八年級下冊數(shù)學拓展訓練一

南雄一中八年級數(shù)學拓展知識訓練（一）分式1、如果abc=1,求證++=12、已知+=，則+等于多少？3、一個圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管２倍的大水管注水。向容器中注滿水的全過程共用時間t分。求兩根水管各自注水的速度。4、已知M＝、N＝，用+或－連結(jié)M、N,有三種不同的形式，M+N、M-N、N-M，請你任取其中一種進行計算，并簡求值，其中x：y=5：2（3）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，到直線的距離為，請你在旁和旁各修建一服務區(qū)、，使、、、組成的四邊形的周長最?。⑶蟪鲞@個最小值．BBAPX圖（1）YXBAQPO圖（3）BAPX圖（2）DCEBGAF4、已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于點F，交BC于點G，交DCEBGAF（1）求證：；（2）若，求AB的長．分式：一：如果abc=1,求證++=1解：原式=++=++==1二：已知+=，則+等于多少？解：+==2()=92+4+2=92（）=5=+=三：一個圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管２倍的大水管注水。向容器中注滿水的全過程共用時間t分。求兩根水管各自注水的速度。解：設小水管進水速度為x，則大水管進水速度為4x。由題意得：解之得：經(jīng)檢驗得：是原方程解?！嘈】趶剿芩俣葹?，大口徑水管速度為。四：聯(lián)系實際編擬一道關于分式方程的應用題。要求表述完整，條件充分并寫出解答過程。解略五：已知M＝、N＝，用“+”或“－”連結(jié)M、N,有三種不同的形式，M+N、M-N、N-M，請你任取其中一種進行計算，并簡求值，其中x：y=5：2。解：選擇一：，當∶=5∶2時，，原式=．選擇二：，當∶=5∶2時，，原式=．選擇三：，當∶=5∶2時，，原式=．反比例函數(shù)：一：一張邊長為16cm正方形的紙片，剪去兩個面積一定且一樣的小矩形得到一個“E”圖案如圖1所示．小矩形的長x（cm）與寬（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）“E”圖案的面積是多少？（3）如果小矩形的長是6≤x≤12cm，求小矩形寬的范圍.解：（1）設函數(shù)關系式為∵函數(shù)圖象經(jīng)過（10，2）∴∴k=20，∴（2）∵∴xy=20，∴（3）當x=6時，當x=12時，∴小矩形的長是6≤x≤12cm，小矩形寬的范圍為二：是一個反比例函數(shù)圖象的一部分，點，是它的兩個端點．111010111010ABOxy（2）請你舉出一個能用本題的函數(shù)關系描述的生活實例．解：（1）設，在圖象上，，即，，其中；（2）答案不唯一．例如：小明家離學校，每天以的速度去上學，那么小明從家去學校所需的時間．三：如圖，⊙A和⊙B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)的圖象上，則圖中陰影部分的面積等于.答案：r=1S=πr2=π四：如圖11，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點M（－2，），且P（，－2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關系式；（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；圖12圖11（3）如圖12，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．圖12圖11解：（1）設正比例函數(shù)解析式為，將點M（，）坐標代入得，所以正比例函數(shù)解析式為同樣可得，反比例函數(shù)解析式為（2）當點Q在直線DO上運動時，設點Q的坐標為，于是，而，所以有，，解得所以點Q的坐標為和（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而點P（，）是定點，所以OP的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值．因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設點Q的坐標為，由勾股定理可得，所以當即時，有最小值4，又因為OQ為正值，所以OQ與同時取得最小值，所以OQ有最小值2．由勾股定理得OP＝，所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是．五：如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與Y軸和X軸分別交于點A、點8，與反比例函數(shù)y一罟在第一象限的圖象交于點c(1，6)、點D(3，x)．過點C作CE上y軸于E，過點D作DF上X軸于F．(1)求m，n的值；(2)求直線AB的函數(shù)解析式；勾股定理：一：清朝康熙皇帝是我國歷史上對數(shù)學很有興趣的帝王．近日，西安發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學專著，其中有一文《積求勾股法》，它對“三邊長為3、4、5的整數(shù)倍的直角三角形，已知面積求邊長”這一問題提出了解法：“若所設者為積數(shù)（面積），以積率六除之，平方開之得數(shù)，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之數(shù)”．用現(xiàn)在的數(shù)學語言表述是：“若直角三角形的三邊長分別為3、4、5的整數(shù)倍，設其面積為S，則第一步：＝m；第二步：=k；第三步：分別用3、4、5乘以k，得三邊長”．（1）當面積S等于150時，請用康熙的“積求勾股法”求出這個直角三角形的三邊長；（2）你能證明“積求勾股法”的正確性嗎？請寫出證明過程．解：（1）當S=150時，k===5，所以三邊長分別為：3×5=15，4×5=20，5×5=25；（2）證明：三邊為3、4、5的整數(shù)倍，設為k倍，則三邊為3k，4k，5k，而三角形為直角三角形且3k、4k為直角邊．其面積S=（3k）·（4k）=6k2，所以k2=，k=（取正值），即將面積除以6，然后開方，即可得到倍數(shù)．二：一張等腰三角形紙片，底邊長l5cm，底邊上的高長22．5cm．現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖所示．已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是()A．第4張B．第5張C．第6張D．第7張答案：C三：如圖，甲、乙兩樓相距20米，甲樓高20米，小明站在距甲樓10米的處目測得點與甲、乙樓頂剛好在同一直線上，且A與B相距米，若小明的身高忽略不計，則乙樓的高度是米．20米20米乙CBA甲10米？米20米答案：40米四：恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世．著名的恩施大峽谷和世界級自然保護區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務區(qū)，向、兩景區(qū)運送游客．小民設計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（與直線垂直，垂足為），到、的距離之和，圖（2）是方案二的示意圖（點關于直線的對稱點是，連接交直線于點），到、的距離之和．（1）求、，并比較它們的大??；（2）請你說明的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，到直線的距離為，請你在旁和旁各修建一服務區(qū)、，使、、、組成的四邊形的周長最?。⑶蟪鲞@個最小值．BBAPX圖（1）YXBAQPO圖（3）BAPX圖（2）解:⑴圖10（1）中過B作BC⊥AP,垂足為C,則PC＝40,又AP＝10,∴AC＝30在Rt△ABC中，AB＝50AC＝30∴BC＝40∴BP＝S1＝⑵圖10（2）中，過B作BC⊥AA′垂足為C，則A′C＝50，又BC＝40∴BA'＝由軸對稱知：PA＝PA'∴S2＝BA'＝∴﹥(2)如圖10（2），在公路上任找一點M,連接MA,MB,MA'，由軸對稱知MA＝MA'∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B∴S2＝BA'為最?。?）過A作關于X軸的對稱點A',過B作關于Y軸的對稱點B'，連接A'B',交X軸于點P,交Y軸于點Q,則P,Q即為所求過A'、B'分別