2021-2022學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題含答案

2021-2022學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.在空間內(nèi)，如果兩條直線。和人沒有公共點(diǎn)，那么。與b的位置關(guān)系是.

【答案】異面或平行

【分析】由直線與直線的位置關(guān)系求解即可.

【詳解】如果兩條直線。和人沒有公共點(diǎn)，那么。與°的位置關(guān)系是異面或平行.

故答案為：異面或平行.

2.某工廠生產(chǎn)A,B,C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5,現(xiàn)用分層抽樣方法抽

出一個(gè)容量為8。的樣本，那么其中A種型號(hào)產(chǎn)品有件.

【答案】16

【分析】根據(jù)分層抽樣總體和樣本中，A型號(hào)的產(chǎn)品所占的比例相等列式求出A種型號(hào)產(chǎn)品的件數(shù).

【詳解】因?yàn)锳,B,C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品的數(shù)量之比依次為2：3:5,

2

80x------=16

所以樣本中A種型號(hào)產(chǎn)品有2+3+5件.

故答案為：16.

3.有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)，萬(wàn)為公比的等比數(shù)列，體積分別記為匕匕…，匕，則

lim(%+%+…+匕)=

8

【答案】7

【詳解】易知外，匕，…，口,…是以I為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

V8

lim陽(yáng)+匕+...+匕)=-7=三

117

所以一8

4.如果把地球看成一個(gè)球體，則地球上的北緯60°緯線長(zhǎng)和赤道長(zhǎng)的比值為.

【答案】2

【分析】作出示意圖，北緯60°緯線長(zhǎng)和赤道長(zhǎng)是兩個(gè)圓的周長(zhǎng)，其比等于半徑比.

【詳解】如圖所示，赤道圓半徑為公=0月，北緯60°圓半徑為

sin30°=

由=60°

,可得OA}R2

2%尸_r_1

所以北緯60°緯線長(zhǎng)和赤道長(zhǎng)的比值為京一R-5.

【點(diǎn)睛】本題考查球體的結(jié)構(gòu)特征，解答本題需要理解地理中緯線的概念.

5.等比數(shù)列5”｝的前〃項(xiàng)和S",S"=7"'+?,〃€N*,則實(shí)數(shù)K=.

【答案「

【分析】根據(jù)勺與S"的關(guān)系求見,再利用等比數(shù)列的定義運(yùn)算求解.

【詳解】當(dāng)〃=i時(shí),則q=B=>+i；

當(dāng)〃22時(shí)，則〃，，=S,-北=(齊+。-(K+%)=6

肚+1,〃=1

故

一二67；「

若S"｝為等比數(shù)列，且當(dāng)〃22時(shí)，467",

出6,1

—=----=/k=——

故4%+1，解得7.

故答案為：7.

6.等差數(shù)列｛%｝中，％。<°,即且知<%，使前〃項(xiàng)和S,>°的最小正整數(shù)〃=.

【答案】21

【分析】先利用條件得到4。+%<°,再利用等差數(shù)列的性質(zhì)與前〃項(xiàng)和公式得到$2。，$21的正負(fù)情

況，從而求得"=21.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為“，由4。<°,得">0,

又a”<|q<)|=一《0,所以％。+即<0,

a+a

5,()='^X20=10(alo+a,,)<0S6=%+x21=21a”>0

故-2,-2,

故使前"項(xiàng)和S，，＞°的最小正整數(shù)"=21.

故答案為：21.

7.為了解某校高二學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分

布直方圖如圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差

，則6的值為.

【分析】分別求第1,2兩組的頻數(shù)，再根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合等差、等比數(shù)列運(yùn)算求解.

【詳解】由頻率分布直方圖得組距為0.1,4.3~4.4間的頻數(shù)為100x0.1x0.1=1.

4.4~4.5間的頻數(shù)為100x0.1x0.3=3.

又前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，則公比為3,

???前3組的頻數(shù)之和為"3+9=13,

根據(jù)后6組頻數(shù)成等差數(shù)列，且共有I。。T3=87人.

27

a=—=0.27

從而4.6~4.7間的頻數(shù)最大，且為1x3,=27,所以100,

6x27+—rf=87,=6=4x27+型(-5)=78

設(shè)公差為4，則2,所以“=-5,從而2

故答案為：78.

8.若圓臺(tái)的高是4,母線長(zhǎng)為5,側(cè)面積是45兀，則圓臺(tái)的上、下底面的面積之和是.

【答案】45兀

【分析】設(shè)上下底的半徑分別為，R,由側(cè)面積公式及勾股定理列關(guān)系式求「小，由此可求圓臺(tái)

的上、下底面的面積之和.

【詳解】設(shè)上下底的半徑分別為r，R,則母線，高，R-廠構(gòu)成一個(gè)直角三角形,

母線為斜邊5,高為直角邊4,由勾股定理得及一『=3,即A=3+r,

圓臺(tái)的側(cè)面積$=W+尺）/=5兀（廠+3+r）=5兀（2r+3）=45兀，

所以廠=3,則尺=6,

所以圓臺(tái)的上、下底面的面積之和是7r(*+〃)=45兀

故答案為：457r.

%9-1V0

9.已知等比數(shù)列｛""｝的公比為4,其前〃項(xiàng)的積為Z，，且滿足％>1,%必。。-1>°,“3-1

則下列命題正確的有.(填序號(hào))

(1)。<”1；

(2)“99。101-1<°；

(3)幾。的值是。中最大的；

(4)使北>1成立的最大正整數(shù)數(shù)〃的值為198.

【答案】(1)(2)(4)

【分析】根據(jù)為“儂>1可知由《。。一1和％可確定"99>1>400,可知(1)正確;

利用等比數(shù)列性質(zhì)和°<即>。<1可知(2)正確；根據(jù)小知(3)錯(cuò)誤；根據(jù)

刀98=(。99。100)>1,小=端<1可知⑷正確.

【詳解】對(duì)于(1),,??~4的7>(),'''a"a'm>1,

...499-1<0

。⑼-1二(%9_1)("100.1)<0V“I>0^99>1>^I00

?■-0<^<|,(1)正確；

對(duì)于(2),&99"|01=。100,又0<。100<1,，"100<］,即。10。-1<°,

???。99即)1-1<°,(2)正確；

對(duì)于(3),'加0不是［中最大的，(3)錯(cuò)誤；

對(duì)于(4),九8=(%°|98)(“2al97)…(099。100)=(“99400)>1,

［緲=(%%99)(%%98)…(099alS)“100=《00<1,

???使成立的最大正整數(shù)數(shù)〃的值為198,(4)正確.

故答案為：(1)(2)(4)

H_%+2的---^2"

10.定義“一n為數(shù)列㈤｝的均值，已知數(shù)列也｝的均值乩=2"、記數(shù)列

｛"一切｝的前〃項(xiàng)和是S，，,若S，，4項(xiàng)對(duì)于任意的正整數(shù)〃恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

712

【答案】口力

【分析】因?yàn)?+24+...+2"一也=〃?2'田4+2仄+…+2"-%=(〃T)?2",從而求出a=2(?+1),可得

數(shù)列色-初｝為等差數(shù)列,記數(shù)列也一也｝為化，｝,從而將S,45對(duì)任意的?(?eN)恒成立化為C520,

C6，°,即可求得答案.

H_4+2,+…+2”?b“_2"+i

【詳解】；""〃,

...”+24+…+2f“=〃2'*|

故4+24+…+2"-25T=5-1>2"(〃之2),

...22b=n-2n+,-(n-l)-2"=(n+l)-2"

li5

則包=2(〃+1),對(duì)仇也成立，

.?.b=2(w+l)

n9

貝ija-?=(2-々)〃+2,

二數(shù)列也一""｝為等差數(shù)列，

記數(shù)列也一""｝為匕｝.

故S“*$5對(duì)任意的〃(〃€N*)恒成立河化為:％叫。640：

[5(2-4)+220712

即16(2-儲(chǔ)+2M0,解得/C5,

故答案為：35.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列的單調(diào)性，掌握判斷數(shù)列前〃項(xiàng)和最大值的

方法是解題關(guān)鍵，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.

11.如圖所示為一個(gè)半圓柱，已知E為半圓弧。上一點(diǎn)，若8=石，2DE=CE,直線力。與

2

BE所成角的正切值為§,則點(diǎn)D到平面EAB的距離是

E

【分析】由異面直線夾角的定義確定直線/。與BE所成角的平面角，由條件可求8C,再由等體積

法求點(diǎn)。到平面以8的距離.

【詳解】因?yàn)?OE=CE,又CE-DE-CDf,所以?！?1,CE=2.

因?yàn)锳D//BC,BC1平面CDE,CEu平面CDE,

所以/C8E為直線NQ與所成角，且8CLCE,

2CF

tanZCBE=-=—

即3BC,

所以8C=3,故N￡>=8C=3,

所以/E=JF+32=710,BE=V22+32=713,

10+13-59.…八7

cos——j=--^=——f—sin/AEB——/

所以2M?岳V130,V130,

=1xx/10x>/i3x-^==^=Jxlx3=|

因?yàn)?CJ_CE,AD//BC,所以ND_LCE,

又DE1.CE,=平面4QE,

所以CE_L平面NOE,

設(shè)點(diǎn)D到平面EAB的距離是〃,由等體積法得丫2=嚷3,

5/,5C￡，

F.n1^￡B-=1^D￡-

即33，所以7.

6

故答案為：7.

12.已知等差數(shù)列｛勺｝滿足:1+1。21+…+1%1=1《+1|+1。2+"+~+1?！?"=1。1一1|

+|a2-1|+-+|a?-1|=202^則正整數(shù)“的最大值為

【答案】62

k+1>o

【分析】設(shè)〃=2上丘"，等差數(shù)列的公差為"，不妨設(shè),貝產(chǎn)<°，">°,且4+14°,即

44-1,根據(jù)為“T2°,得到即有再根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，求得/”=2021,從

而得出2021*2公，即可求解.

[詳解]解:由題意知：等差數(shù)列也，｝滿足同+同+…+㈤=k+l|+L+[+…+瓦+1|

=何-1|+,2-1|+…+|?！?1|=2021

g>ok<°

故等差數(shù)列不是常數(shù)列，且｛"”｝中的項(xiàng)一定滿足或且項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，

\ak+\>。

設(shè)"=2k,keN-,等差數(shù)列的公差為d,不妨設(shè)1軟（°,

則％<0,d>0,且4+140,即％4-1,

由a*+|T2°,貝ijT+MNq+依21,即打22,

即有

則聞+同+…+|%|=_q-------4+4+i+…+

=-[%?++%（q+kd）+d=k2d=2021

,kWJ------~31.7

可得202122公，解得Y2,

即有后的最大值為31,〃的最大值為62.

故答案為：62.

二、單選題

13.“棱柱有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要D.既非充分又非必要條件

【答案】C

【分析】利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征和充分，必要條件的定義進(jìn)行求解

【詳解】若棱柱有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形，則兩側(cè)面的交線必定垂直于底面，所以該棱柱為直棱柱,

滿足充分性；

若棱柱為直棱柱，則棱柱有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形，滿足必要性；

故“棱柱有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形”是"該棱柱為直棱柱”的充要條件，

故選:C.

14.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)〃為正奇數(shù)時(shí)，x'+y"能被x+y整除，，時(shí)，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成

（）

A.假設(shè)當(dāng)"=+）時(shí)成立，再推出當(dāng)〃=2%+3時(shí)成立

B.假設(shè)當(dāng)"=）時(shí)成立，再推出當(dāng)〃=2A+1時(shí)成立

C.假設(shè)當(dāng)”=時(shí)成立，再推出當(dāng)〃=人+1時(shí)成立

D.假設(shè)當(dāng)"="（**1）時(shí)成立，再推出當(dāng)"=%+2時(shí)成立

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】第二步假設(shè)當(dāng)〃=2"1（%€N）時(shí)成立，再推出當(dāng)"=2（八1）-1=24+1時(shí)成立.

故選：B.

15.在正方體,88-48^0中，E,F,"分別為棱SC,GDCG的中點(diǎn)，尸是線段4G上的動(dòng)點(diǎn)

（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)（）

①PM

②ACJ/平面EFM

③PE與平面"BCD所成角正切值的最大值為20

④當(dāng)P位于G時(shí)，三棱錐尸-CEF的外接球體積最小

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】先判斷8。與面是否垂直，進(jìn)而判定①；

設(shè)4c交8。于。，先證明進(jìn)而判定②；

根據(jù)線面角的定義先找到線面角，進(jìn)而求出其正切的最大值，從而判定③；

取針中點(diǎn)易知為ACEF的外心，作面/8CZ）,交4G于T,則三棱錐尸-CE尸的外

接球球心。在上，進(jìn)而根據(jù)球的性質(zhì)建立等式，最后判斷答案④.

【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2.

對(duì)①，如圖1,

圖1

在正方體"SC。-MW中，連接zc,8。，^\AC1BD,CC一面”CD,所以CCJ8。，而

"CCCG=C,所以8。工面工℃4,而「Mu面”℃/,所以尸加，3。①正確；

對(duì)②，如圖2,

圖2

設(shè)/C交8。于0,則。為4c的中點(diǎn)，而M為°C的中點(diǎn)，所以而。歷交平面

EFM于"，所以"G與平面EFM不平行；

對(duì)③，如圖3,

Di

易知點(diǎn)P在面ABCD上的投影點(diǎn)N在線段AC上，則總與平面^CD所成角為APEN,

PN2

tanAPEN=——=-"八八

NENE,則當(dāng)NE最小時(shí)正切值最大，因?yàn)橥呤謩e為8C,℃的中點(diǎn)，所以

EF/IBD,EF=；BD

由于/C18D,則/CLEF,此時(shí)點(diǎn)N為點(diǎn)E在線段4c上的投影儲(chǔ)，且

cNE=-EF=-BD=—tanZPEN=—=2>/2

a為EF的中點(diǎn).所以，此時(shí)242,NE.故③正確;

對(duì)④，如圖4,

易知g為4CE尸的外心，作面/8C。，交4G于T,則三棱錐尸-CEF的外接球球心。在

*上，記外接球半徑為R,OP=OE=R,所以JM-PT2=2,

yjR2-PT2+J/?2--=2=2.IR2--=PT2+-

即,2V22,于是當(dāng)PT=°時(shí)，R最小，即外接球體積最小，

此時(shí)P,7重合.故④錯(cuò)誤.

故選：B.

16.已知數(shù)列｛"J的各項(xiàng)均不為零，a'=a,它的前〃項(xiàng)和為S，.且見,呵,“向（〃eN*）成

T,.=—+—4--+■?—1------

S[

等比數(shù)列，記S2S3S”,則（）

40444044

A.當(dāng)”=1時(shí)，2023B,當(dāng)°=1時(shí)，20222023

1011T1011

>——金22<7777

C.當(dāng)。=3時(shí)，1012D.當(dāng)。=3時(shí)，--1012

【答案】C

【分析】結(jié)合等比性質(zhì)處理得“"+2一?！?2,再分。=1和。=3分類討論，0=1時(shí)較為簡(jiǎn)單，結(jié)合裂

項(xiàng)法直接求解，當(dāng)。=3時(shí)，放縮后再采用裂項(xiàng)即可求解.

【詳解】由眄,"，向成等比數(shù)列可得，25"=%”向①，也即2s,M=%，勺+2②，②一①得

2%="（限-《,），因?yàn)椤懂a(chǎn)°,所以，%—=2,即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等

差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，2q=q-42,即。?=2,

對(duì)A、B,當(dāng)。=1時(shí)，《=1，%=2,%=3,%=4..”“=〃，此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為

(1+沙二J=20---

TJi1)=4044

當(dāng)“二2022時(shí)，2022~I2023廠2023,故人、B錯(cuò)誤;

_-2021-IrC八

q=3,%=5,%=7,…,021=3+----------x2=2023

對(duì)C、D,當(dāng)"=3時(shí),

c/+3〃

3=

%=2,%=4,…-2022,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，"2

(〃+1丫+3(〃+1)/n2+3n+2

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，-(?+1)=-2-

3=2

Sw（"+l）G+2）2

…葉”(〃+1)(〃+2)=2

所以”-2

1111

T2022=三+不+不+…一

此時(shí)5“^2022

,(111111011

>2-----1-----+,??+

(233420231012,故c正確，D錯(cuò)誤.

故選：C

三、解答題

17.某商場(chǎng)為推銷當(dāng)?shù)氐哪撤N特產(chǎn)進(jìn)行了一次促銷活動(dòng)，將派出的促銷員分成甲、乙兩個(gè)小組分別

在兩個(gè)不同的場(chǎng)地進(jìn)行促銷，每個(gè)小組各6人.以下莖葉圖記錄了這兩個(gè)小組成員促銷特產(chǎn)的件數(shù)，

且圖中甲組的一個(gè)數(shù)據(jù)已損壞，用x表示，已知甲組促銷特產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)比乙組促銷特產(chǎn)件數(shù)的

平均數(shù)少1件.

甲組乙組

9828

x43268

10411

(1)求x的值，并求甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；

(2)在甲組中任選2位促銷員，求他們促銷的特產(chǎn)件數(shù)都多于乙組促銷件數(shù)的平均數(shù)的概率.

【答案】(尸=8,第80百分位數(shù)為40；

(2)5.

【分析】(1)根據(jù)莖葉圖求出乙組促銷特產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)，進(jìn)而可得甲組平均數(shù)，由平均數(shù)可求出

x的值，再由百分位數(shù)的定義求第80百分位數(shù)；

(2)求出基本事件的總數(shù)以及2組促銷員促銷的特產(chǎn)件數(shù)都多于36包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由古

典概率公式即可求解.

28+32+36+38+41+41

----------------------=36

【詳解】(1)乙組同學(xué)促銷特產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)為6(件).

則甲組同學(xué)促銷特產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)為35件，

由28+39+34+(30+x)+40+41=6x35=210,解得x=8

將甲組同學(xué)促銷特產(chǎn)件數(shù)按從小到大排列可得2829,34,38,40,41；

因?yàn)?X80%=4.8,所以甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為其第5個(gè)數(shù)，

所以甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為40.

(2)乙組促銷特產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)為36件.

甲組同學(xué)促銷的件數(shù)分別為28,29,34,38,40,41.

若從中任取兩個(gè)數(shù)字，所有的基本事件為(2829),(28,34),(28,38),(28,40),

(28,41),(29,34),(29,38),(29,40),(29,41),(34,38),(34,40),(34,41),

(3840),(38,41),(40,41),共匕個(gè)基本事件.

其中符合條件的基本事件有(3840),(38,41),(40,41),共3個(gè)基本事件.

p——=—

所求概率為155.

18.已知。，6為兩條異面直線，a為平面，且之工兀b^a.

(1)若直線c〃。，通過直線與平面垂直的判定定理，證明c'a；

(2)用反證法證明：&la.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(I)設(shè)卬nu平面a,且加口〃=/,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得。，aln,從而得到

c_Lm,cln,即可得證；

(2)假設(shè)人與a不平行，即b與a相交，不妨設(shè)人與a相交于點(diǎn)B,過點(diǎn)8在平面a內(nèi)作直線8C,

設(shè)直線b與8c確定平面4,可以證明a〃￡,即可得到a與4重合，從而得到bua,與題設(shè)矛盾,

即可得證；

【詳解】(1)證明：因?yàn)閍,。，設(shè)mnu平面a,且加=所以aln,因?yàn)閍〃c,

所以c,加，cln,又mnu平面a,且=

所以c，平面a

(2)證明：假設(shè)方與a不平行，即人與。相交，

不妨設(shè)6與夕相交于點(diǎn)8,過點(diǎn)8在平面a內(nèi)作直線8C,

設(shè)直線6與8c確定平面尸，

因?yàn)椤發(fā)a,8Cu面a,所以a_L8C,又BCCb=B,所以■平面尸，又因?yàn)閍，a,

所以a/0,又aC"BC,所以a與用重合，即bua,與矛盾，故假設(shè)不成立，所以b〃a；

19.已知數(shù)列8力中，囚=1，°，，+|=3?！?1.

（1）求證：｛""+5｝是等比數(shù)列，并求S”｝的通項(xiàng)公式；

-尸8）（4-27；）

⑵數(shù)列也｝滿足“2向q,數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為九若不等式2〃_5一”+2成

立的自然數(shù)〃恰有4個(gè)，求正整數(shù)義的值.

3"-1

【答案】（1）證明見解析，&一??；

（2）4.

%+弓=3|

【分析】（1）構(gòu)造2I2人根據(jù)等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式即可求解；

b=n_2n-5

（2）"-2",利用錯(cuò)位相減法求出］，，故幾+8-2-'成立的自然數(shù)〃恰有4個(gè)，當(dāng)〃=1，2時(shí)，不

2"-5

等式顯然成立，故當(dāng)“23時(shí)，不等式成立的自然數(shù)〃恰有2個(gè).令'”"Ek,根據(jù)其單調(diào)性即可

求解.

【詳解】⑴因?yàn)閝=L”向

4+L2%，，+；］

4+

又22,所以12J是等比數(shù)列,瀉

3〃一1

=

所以2.

(2)

T..=--H——+…-I-------T=—―H—-+…+--

所以"2'222",2"22232向，

1111n1n〃+2

-l=—+—+...+-------=]-------=1------

兩式相減，得2"2'222"2向2"2"+|2"+|,

zl<(A+8)(4-27；,)

因?yàn)槲宥?？—一^2―成立的自然數(shù)〃恰有4個(gè)，

A<2+8

即不？一產(chǎn)成立的自然數(shù)〃恰有4個(gè)，

由于幾為正整數(shù)，當(dāng)〃=1，2時(shí)，不等式顯然成立，

故當(dāng)〃23時(shí)，不等式成立的自然數(shù)〃恰有2個(gè)，

4<2〃-5_2/7-5

即2+8-2“T成立的自然數(shù)”恰有2個(gè)，令c”一下丁，

_277-32〃-5_-2n+7<0

則%”-%一下尸_2"<,所以化)嚴(yán)格減，

2,345

----s°4=----->q=-

所以；1+88,且2+816,

40-24

—〈aV—

解得115,故正整數(shù)％的值為4.

20.在四棱錐尸-N8CZ)中，底面/8C￡>為正方形，平面以。，平面/BCD,點(diǎn)M在線段尸8上,

「。//平面M4C,P4=PD.

(1)判斷M點(diǎn)在尸8的位置并說明理由；

DK

(2)記直線。M與平面PZC的交點(diǎn)為K,求的值；

旦

(3)若異面直線CW與/P所成角的余弦值為7,求二面角旭-8-力的平面角的正切值.

【答案】(1)M為尸8中點(diǎn)，理由見解析

DK、

---二2

(2)KM

⑶§或9

【分析】(1)連接8。交ZC于O,連OM,由平面平行的性質(zhì)可得答案;

(2)連接OP,則K=°PcOW,可得點(diǎn)火為△尸8。重心，由三角形重心的性質(zhì)，可得答案；

(3)取力。中點(diǎn)連接P”，HB,取，8中點(diǎn)G,連接MG,GC,可得MG〃PH,取力8中點(diǎn)

N,可知MN〃PA,或其補(bǔ)角就是異面直線a/與/尸所成角，由面面垂直的性質(zhì)可得

尸，，平面/8CZ),平面/8CZ),令「〃=，，AD=2,由余弦定理可得CG,在直角

△MCG中，求出CM,2,由余弦定理得cosNCMN,從而得到3「-28/+25=0,解方

程求出乙過G作GQ'CO交于。，連接知0,可得CQL平面〃G。，CD上MQ,在直角

&MQG中可得tanZ.MQG

【詳解】(1)連接8。交NC于O,連接O/W,

因?yàn)镻。//平面M/C,OMu平面P8。，

平面M4Cc平面PBD=OM,則PD//OM,

又因?yàn)?。?D中點(diǎn)，所以加1為尸8中點(diǎn).

(2)如圖所示，連接OP,則平面尸/。門平面P￡>8=P°,K=OPcDM,

因?yàn)?。?。的中點(diǎn)，M為。8的中點(diǎn)，所以點(diǎn)K為△尸3。重心，

DKc

------=2

由三角形重心的性質(zhì)，可得KW.

(3)取中點(diǎn)H,連接PH,HB,取48中點(diǎn)G,連接MG,GC,可得MG〃PH.

取N8中點(diǎn)N,連接A/N,NC,可知MN〃/

所以NCA/N或其補(bǔ)角就是異面直線CM與4P所成角，如圖所示,

因?yàn)槠矫媸?，平面ABCD,平面尸/Oc平面ABCD=AD,

又PA=PD,所以「，，/。，

所以「，，平面488,因此平面令P"=f,AD=2,

,MG=-PH=-t

由P"〃/G,且M為尸8的中點(diǎn)，可得22,

BG=—cosZCBG=—CG=—

在A8CG中，可得8c=2,2,5,由余弦定理，可得2,

CM=yJCG2+MG2

在直角^MCG中,

MN=-PA=

又由“，N分別是P8,48的中點(diǎn)，可得2

CM2+MN-CN。

cosZCMN=

所以2cM?MN

25在

解得3〃-28*+25=0,解得”=1或石，即/=1或3,

過G作GQ-LC。交°于0,連接歷0,由MG1C。，且GQnMQ,

可得平面MGQ,所以

所以NMQG就是所求二面角的平面角，如圖所示,

在直角中，可得G033或9

21.對(duì)于數(shù)列｛4｝：4、4、4、…、4,若不改變4,僅改變4、4、…、4,中部分項(xiàng)的符

號(hào)(可以都不改變)，得到的新數(shù)列｛%｝稱為數(shù)列｛4｝的一個(gè)生成數(shù)列，如僅改變數(shù)列1、2、3、

4、5的第二、三項(xiàng)的符號(hào)，可以得到一個(gè)生成數(shù)列：1、-2、-3、4、5.已知數(shù)列｛%｝為數(shù)列

，的生成數(shù)列，S“為數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和.

(1)寫出號(hào)的所有可能的值；

—=3%+1

(kwN)

(2)若生成數(shù)列四"的通項(xiàng)公式為2”,求S,；

(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于給定的“eN*,S，的所有可能值組成的集合為

xx=2^?__1,機(jī)eN,,m<2"'1

=3%+1(%eN)

￡357=34+2

【答案】(I)冬、般豆、豆；(2)(3)證明見解析.

【分析】(D根據(jù)生成數(shù)列定義，可知當(dāng)"=3時(shí)，"'一5,%、的分別為一兄、-京中取值，由此

給出｛"/的所有可能的情況，即可計(jì)算出$3的所有可能值；

——”—1

一環(huán)，*3"+1