等差數(shù)列｛/｝與等差數(shù)列間的前"項(xiàng)和分別為鼠和且率=?當(dāng)，則魯=()

ln14

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，得到+=黑，即可求解.

15（4+%）

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，可得會(huì)=干??=黑=71：+：='

反偽+九1乂4+々5）兀3x15—144

2

故選：C.

二、多選題

22

9.若方程上+工=1所表示的曲線為C,則下面四個(gè)說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

3Tt-\

A.若l<r<3,則C為橢圓

B.若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則2々<3

C.曲線C可能是圓

D.若C為雙曲線，則f<l

【答案】AD

【解析】根據(jù)題意依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)f=2時(shí)，曲線為C表示圓，故不正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)，則f-l>3T>0,解得2<f<3,故正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，=2時(shí)，曲線為C表示圓的方程，故正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí)，則（3-/）（7-1）<0,解得/<1或r>3,故錯(cuò)誤；

綜上，錯(cuò)誤的是AD.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓，雙曲線的方程，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.

22

10.已知A7是橢圓C：土+工=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1,凡是其左右焦點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）

84

A.橢圓的焦距為2B.橢圓的離心率e=Y2

2

C.\MFt\+\MF2\=442D.△加耳心的面積的最大值是4

【答案】BCD

【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)同、定義計(jì)算出焦距、離心率、焦點(diǎn)三角形面積并判斷各選項(xiàng).

22

【詳解】由橢圓方程j+==1得4=2收，b=2,所以c=2,

84

焦點(diǎn)為2c=4,A錯(cuò)；離心率為6=￡=義=變，B正確；眼周+|M閭=2a=4&,C正確；當(dāng)〃

短軸端點(diǎn)時(shí)，用的面積的最大，最大值為gx4x2=4,D正確.

故選：BCD.

11.若（1-X）""=4+。儼+%彳2+…+42022X20"，則（）

A.展開(kāi)式中所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為223

B.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第1012項(xiàng)

C.4=1

D.4+見(jiàn)+/+…+%E2=0

【答案】ABC

【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可以判定AB;利用賦值法可以判定CD.

2022

［詳解】展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為Chz+G022+…+嚅=2，故A正確；

展開(kāi)式中第1012項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C；：；；,是所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)中的最大值，故B正確；

在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，令x=0可得4=1,故C正確；

令X=1可得％+4+…+%022=0,；?4+…+”2022=—%=-1，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

12.設(shè)數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為S.，若存在實(shí)數(shù)A,使得對(duì)任意“eN”，都有則稱數(shù)列｛4｝為

"7數(shù)列''.則以下結(jié)論正確的是（）

A.若｛《,｝是等差數(shù)列，且q>0,公差4<0,則數(shù)列?。恰癟數(shù)列”

B.若｛%｝是等比數(shù)列，且公比4滿足141<1,則數(shù)列｛4｝是“T數(shù)列”

+2

C.若.=“（〃+1）2=則數(shù)列｛4｝是“T數(shù)列”

?2

D.若a“=V—,則數(shù)列｛4｝是“T數(shù)列

4n-1

【答案】BC

【解析】寫出等差數(shù)列的前”項(xiàng)和結(jié)合"7數(shù)列''的定義判斷4寫出等比數(shù)列的前”項(xiàng)和結(jié)合“T數(shù)

列”的定義判斷&利用裂項(xiàng)相消法求和判斷C；當(dāng)“無(wú)限增大時(shí)，|S,J也無(wú)限增大判斷D

【詳解】在4中，若｛為｝是等差數(shù)列，且4>0,公差八0,則S“=#+（q-￡）〃，當(dāng)"無(wú)限增

大時(shí)，|S“|也無(wú)限增大，所以數(shù)列｛%｝不是“T數(shù)列”，故4錯(cuò)誤.

在B中，因?yàn)椋鹮｝是等比數(shù)列，且公比4滿足

所以⑶卜見(jiàn)=J=0-魯二”盧+|詈4<2廿七］,所以數(shù)列｛《,｝是“T數(shù)列”，故8正確.

\-q\-q

在C中，因?yàn)?=“?2"一("+1).2向'所以

n(?+l)2n+I

lS,,l=llx2'_2x22+2x22-3x23++〃?2"一(〃+卜'?("+<5,所以數(shù)列佃'｝是

“7數(shù)列”，故C正確.

在。中，因?yàn)椋?--------3------1-------;------1--?-----

4/I2-144X22-14X32-1--------4,72-1

當(dāng)”無(wú)限增大時(shí)，周也無(wú)限增大，所以數(shù)列｛《,｝不是“7數(shù)列”，故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向,

突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：⑴而西三;(2)

nn+k

⑶

FU歷一研(2n_1)(2n+1)=22n-l2〃+1

(2B+I-1)-(2"-1)

；止匕外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)

(2"-1)(2"J廣(2(1-l)(2n+l-l)2—12—1

丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.

三、填空題

13.有3名男演員和2名女演員，演出的出場(chǎng)順序要求2名女演員之間恰有1名男演員，則不同的出

場(chǎng)順序共種

【答案】36

【分析】本道題目是一個(gè)排列問(wèn)題，先將2名女生和1名男生捆綁，然后排列，在作為一個(gè)整體參

與全排，即可.

【詳解】采用捆綁法，將2名女演員和1名男演員捆綁有3xA；=6,然后在全排，有A；=6,

共有36種方法.

【點(diǎn)睛】本道題目考查的是排列問(wèn)題，可以采取捆綁法進(jìn)行解答.

14.若直線入2x+ay-2=0與直線上x(chóng)-y+a=O平行，則直線4與4之間的距離為.

【答案】立

2

【分析】先根據(jù)直線乙與4平行求出參數(shù)。，再由兩平行直線間的距離公式可得答案.

【詳解】???直線4與4平行，???92=/三7-工2,，解得。=-2,

1-1a

:?直線乙：x-y-l=O,直線4：x-y-2=0,

；?直線4與i之間的距離d=卜1二"=立.

2V1+T2

故答案為：也

2

OY

15./(x)=-^-,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的公式的方法，可求得

2x—1

【答案】2020

【分析】先證得/(x)+/(l-x)=2,利用倒序相加法求得表達(dá)式的值.

,,,、2x2(l-x)2(2x-l)

【詳解】解：由題意可知fx+fl-x=丁一/=；1=2,

2x-l2x-i

令M施卜隔卜…+/圈

則=篇H瑞卜?“小

兩式相加得，2s=2020x2

.-.5=2020.

故填：2020

【點(diǎn)睛】本題考查借助倒序相加求函數(shù)值的和，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是找到/(力+/(1-力=2的

規(guī)律.

\PA\,

16.在平面上給定相異兩點(diǎn)4,B,設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足扁=義，當(dāng)4>0且時(shí)，P點(diǎn)的

軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓，

22

r2v

現(xiàn)有雙曲線T-r=1(4>0,b>0),A,B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，C,。為雙曲線的虛軸端點(diǎn),

ab

PA64

動(dòng)點(diǎn)P滿足國(guó)^=2,面積的最大值為手，AP8面積的最小值為4,則雙曲線的離心率為

【答案】！

【分析】根據(jù)AB為雙曲線的左、右頂點(diǎn)可設(shè)A=（-“,0）,8（a,0）,P（x,y）,由兩點(diǎn)間距離公式并化簡(jiǎn)

可得動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程.由A8為雙曲線的左、右頂點(diǎn)可知當(dāng)戶位于圓的最高點(diǎn)時(shí)APA8的面積最大,

根據(jù)面積最大值求得〃.當(dāng)P位于圓的最左端時(shí)步8的面積最小，結(jié)合最小面積可求得以即可求得

雙曲線的離心率.

【詳解】設(shè)A=（-a,0）,8（a,0）,P（x,y）,

依題意，得|酬=2|冏,

即J(x+a)2+/=2yJ(x-a)2+y2,

,則圓心為（芋,半徑「二與,

20）,

兩邊平方化簡(jiǎn)得+y

1464

當(dāng)P位于圓的最高點(diǎn)時(shí)A/咒B的面積最大，最大面積為萬(wàn)'2.、5。=—,

解得a=4；

當(dāng)尸位于圓的最左端時(shí)APCD的面積最小，最小面積為嗚=4,

解得"=3,

故雙曲線的離心率為e==

故答案為：

4

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，軌跡方程的求法，圓與雙曲線的綜合應(yīng)用,雙曲線離心率

的求法，屬于中檔題.

四、解答題

17.已知卜+?展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256

（1）求”；

⑵若展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為3券5，求加的值;

8

【答案】（1）8

⑵土;

【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=256,可得〃的值;

(2)根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)得到從而得到r=4,即可得到答案.

【詳解】(1)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,

2"=256,解得〃=8

(2)1+7］的通項(xiàng)公式：

令8-2/?=(),解得r=4,則/C；=U

8

解得"7=士;

18.已知等差數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S1t=/+“，

(1)求｛可｝的通項(xiàng)公式;

]

(2)求數(shù)列〈,的前〃項(xiàng)和T..

(an+l)-(an-l)

【答案】(l)a“=2"(〃eN")

n

(2)7；,=

2〃+1

\S-S,,n>2

【分析】(1)根據(jù)公式%=;Tn可求得

(2)結(jié)合(1)得7——^=:(丁二一4]，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.

(a?+l)?(??-1)212〃—12n+\)

【詳解】(1)解：因?yàn)閟“=/+〃,

當(dāng)〃=1時(shí)，q=4=2

22

當(dāng)“22時(shí)，a?=S?-S?_l=n+n-(n-l)-(n-l)=2n

又4=2也適合上式

所以=2〃(〃eN,)

(2)解：由⑴知a“=2〃(〃eN*)

所以______1______=______1

所以'(a?+!)?(??-1)(2n-l)(_2n_+l)=12(20〃_-1__2nL+_l]/

如鴻-9*+???+白-熹卜41-擊卜備

19.如圖①所示，長(zhǎng)方形ABC。中，AZ)=1,A5=2,點(diǎn)M是邊CO的中點(diǎn)，將△/WM沿A”翻

折到△%〃，連結(jié)P8,PC,得到圖②的四棱錐P-ABCM.

(1)求四棱錐P-ABCM的體積的最大值;

⑵若棱出的中點(diǎn)為N,求CN的長(zhǎng);

(3)設(shè)P-AM-的大小為0,若。=60。，求平面P4W和平面PBC夾角的余弦值.

【答案】(1)也

4

⑵或

2

⑶叵

11

【分析】(1)作出輔助線，得到當(dāng)平面E4M_L平面A3CM時(shí)，尸點(diǎn)到平面A3CA/的距離最大，四棱

錐尸的體積取得最大值，求出PG=1AM=正，從而得到體積最大值；

22

(2)作出輔助線，證明出四邊形CNQA7為平行四邊形，從而得到CN=M。即可得所求值；

(3)作出輔助線，得到NPG￡)為2―AM—D的平面角，即NPG￡>=60。，建立空間直角坐標(biāo)系，求

解平面和平面PBC的法向量，利用空間向量夾角余弦公式得即可.

【詳解】(1)解：取A”的中點(diǎn)G,連接PG,

當(dāng)平面E4M_L平面ABCM時(shí)，P點(diǎn)到平面ABCM的距離最大，四棱錐尸-A3cM的體積取得最大值,

1/?

此時(shí)PGL平面43CA/,且PG=±AM=4,

22

底面45cM為梯形，面積為(l+2)xlx(=],

22

則四棱錐的體積最大值為=正;

3224

(2)解：取AP中點(diǎn)。，連接N。，MQ,

則因?yàn)镹為PB中點(diǎn)，所以M2為,上48的中位線，

所以NQ〃AB且NQ=；AB,

因?yàn)椤盀镃。的中點(diǎn)，四邊形ABC。為矩形，

所以CN//AB且CM=1AB,

2

所以CM//NQ且CM=NQ,

故四邊形CNQM為平行四邊形，

所以CN=MQ=J(；J+代=乎;

(3)連接QG,過(guò)戶作J_Z)G于點(diǎn)，，由題意得P〃_L平面

因?yàn)镈4=DM,所以Z)G_LA〃，

所以NPGD為P-4W—￡>的平面角，BPZPGD=60°,

所以”G='PG=L￡)G=變，HP=—PG=-DG=—,

224224

過(guò)點(diǎn)。作。z,平面ABC。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,DC,DZ所在直線為x軸，》軸，z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則他。。，軟?！?。)，則2,。)，。(。2。)，尸[找,當(dāng)‘

設(shè)平面PA"的法向量為勺=(芭,y”zj,又AM=(—1,1,0),24=；,_；,一()

一再+x=0玉

則《31瓜限，令J=2,則4=(灰,遍,2),

—x—y.----z.=0XZ1

[41414,'=T

17咐

X,Z又因?yàn)镃B=(1,0,0),PC=

設(shè)平面PBC的法向量為％=(2,32,2)4'4，-V)

x2=0x2=0

76，令之2=7,可得：/?2=(0,>/6,7),

則1JN/6=，

一-7工2+二>22=0%=-Z2

444一2

設(shè)兩平面夾角為a,

n.■n,0+6+14755

則COS"|,〃2=^^

4x屈-11

所以平面EVW和平面PBC夾角余弦值為要.

11

20.已知點(diǎn)P在拋物線C:f=2py(p>0)上,且點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為1,點(diǎn)尸到拋物線焦點(diǎn)尸的距離為2

(1)求拋物線C的方程；

(2)若拋物線的準(zhǔn)線與V軸的交點(diǎn)為過(guò)拋物線焦點(diǎn)廠的直線/與拋物線C交于A,B,且

AB1HB,求|4用一|8用的值.

【答案】(1)d=4y(2)4

【分析】(1)由拋物線定義，點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)尸的距離為2,故1+5=2,可得解

(2)ABLHB可轉(zhuǎn)化為kAB-kHB=T,代入坐標(biāo)可得(%-1)(%+1)+不/=°，即x：-x；=16,

\AF\-\BF\=yi+1-%T=；儲(chǔ)一/)可得解

【詳解】(1)設(shè)P(x0，l),由拋物線定義，點(diǎn)尸到拋物線焦點(diǎn)尸的距離為2

故1+"=2;.p=2

故拋物線C的方程為：x2=4y-

(2)拋物線f=4y的焦點(diǎn)為尸(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-l,4(0,-1)；

設(shè)A(x”yJ8(孫必)，

直線AB的方程為y=履+1,代入拋物線方程可得X2-4AX-4=0,

.??%+工2=4攵，x)x2=-4,…①

由可得3s.七8=-1，

,.Vi—1.必+1

又^AB=砥尸=，km=,

xxx2

?XZ1.適±1=_1

%九2

???(乂-1)(%+1)+92=0，

即［a"-Ka*+1J+=0，

**?耳芍H(X：—芍)—1+=0,…②

16'4v7

把①代入②得，元；-月=16,

則|4用一|8用=8+1_必_1=（（片-4）=；X16=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線和拋物線綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中

檔題

12

21.已知數(shù)列｛叫滿足3a角=%+彘，4=葭設(shè)"=3"q.

（1）證明:也｝為等差數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S,,.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）手.

4403

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，證明為常數(shù)，即可得到答案:

(2)求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和；

+|

【詳解】⑴3a?tl=an+^=>3"-an+1=3"-an+l^blt+l-b?=l,

???也｝為等差數(shù)列；

(2)4=3?。］=2,二.=2+(〃-1)=〃+1,

n+\

s=a+

?t+?2+""=2，g+3,(++(〃+1>/，①

.'S“=2，+3」++(〃+1)?—7r,②

3"32333"+,

221111?a21a”—i

①一②得：+