一階偏微分方程基本知識(shí)

一階偏微分方程基本知識(shí)這一章我們來(lái)討論一階線性偏微分方程和一階擬線性偏微分方程(1.1)12n(1.2),y),n,y),nnn|dx=n12 在第三章中，已經(jīng)介紹過(guò)方程組(1.3)通解的概念和求法。分”的概念和性質(zhì)，以及用首次積分方法來(lái)求解方程組(1.3)的問(wèn)dx=yx(x2+y21),dy=xy(x2+y21).dtdt 到dtdt2xy1(1.5)C為積分常數(shù)。(1.5)叫做(1.4)的首次積分。1注意首次積分(1.5)的左端V(x,y,t)作為x，y，和t的函數(shù)并不1(1.4)是一個(gè)二階方程組，一個(gè)首次積分(1.5)不足以確定它的解。為了確定(1.4)的解，還需要找到另外一個(gè)首次積分。將第一式兩端同乘y，第二式兩端同乘x，然后用第一式減去第dtdt即dtdt(y) (x(y) (x)得x2x(1.6)其中C為積分常數(shù)。2利用首次積分(1.5)和(1.6)可以確定(1.4)的通解。為此，采用極坐標(biāo)x=rcos9,y=rsin9，這樣由(1.5)和(1.6)推得或r=r1,9=C–t.1因此我們得到方程組(1.4)的通解為xx1(1.7)例2求解微分方程組(1.8)y=2.y1，可得dtdtdt1(1.9)1dtdtdt2(1.10)其中積分常數(shù)C>0。有了首次積分(1.9)和(1.10)，我們就可以2將u和v用w表示，代入原方程組(1.8)的第三式，得到==(1.11)12y(b-y)y(a-y)A=a(a-b)>0,B=b(a-b)>0.注意(1.11)是變量可分離方程，分離變量并積分得到第三個(gè)首次(1.12)其中C是積分常數(shù)。因?yàn)榉匠探M(1.8)是三階的，所以三個(gè)首次積3分(1.9)、(1.10)和(1.12)在理論上足以確定它的通解123123123但是由于在式(1.12)中出現(xiàn)了橢圓積分，因此不能寫(xiě)出上述通解現(xiàn)在我們考慮一般的n階常微分方程dxi12n(1.13)其中右端函數(shù)f(x,y,y,…,y)在D仁Rn+1內(nèi)對(duì)(x,y,y,,y)連續(xù)，而且i12n12n12n定義1設(shè)函數(shù)V=V(x,y,y,,y)在D的某個(gè)子域G內(nèi)連續(xù)，而12n且對(duì)x,y,y,,y是連續(xù)可微的。又設(shè)V(x,y,y,,y)不為常數(shù)，但沿12n12n著微分方程(1.3)在區(qū)域G內(nèi)的任意積分曲線1122nn12n或當(dāng)(x,y,y,,y)=T時(shí)，有12nV(x,y,y,,y)=常數(shù)，12n積分曲線T而定，則稱(chēng)Vxyyy)=C12n(1.14)為微分方程(1.13)在區(qū)域G內(nèi)的首次積分。其中C是一個(gè)任意常數(shù)，有時(shí)也稱(chēng)這里的函數(shù)V(x,y,y,,y)為(1.13)的首次積分。12n例如(1.5)和(1.6)都是微分方程(1.4)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的首次積分。這里對(duì)區(qū)域G有限制，是要求首次積分(1.5)和(1.6)不能有包含原點(diǎn)的回路。同理，式(1.9)、(1.10)和(1.12)都是方程(1.8)的首次積分。對(duì)于高階微分方程(1.1)，只要做變換(1.2)，就可以把它化n可以寫(xiě)為(1.15) dt2用dx乘方程的兩端，可得dtdt2dt，，(x,y,y,,y)=C(1.16)是微分方程(1.13)在區(qū)域G內(nèi)的首次積分的充分必要條件是???+f++f=0????x?y1?yn1n (1.17) 這個(gè)定理實(shí)際上為我們提供了一個(gè)判別一個(gè)函數(shù)是否是微分方程(1.13)首次積分的有效方法。因?yàn)楦鶕?jù)首次積分的定義，為了Gn我們需要知道(1.13)在G內(nèi)的所有積分曲線。這在實(shí)際上是由困定理2若已知微分方程(1.13)的一個(gè)首次積分(1.14)，則可以把微分方程(1.13)降低一階。設(shè)微分方程組(1.13)有n個(gè)首次積分i12ni(1.18)n(1.19) ，定理3設(shè)已知微分方程(1.13)的n個(gè)相互獨(dú)立的首次積分(1.18)，則可由它們得到(1.13)在區(qū)域G內(nèi)的通解(1.20)其中Ciii12，nn了微分方程(1.13)在G內(nèi)的所有解。001n00微分方程(1.13)在區(qū)域G內(nèi)有n個(gè)相互獨(dú)立的首次積分。0定理5微分方程(1.13)最多只有n個(gè)相互獨(dú)立的首次積分。定理6設(shè)(1.18)是微分方程(1.13)在區(qū)域G內(nèi)的n個(gè)相互獨(dú)立的首次積分，則在區(qū)域G內(nèi)微分方程(1.13)的任何首次積分12n可以用(1.18)來(lái)表達(dá)，亦即,y),n,y),nn12h是某個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)。為了求首次積分，也為了下一節(jié)的應(yīng)用，人們常把方程組(1.3) dydydydx12nn12n,y),nn212(1.21)并設(shè)Y,Y,,Y在區(qū)域G仁Rn內(nèi)部不同時(shí)為零，例如如果設(shè) 12n Y0,則(1.21)等價(jià)于n(1.22)y)ny)nnn12。nni知函數(shù)，所以在方程組(1.21)中只有n--1個(gè)未知函數(shù)，連同自變 不難驗(yàn)證，對(duì)于系統(tǒng)(1.21)，定理1相應(yīng)地改寫(xiě)為：設(shè)函數(shù)(y,y,,y)連續(xù)可微，并且不恒等于常數(shù)，則(y,y,,y)=C是n12n(1.21)的首次積分的充分必要條件是關(guān)系式Y(jié)(y,y,,y)?(y,y,n?y121,y)+n+Y(y,y,n12,y)?(y,y,n?y12nn(1.)則將它們聯(lián)立，就得到(1.21)的通積分。yxzx2y2=C1(1.24)其中C是任意常數(shù)，再用比例的性質(zhì)，得1d(x+y)dz (x+y)=z，，，(1.25)2x2y2=C，x+y=Cz.12例4求dx=dy=dz的通積分。性質(zhì)，可以得到====212d2yd2z即d(dzdy)d(dzdy)dzdyy–z=C,dtdt1(1.26)這里C是任意常數(shù)，用類(lèi)似的方法，可以得到1dxdzz-x=C,dtdt2dydxdtdt3.x-dtdt3.其中C,C都是任意常數(shù)。分別用x、y、z乘(1.26)，(1.27)和23(1.28)的兩邊，然后三式相加，得到23(1.29)位于(1.29)所表示的平面內(nèi)。因此二體問(wèn)題的軌跡是一條平面曲(1.32)yx得d2xd2ydt2dt2即d(dydx)d(dydx)dydxx_y=B，dtdtd9。r2=B。dt(1.33)設(shè)B豐0，則由(1.32)和(1.33)解得drr2A2a(B)2drr2A2a(B)2aa(1.34)(Ba)arccos|r-B|=9-9.|編|0 ()0B2B。a0a(1.35)AB始條件r,dr,和d9確定。t=0dtdt如果B=0(即d9=0)，則由(1.33)知d9=0,9(t)等于常數(shù)，dtdt這個(gè)例子說(shuō)明，雖然二體問(wèn)題的解x=x(t)和y=y(t)沒(méi)有求出112n?x212n?xn12n?x2ni12n?xi=1i 12n12n 1n 有 i12ni=1 注意微分方程組(2.1)是線性齊次的。 對(duì)于偏微分方程組(2.1),我們考慮一個(gè)對(duì)稱(chēng)形式的常微分方dxdxdx(2.3)它叫做(2.1)的特征方程，注意特征方程(2.3)是一個(gè)(n-1)階i12ni(2.4)我們的目的是通過(guò)求(2.3)的首次積分來(lái)求(2.1)的解。(2.1)的i12ni12n112n212nn-112n證明設(shè)v(x,x,,x)=C12n(2.6)是方程(2.3)的一個(gè)首次積分。因?yàn)楹瘮?shù)A12n所以在局部鄰域內(nèi)不妨設(shè)A(x,x,,x)豐0，這樣特征方程(2.3)等n12n(dxA(x,,x)(2.7)因此(2.6)也是(2.7)的一個(gè)首次積分，從而有恒等式?xA?x?xA?xni=1nii1n?xii (2.8) 這就證明了(非常數(shù))函數(shù)Q(x,x,,x)為方程(2.3)的一個(gè)首次12nxx12n程(2.3)的一個(gè)首次積分的充要條件是u=Q(x,x,,x)為偏微分方12n程(2.1)的一個(gè)(非常數(shù))解。因?yàn)?2.4)是微分方程(2.3)的n-1個(gè)獨(dú)立的首次積分，所以根據(jù)首次積分的理論得知，對(duì)于任意連續(xù)可微的(非常數(shù))n-1元函數(shù)C，就是(2.3)的一個(gè)首次積分。因此，相應(yīng)的函數(shù)(2.5)是偏微分方程(2.1)的一個(gè)解。反之，設(shè)u=u(x,x,,x)是偏微分方程(2.1)的一個(gè)(非常數(shù))12n解，則u(x,x,,x)=C是特征方程(2.3)的一個(gè)首次積分，因此，12n1n-11212nn-112成立，即偏微分方程(2.1)的任何非常數(shù)解可以表示成(2.5)的 另外，如果允許C是常數(shù)，則(2.5)顯然包括了方程(2.1)的因此，公式(2.5)表達(dá)了偏微分方程組(2.1)的所有解，也就是?x?x?x?x(2.9)個(gè)首次積分為(2.10)解原偏微分方程(2.10)的特征方程為==,xyz由=xy得x-y=C;1==yyz 其中?為任意二元可微的函數(shù)，可由邊值條件確定,因?yàn)? (2),4 (2),4 (2)4代入(2.11)式，得到=.nax212naxn12naxnax212naxn12naxBxxxunn1n1(2.12)ni12n齊次”是指存在不含未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的自由項(xiàng)B(xx2ni2,x)?u=B(x,x,n?x012n112ni (2.13) 相比較，顯然式擬線性方程(2.12)比線性方程(2.12)更廣泛。我們將求解(2.12)的問(wèn)題化成求解線性齊次方程的問(wèn)題，設(shè)2n是(2.12)的隱函數(shù)形式的解，且?V豐0，則根據(jù)隱函數(shù)微分法得?V?x?Vii?u(2.14)將(2.14)代入(2.12)中，經(jīng)過(guò)整理得A(x,x,x,u)?V+A(x,x,,x,u)?V+112n?x212n?x12n12n?x12n?un(2.15)Vxx…x2n2nV(xx…x2n反過(guò)來(lái)，假設(shè)函數(shù)V(xx…xu)是(2.15)的解，且12n?u則由(2.15)和(2.14)可以推出由方程122n,x)是方程(2.12)的解。這樣求解方程n(2.12)的問(wèn)題就化成了求解(2.15)的問(wèn)題。為了求解(2.15)，dxdxdxdu112n212nn12n12n(2.16)式(2.16)可化為n個(gè)常微分方程，求得它的n個(gè)首次積分為i12ni就得到(2.15)的通解為12n112n212n12n(2.17)定理設(shè)函數(shù)A(x,x,x;u)(i=1,2,n)和B(x,x,x;u)在區(qū)域i12n12n12n012nn n?u?u的一個(gè)隱式解。反之(x,x,,x;u)是(2.12)的一個(gè)隱式解，并且12