誤差理論的基本知識

誤差理論的基本知識第一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一誤差:（Error)Δ（真誤差）：觀測值L與真值X的差值。

Δ=L–X真值X：反映一個量真正大小的絕對準(zhǔn)確的數(shù)值。1、誤差的概念概述第二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一觀測誤差產(chǎn)生的原因人為因素----觀測者感覺器官的鑒別力的局限儀器因素----測量儀器與測量方法給觀測結(jié)果帶來誤差客觀環(huán)境----客觀環(huán)境給觀測結(jié)果帶來的影響第三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一誤差的分類粗差(AppreciableArror)

：由測量人員粗心大意或儀器故障所造成的差錯，稱為粗差。系統(tǒng)誤差(RegularError)

：在相同的觀測條件下，對某一量進行多次的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。偶然誤差(IrregularError)

：在相同的觀測條件下，對某一量進行多次的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面上看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”。第四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一偶然誤差的統(tǒng)計特性在相同的觀測條件下，獨立地觀測了817個三角形的全部內(nèi)角。由于觀測結(jié)果中存在著偶然誤差，三角形的三個內(nèi)角觀測值之和不等于三角形內(nèi)角和的理論值（真值）。設(shè)三角形內(nèi)角和的真值為X，觀測值為Li，則三角形內(nèi)角和的真誤差（或簡稱誤差）為Δi=Li-X（i一1，2，…n）對于每個三角形來說，Δi是每個三角形內(nèi)角和的真誤差，Li是每個三角形三個內(nèi)均觀測值之和，X為180°。現(xiàn)將817個真誤差按每0.5″為一區(qū)間，以誤差值的大小及其正負(fù)號，分別統(tǒng)計出在各誤差區(qū)間內(nèi)的個數(shù)v，及相對個數(shù)v／817。

第五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一Δi=Li-X(i=1,2,…,n)第六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一偶然誤差的概率分布偶然誤差分布曲線σ2:方差σ:標(biāo)準(zhǔn)差StandardError第七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一Δi=Li-X(i=1,2,…,n)

偶然誤差的特性有界性：聚中性：對稱性：抵償性：第八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一σ對偶然誤差分布曲線形狀的影響f(Δ)ΔO0.6830.683σ愈小，曲線頂點愈高，誤差分布比較密集；反之較離散。第九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一

當(dāng)觀測次數(shù)愈來愈多，誤差出現(xiàn)在各個區(qū)間的相對個數(shù)的變動幅度就愈來愈小。當(dāng)n具有足夠大時，誤差在各個區(qū)間出現(xiàn)的相對個數(shù)就趨于穩(wěn)定。當(dāng)觀測次數(shù)足夠多時，如果把誤差的區(qū)間間隔無限縮小，則圖中各長方形頂邊所形成的折線將變成一條光滑曲線，稱為誤差分布曲線。其方程（稱概率密度）為式中參數(shù)δ是觀測誤差的標(biāo)準(zhǔn)差（方根差或均方根差）

第十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一評定精度的指標(biāo)在一定的觀測條件下進行一組觀測，它對應(yīng)著一定的誤差分布。如果該組誤差值總的說來偏小些，即誤差分布比較密集，則表示該組觀測質(zhì)量好些，這時標(biāo)準(zhǔn)差σ的值也較小；反之，如果該組誤差值偏大，即誤差分布比較分散，則表示該組觀測質(zhì)量差些，這時標(biāo)準(zhǔn)差的值也就較大。因此，一組觀測誤差所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差值的大小，反映了該組觀測結(jié)果的精度。所以在評定觀測精度時，可用該組誤差所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差σ的值。第十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一1、中誤差在測量工作中，觀測個數(shù)總是有限的，為了評定精度，一般采用下述公式：第十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例：設(shè)對某個三角形用兩種不同的精度分別對它進行了10次觀測，試求這兩組觀測值的中誤差。第十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一2、平均誤差在測量工作中，對于評定一組同精度觀測值的精度來說，為了計算上的方便或別的原因，在某些精度評定時也采用下述精度指標(biāo)：θ稱為平均誤差，它是誤差絕對值的平均值。第十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一3、或然誤差在某些國家，也有將一組誤差按其絕對值的大小順序排列，取居中的一個誤差值作為精度指標(biāo)，并稱為或然誤差，以ρ表示，在誤差理論中可以證明，對于同一組觀測誤差來說，當(dāng)n→∞時，求得的中誤差m、平均誤差θ和或然誤差ρ之間都有一定的數(shù)量關(guān)系。第十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一4、相對中誤差對于評定精度來說，有時利用中誤差還不能反映測量的精度。為此，利用中誤差與觀測值的比值，即mi／Li來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。相對中誤差都要求寫成分子為1的分式，即1／N。上例為即前者的精度比后者高。

第十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一在實際工作中有許多未知量不能直接觀測而求其值，需要由觀測值間接計算出來。例如某未知點B的高程HB，是由起始點A的高程HA加上從A點到B點間進行了若干站水準(zhǔn)測量而得來的觀測高差h1……h(huán)n求和得出的。這時未知點B的高程H。是各獨立觀測值的函數(shù)。那么如何根據(jù)觀測值的中誤差去求觀測值函數(shù)的中誤差呢？闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。10-4誤差傳播定律

第十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一一、倍數(shù)的函數(shù)設(shè)有函數(shù)：Z為觀測值的函數(shù)，K為常數(shù)，X為觀測值，已知其中誤差為mx，求Z的中誤差mZ。第十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一即，觀測值與常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測值中誤差乘常數(shù)。

第十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例：在1：500比例尺地形圖上，量得A、B兩點間的距離SAB=23.4mm，其中誤差msab=土0.2mm，求A、B間的實地距離SAB及其中誤差msAB。解：SAB=500*Sab=500X23.4=11700mm=11.7m得msAB＝500*mSab＝500*（士0.2）=±100mm最后答案為SAB=11.7m±0.1m第二十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一設(shè)有函數(shù)：Z為x、y的和或差的函數(shù)，x、y為獨立觀測值，已知其中誤差為mx、my，求Z的中誤差mZ。設(shè)x、y和z的真誤差分別為△x、△y和△z則二、和或差的函數(shù)第二十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一由于Δx、Δy均為偶然誤差，其符號為正或負(fù)的機會相同，因為Δx、Δy為獨立誤差，它們出現(xiàn)的正、負(fù)號互不相關(guān)，所以其乘積ΔxΔy也具有正負(fù)機會相同的性質(zhì)，在求［ΔxΔy］時其正值與負(fù)值有互相抵消的可能；當(dāng)n愈大時，上式中最后一項［ΔxΔy］/n將趨近于零，即求和，并除以n，得

第二十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一將滿足上式的誤差Δx、Δy稱為互相獨立的誤差，簡稱獨立誤差，相應(yīng)的觀測值稱為獨立觀測值。對于獨立觀測值來說，即使n是有限量，由于式殘存的值不大，一般就忽視它的影響。根據(jù)中誤差定義，得即，兩觀測值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測值中誤差的平方之和。第二十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)z是一組觀測值X1、X2…Xn代數(shù)和（差）的函數(shù)時，即可以得出函數(shù)Z的中誤差平方為式中mxi是觀測值xi的中誤差。n個觀測值代數(shù)和（差）的中誤差平方，等于n個觀測值中誤差平方之和。第二十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例：設(shè)用長為L的卷尺量距，共丈量了n個尺段，已知每尺段量距的中誤差都為m，求全長S的中誤差ms。解：因為全長S=L＋L＋……＋Ll（式中共有n個L）。而L的中誤差為m。量距的中誤差與丈量段數(shù)n的平方根成正比。第二十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例：以30m長的鋼尺丈量90m的距離，當(dāng)每尺段量距的中誤差為±5mm時，全長的中誤差為第二十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)使用量距的鋼尺長度相等，每尺段的量距中誤差都為mL，則每公里長度的量距中誤差mKm也是相等的。當(dāng)對長度為S公里的距離丈量時，全長的真誤差將是S個一公里丈量真誤差的代數(shù)和，于是S公里的中誤差為式中，S的單位是公里。即：在距離丈量中，距離S的量距中誤差與長度S的平方根成正比。第二十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例：為了求得A、B兩水準(zhǔn)點間的高差，今自A點開始進行水準(zhǔn)測量，經(jīng)n站后測完。已知每站高差的中誤差均為m站，求A、B兩點間高差的中誤差。解：因為A、B兩點間高差hAB等于各站的觀測高差hi（i=l，2…n）之和，即hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn

即，水準(zhǔn)測量高差的中誤差，與測站數(shù)n的平方根成正比。

第二十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一

當(dāng)水準(zhǔn)路線通過平坦地區(qū)時，每公里的水準(zhǔn)測量高差的中誤差可以認(rèn)為相同，設(shè)為mkm。當(dāng)A、B兩點間的水準(zhǔn)路線為S公里時，A、B點間高差的中誤差為即，水準(zhǔn)測量高差的中誤差與距離S的平方根成正比。例如，已知用某種儀器，按某種操作方法進行水準(zhǔn)測量時，每公里高差的中誤差為±20mm，則按這種水準(zhǔn)測量進行了25km后，測得高差的中誤差為

或第二十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一設(shè)有線性函數(shù)：則有例設(shè)有線性函救觀測量的中誤差分別為，求Z的中誤差三、線性函救第三十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一四、一般函數(shù)當(dāng)xi具有真誤差Δ時，函數(shù)Z相應(yīng)地產(chǎn)生真誤差Δz。這些真誤差都是一個小值，由數(shù)學(xué)分析可知，變量的誤差與函數(shù)的誤差之間的關(guān)系，可以近似地用函數(shù)的全微分來表達。第三十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一式中（i=l，2…n）是函數(shù)對各個變量所取的偏導(dǎo)數(shù)，以觀測值代人所算出的數(shù)值，它們是常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)可為：第三十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一

例：設(shè)有某函數(shù)z=S·sinα式中S=150.11m，其中誤差ms=士005m；α=119°45′00″，其中誤差mα=20.6″；求z的中誤差mz。解：因為z=S·sinα，所以z是S及a的一般函數(shù)。第三十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一求觀測值函數(shù)的精度時，可歸納為如下三步：1）按問題的要求寫出函數(shù)式：2）對函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測值真誤差之間的關(guān)系式：式中，是用觀測值代入求得的值。3）寫出函數(shù)中誤