高中數(shù)學(xué)人教版教材講解(整數(shù)值隨機數(shù)的產(chǎn)生)課件

整數(shù)值隨機數(shù)的產(chǎn)生知識是橋,思想是河金秋十月，橋都水城，紹興，…….當(dāng)筆者動手寫這篇文字時，眼前一直浮現(xiàn)著紹興會議結(jié)束時夜游紹興環(huán)城河的情景.可在腦海與心靈的深處，卻交織地出現(xiàn)著：橋，河；知識，思想.紹興環(huán)城河上，聳立著一座座不同形式的橋.橋是那樣的美麗，河是那樣的迷人.橋是重要的，沒有了橋，有些地方就連不起來.但是，如果沒有河，是否會有橋呢？橋通常連接兩個地方，但河卻流經(jīng)許多的橋.站在橋上，可以看到一處風(fēng)景.但如果在河里游走，不僅可以看到很多的橋，還能領(lǐng)略一處處美景.在數(shù)學(xué)里，也有很多的“橋”，但更有一條條生動的“河”.因而數(shù)學(xué)教學(xué)的過程，應(yīng)該使學(xué)生不僅在一座座知識的“橋”上走，還要在思想的“河”中游.帶著上述心情，筆者以在浙江紹興召開的“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法教學(xué)設(shè)計研究”課題組第五次課題會議中的研究課《(整數(shù)值)隨機數(shù)的產(chǎn)生》（以下簡稱《隨機數(shù)》），并結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)歷談一些基本認識.其中的核心觀點是：教學(xué)設(shè)計的本質(zhì)就是對如何幫助學(xué)生建“知識之橋”修“思想之河”進行深入思考.對教學(xué)內(nèi)容進行解析時，不僅要對教學(xué)內(nèi)容的意義進行正確的分析，更要分析當(dāng)前內(nèi)容在整個數(shù)學(xué)中的地位與作用，充分重視當(dāng)前內(nèi)容與學(xué)生已學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系.同時，要認識到具體的數(shù)學(xué)知識總是與一定的數(shù)學(xué)思想與方法聯(lián)系在一起，在對內(nèi)容的解析過程中，要有“知識是橋，思想是河”的境界.一、內(nèi)容與內(nèi)容解析在《隨機數(shù)》一課中，具體的數(shù)學(xué)知識是（整數(shù)值）隨機數(shù).在進行內(nèi)容解析時，當(dāng)然要弄清什么是隨機數(shù)，什么是偽隨機數(shù)，但這樣還不夠，更重要的還要弄清為什么要學(xué)習(xí)隨機數(shù)，為什么要用計算機產(chǎn)生偽隨機數(shù)來代替隨機數(shù).

有了產(chǎn)生隨機數(shù)（或偽隨機數(shù)）的方法，并沒有解決用模擬試驗來估計隨機事件的概率問題.因此，了解蒙特卡羅（MonteCarlo）方法，并用蒙特卡羅方法計算一些隨機事件的概率的估計值就成為必要的學(xué)習(xí)內(nèi)容.在利用蒙特卡羅方法計算概率的估計值時，對于一次次試驗結(jié)果的統(tǒng)計是一件非常麻煩的事情，這正好是利用算法解決問題的絕好機會，也是對學(xué)生進行算法思想熏陶的好時機.

因此，《隨機數(shù)》一課宜從具體案例出發(fā)，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)隨機數(shù)的必要性.同時，在利用蒙特卡羅方法計算隨機事件的概率的估計值時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生寫出算法步驟或畫出程序框圖，有條件時還可以編出程序讓計算機（器）計算概率的估計值.在本節(jié)課里，隨機數(shù)是“橋”，蒙特卡羅方法與算法思想是“河”.二、目標(biāo)與目標(biāo)解析

有些教學(xué)內(nèi)容，就其本身而言不一定是數(shù)學(xué)中的核心概念，但通過這些內(nèi)容所體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想與方法是主要的教學(xué)目標(biāo)，也就是教學(xué)的重點.《隨機數(shù)》一課中，根據(jù)內(nèi)容與內(nèi)容解析，我們認為教學(xué)目標(biāo)應(yīng)為：（１）明確（整數(shù)值）隨機數(shù)及偽隨機數(shù)的概念；（２）會用信息技術(shù)工具產(chǎn)生（整數(shù)值）隨機數(shù)（實際上是偽隨機數(shù)）；（３）通過具體案例理解蒙特卡羅方法（隨機模擬方法），能針對具體的隨機事件設(shè)計概率模型，并通過蒙特卡羅方法得出隨機事件的概率的估計值.（４）在信息技術(shù)環(huán)境下，通過算法解決大量重復(fù)模擬試驗中的數(shù)據(jù)統(tǒng)計問題，實現(xiàn)計算隨機事件的概率的估計值，并由此進一步體會隨機模擬方法與算法思想.隨機數(shù)的概念與產(chǎn)生方法不是什么難事，也不是主要的教學(xué)目標(biāo).但通過具體案例理解蒙特卡羅方法，并用算法的思想實現(xiàn)計算隨機事件的概率的估計值這個過程是主要的教學(xué)目標(biāo)，即教學(xué)重點.三、教學(xué)問題診斷分析一節(jié)課中可能遇到的教學(xué)問題，往往是結(jié)合教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)來確定的.教師只要對照教學(xué)目標(biāo)，分析學(xué)生已有基礎(chǔ)和目標(biāo)之間的差異，結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗就能得出教學(xué)中可能出現(xiàn)的障礙，也就是一個個應(yīng)該注意的教學(xué)問題，而教學(xué)中突出教學(xué)重點時可能遇上的困難，通常就是教學(xué)的難點.學(xué)生上《隨機數(shù)》一課前，曾利用隨機數(shù)表進行過隨機抽樣，但那時并沒有體會什么是隨機數(shù)，也沒有追究隨機數(shù)（表）是怎樣產(chǎn)生的.因此，用類似于摸球這樣的具體案例讓學(xué)生理解隨機數(shù)的概念，并將其與用計算機產(chǎn)生的偽隨機數(shù)區(qū)別開來，同時又能在隨機模擬試驗中用偽隨機數(shù)來代替所需的隨機數(shù)，就成為了第一個教學(xué)問題.學(xué)生學(xué)習(xí)過古典概型，已經(jīng)會計算可列舉基本事件的屬古典概型的隨機事件的概率.但對于很難列舉全部基本事件的古典概型或非古典概型中的隨機事件（如概率為40％的下雨事件），建立什么樣的概率模型來進行模擬，通過怎樣的步驟來進行隨機模擬試驗，這是第二個教學(xué)問題，也是教學(xué)難點之一.在隨機模擬試驗中，需要用計算機（或計算器）不斷重復(fù)地產(chǎn)生隨機數(shù)，并根據(jù)隨機數(shù)進行頻數(shù)統(tǒng)計，這是一項非常麻煩的事情.如果不研究蒙特卡羅方法中所涉及的算法，那么很難使學(xué)生對隨機模擬方法有較深刻的理解.同時，要使通過蒙特卡羅方法所得到的隨機事件的概率的估計值更精確，就必須使隨機模擬試驗的次數(shù)相當(dāng)大，這靠人工統(tǒng)計的方法是辦不到的.因此，如何通過算法使學(xué)生更好地體會蒙特卡羅方法是第三個教學(xué)問題，這是教學(xué)難點之二.四、教學(xué)支持條件信息技術(shù)是《隨機數(shù)》一課的重要支持條件，無論是隨機數(shù)的產(chǎn)生，還是根據(jù)蒙特卡羅方法設(shè)計算法求隨機事件的概率的估計值，都離不開有隨機函數(shù)的計算器（或計算機）．上本節(jié)課時，最好是能使學(xué)生人手一臺既有隨機函數(shù)又能編程、操作簡單的計算器（如TIVoyage200或TI92PLUS圖形計算器），這樣能更方便地實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).

當(dāng)學(xué)生有了符合上述要求的計算器后，使得隨機數(shù)的產(chǎn)生變得方便快捷，學(xué)生有更多的時間來關(guān)注蒙特卡羅方法的本質(zhì)，能讓學(xué)生在算法思想的指導(dǎo)下更好地體會隨機模擬試驗的過程.

教學(xué)時，只需根據(jù)學(xué)校條件，選擇一種能實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的信息技術(shù)工具即可，要避免在一節(jié)課上利用多種信息技術(shù)工具去產(chǎn)生隨機數(shù)，否則，學(xué)生要用較多時間學(xué)習(xí)工具的使用，不便于突出教學(xué)重點，會妨礙解決主要的教學(xué)問題.五、教學(xué)過程設(shè)計由于《隨機數(shù)》一課的操作性強，需要學(xué)生動手的時間多，在算法思想指導(dǎo)下體會蒙特卡羅方法也需要一定的過程，因此，教學(xué)過程中設(shè)計的問題針對性要強，數(shù)量不宜過多.根據(jù)前面幾個方面的分析，筆者認為可以設(shè)計如下的一些問題.【問題１】天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，這三天中恰有兩天下雨的概率是多少？意圖：上課時一開始就給出這節(jié)課的主要問題，一方面是使學(xué)生從“每一天下雨的概率均為40%”認識到非古典概型的客觀存在性，同時感受到這不是一個用已經(jīng)學(xué)過的知識就能解決的問題，為引入隨機數(shù)及蒙特卡羅方法作鋪墊；另一方面，激發(fā)學(xué)生探求解決問題的欲望，使整個教學(xué)過程都圍繞這個問題展開.師生活動：教師提出問題后讓學(xué)生思考，啟發(fā)學(xué)生認識到下雨這件事情不好試驗，每天下雨的概率也不能用已學(xué)過的古典概型來求解.【問題２】將一個骰子擲1次，向上一面出現(xiàn)1點的概率是多少？如果將一個骰子擲1000次，向上一面出現(xiàn)1點的次數(shù)大約是多少？如果通過試驗的方法，要估計（擲一個骰子1次）向上一面出現(xiàn)1點的概率，你會怎么做？意圖：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)古典概型；體會用試驗方法求出隨機事件出現(xiàn)的頻率，并以此來估計概率的方法；認識到人工試驗耗時費事，并由此引出隨機數(shù)的概念，介紹用計算器產(chǎn)生偽隨機數(shù)的方法.師生活動：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)古典概型的基本特征，總結(jié)用頻率估計概率的步驟.（2）教師指出擲一個骰子1次，骰子向上一面的點數(shù)就是一個隨機數(shù)，由此給出隨機數(shù)的概念.教師讓學(xué)生思考此處隨機數(shù)的變化范圍.（3）教師啟發(fā)學(xué)生認識到一個骰子擲1000次是一件不容易實現(xiàn)的事情，由此介紹用計算器（以TIVoyage200為例，下同）中的隨機函數(shù)rand(6)產(chǎn)生1-6的整數(shù)值（偽）隨機數(shù)的方法（見下圖）.（4）學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，利用隨機函數(shù)產(chǎn)生隨機數(shù)的方法，編出計算“一個骰子擲1000次，向上一面出現(xiàn)1點”的頻率的程序，并讓計算器計算頻率，將所得頻率與用古典概型計算所得的概率進行比較.從所得的頻率，我們知道1000次試驗中大約有161次是1點向上.【問題３】在一個盒子中裝有形狀大小完全一樣，但分別標(biāo)有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的十個球.（1）從盒子中隨機摸一球，球上所標(biāo)的數(shù)字是什么？（2）從盒子中隨機摸一球，球上所標(biāo)的數(shù)字不超過3的概率是多少？（3）如果用試驗的方法去估計（2）中的概率，具體步驟怎樣？（4）如果用計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來模擬解決（3）的過程，你會怎樣做？意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷用蒙特卡羅方法來估計古典概型中隨機事件的概率的過程，體會在算法思想指導(dǎo)下，用蒙特卡羅方法計算概率估計值的重要意義.師生活動：（1）學(xué)生認識到從盒子中隨機摸一球，球上所標(biāo)的數(shù)字是隨機數(shù).（2）學(xué)生利用古典概型，計算出從盒子中隨機摸一球，球上所標(biāo)的數(shù)字不超過3的概率是0.4.（3）教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出用試驗的方法去估計（2）中的概率的算法步驟.第一步，確定試驗的總次數(shù)n.第二步，記i=1，m=0.第三步，從盒子中摸出一球，若球上所標(biāo)的數(shù)字不超過3，則m=m+1.第四步，i=i+1.第五步，判斷i≤n是否成立.若是，則返回第三步.第六步，輸出概率的估計值m/n.（4）教師引導(dǎo)學(xué)生分析得出結(jié)論：如果用計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來模擬解決（3）的過程，只需將上述步驟中的第三步改為：用隨機函數(shù)rand(10)-1產(chǎn)生隨機數(shù)x，若x≤3,則m=m+1.師生一起根據(jù)算法步驟寫出程序，并用計算器實現(xiàn)模擬過程（見下圖）.【問題４】問題1中的“每一天下雨的概率均為40%”是不好試驗的，但由問題3我們知道“從標(biāo)有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的十個球中隨機摸出一球，球上所標(biāo)的數(shù)字不超過3的概率也是40%”，這個屬古典概型的摸球過程不僅可以試驗，而且還可以通過計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來模擬試驗.你能設(shè)計一個算法解決問題1嗎？意圖：使學(xué)生在解決前面問題的基礎(chǔ)上，完整地體會蒙特卡羅方法，進一步體會算法思想的應(yīng)用，徹底解決問題1.師生活動：（1）教師：如果從十個球中摸出一球，球上的數(shù)字是0，1，2，3中的任何一個就表示下雨，否則就表示不下雨，那么摸一次球就等于模擬一次今后三天中一天的天氣情況.因此，連續(xù)三天的天氣情況就相當(dāng)于有放回地摸三次球所對應(yīng)的數(shù)字的情況，如果連續(xù)摸出的三個球的數(shù)字是392，就表明未來三天中恰有兩天下雨.根據(jù)這個原理，同學(xué)們可以設(shè)計一下模擬過程，并寫出估計所求概率的算法.（2）給學(xué)生思考與探索時間，然后與學(xué)生一起寫出算法步驟：第1步，輸入模擬試驗的次數(shù)n，并令m=0，i=1．第2步，a=0，j=1.第3步，利用計算器上的隨機函數(shù)rand(10)-1產(chǎn)生一個0～9的隨機數(shù)并賦值給x．若x≤3,則a=a+1．第4步，j=j+1．第5步，判斷j>3是否成立.若否,返回第三步．第6步，判斷a=2是否成立,若是,則m=m+1．第7步，i=i+1.判斷i>n是否成立,若否，則返回第二步．第8步，由頻率m/n得出三天恰有兩天下雨的概率的近似值.（3）師生一起畫出程序框圖，并根據(jù)程序框圖編出程序（如下圖）（4）師生均將圖7中的程序輸入到自己計算器上，運算得出概率的估計值（如下圖）（5）重復(fù)運行上述程序，逐漸增大模擬試驗的次數(shù)n，通過觀察每次運行程序后所得結(jié)果，使學(xué)生認識到所求概率的估計值的近似程度是隨著n的增大而提高的.（6）教師利用Excel軟件畫出模擬試驗次數(shù)從1到100的頻率分布折線圖，讓學(xué)生從圖中體會到，隨機模擬所得估計值的近似程度是隨著試驗次數(shù)的增加而提高的.（7）教師結(jié)合問題1的解決過程，介紹蒙特卡羅方法及其應(yīng)用的廣泛性.蒙特卡羅（MonteCarlo）方法，又稱隨機抽樣或統(tǒng)計試驗方法，屬于計算數(shù)學(xué)的一個分支，它是在本世紀(jì)四十年代中期為了適應(yīng)當(dāng)時原子能事業(yè)的發(fā)展而發(fā)展起來的.傳統(tǒng)的經(jīng)驗方法由于不能逼近真實的物理過程，很難得到滿意的結(jié)果，而蒙特卡羅方法由于能夠真實地模擬實際物理過程，故解決問題與實際非常符合，可以得到很圓滿的結(jié)果.這也是我們采用該方法的原因.蒙特卡羅方法的基本原理及思想如下：當(dāng)所要求解的問題是某種事件出現(xiàn)的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，它們可以通過某種“試驗”的方法，得到這種事件出現(xiàn)的頻率，或者這個隨機變數(shù)的平均值，并用它們作為問題的解.這就是蒙特卡羅方法的基本思想.蒙特卡羅方法通過抓住事物運動的幾何數(shù)量和幾何特征，利用數(shù)學(xué)方法來加以模擬，即進行一種數(shù)字模擬實驗.它是以一個概率模型為基礎(chǔ)，按照這個模型所描繪的過程，通過模擬實驗的結(jié)果，作為問題的近似解.本節(jié)課所涉及的內(nèi)容應(yīng)用蒙特卡羅方法的基本步驟如下：第一步，構(gòu)造概率模型（在本節(jié)里是古典概型，今后還會有幾何概型等等）；第二步，進行模擬試驗（通常是利用計算器或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)來表示某個隨機事件發(fā)生或不發(fā)生）；第