湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2018年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的,請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng),本大題共12個(gè)小題,每小題3分,共36分)1．（3.00分）﹣2的相反數(shù)是（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．2．（3.00分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2017年長沙市地區(qū)生產(chǎn)總值約為10200億元，經(jīng)濟(jì)總量邁入“萬億俱樂部”，數(shù)據(jù)10200用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.102×105 B．10.2×103 C．1.02×104 D．1.02×1033．（3.00分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3=a5 B．3 C．（x2）3=x5 D．m5÷m3=m24．（3.00分）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm5．（3.00分）下列四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．6．（3.00分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．7．（3.00分）將下列如圖的平面圖形繞軸l旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是（）A． B． C． D．8．（3.00分）下列說法正確的是（）A．任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上B．天氣預(yù)報(bào)說“明天的降水概率為40%”，表示明天有40%的時(shí)間都在降雨C．“籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，投中”為隨機(jī)事件D．“a是實(shí)數(shù)，|a|≥0”是不可能事件9．（3.00分）估計(jì)+1的值是（）A．在2和3之間 B．在3和4之間 C．在4和5之間 D．在5和6之間10．（3.00分）小明家、食堂、圖書館在同一條直線上，小明從家去食堂吃早餐，接著去圖書館讀報(bào)，然后回家，如圖反映了這個(gè)過程中，小明離家的距離y與時(shí)間x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．根據(jù)圖象，下列說法正確的是（）A．小明吃早餐用了25minB．小明讀報(bào)用了30minC．食堂到圖書館的距離為0.8kmD．小明從圖書館回家的速度為0.8km/min11．（3.00分）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國市制長度單位，1里=500米，則該沙田的面積為（）A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米12．（3.00分）若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，拋物線y=ax2+ax﹣2a總不經(jīng)過點(diǎn)P（x0﹣3，x02﹣16），則符合條件的點(diǎn)P（）A．有且只有1個(gè) B．有且只有2個(gè) C．有且只有3個(gè) D．有無窮多個(gè)與x軸交于A，C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)），B是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣ac），記“十字形”ABCD的面積為S，記△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面積分別為S1，S2，S3，S4．求同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的拋物線的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周長為12．

2018年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的,請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng),本大題共12個(gè)小題,每小題3分,共36分)1．（3.00分）﹣2的相反數(shù)是（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得答案．【解答】解：﹣2的相反數(shù)是2，故選：C．2．（3.00分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2017年長沙市地區(qū)生產(chǎn)總值約為10200億元，經(jīng)濟(jì)總量邁入“萬億俱樂部”，數(shù)據(jù)10200用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.102×105 B．10.2×103 C．1.02×104 D．1.02×103【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：10200=1.02×104，故選：C．3．（3.00分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3=a5 B．3 C．（x2）3=x5 D．m5÷m3=m2【分析】直接利用合并同類項(xiàng)法則以及冪的乘方運(yùn)算法則、同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則分別計(jì)算得出答案．【解答】解：A、a2+a3，無法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、3﹣2=，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、（x2）3=x6，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、m5÷m3=m2，正確．故選：D．4．（3.00分）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm【分析】結(jié)合“三角形中較短的兩邊之和大于第三邊”，分別套入四個(gè)選項(xiàng)中得三邊長，即可得出結(jié)論．【解答】解：A、∵5+4=9，9=9，∴該三邊不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、8+8=16，16＞15，∴該三邊能組成三角形，故此選項(xiàng)正確；C、5+5=10，10=10，∴該三邊不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、6+7=13，13＜14，∴該三邊不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．5．（3.00分）下列四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．6．（3.00分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，解不等式2x﹣4≤0，得：x≤2，則不等式組的解集為﹣2＜x≤2，將解集表示在數(shù)軸上如下：故選：C．7．（3.00分）將下列如圖的平面圖形繞軸l旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)面動(dòng)成體以及圓臺(tái)的特點(diǎn)進(jìn)行逐一分析，能求出結(jié)果．【解答】解：繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圓臺(tái)，故選：D．8．（3.00分）下列說法正確的是（）A．任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上B．天氣預(yù)報(bào)說“明天的降水概率為40%”，表示明天有40%的時(shí)間都在降雨C．“籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，投中”為隨機(jī)事件D．“a是實(shí)數(shù)，|a|≥0”是不可能事件【分析】直接利用概率的意義以及隨機(jī)事件的定義分別分析得出答案．【解答】解：A、任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上，錯(cuò)誤；B、天氣預(yù)報(bào)說“明天的降水概率為40%”，表示明天有40%的時(shí)間都在降雨，錯(cuò)誤；C、“籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，投中”為隨機(jī)事件，正確；D、“a是實(shí)數(shù)，|a|≥0”是必然事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．9．（3.00分）估計(jì)+1的值是（）A．在2和3之間 B．在3和4之間 C．在4和5之間 D．在5和6之間【分析】應(yīng)先找到所求的無理數(shù)在哪兩個(gè)和它接近的整數(shù)之間，然后判斷出所求的無理數(shù)的范圍．【解答】解：∵32=9，42=16，∴，∴+1在4到5之間．故選：C．10．（3.00分）小明家、食堂、圖書館在同一條直線上，小明從家去食堂吃早餐，接著去圖書館讀報(bào)，然后回家，如圖反映了這個(gè)過程中，小明離家的距離y與時(shí)間x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．根據(jù)圖象，下列說法正確的是（）A．小明吃早餐用了25minB．小明讀報(bào)用了30minC．食堂到圖書館的距離為0.8kmD．小明從圖書館回家的速度為0.8km/min【分析】根據(jù)函數(shù)圖象判斷即可．【解答】解：小明吃早餐用了（25﹣8）=17min，A錯(cuò)誤；小明讀報(bào)用了（58﹣28）=30min，B正確；食堂到圖書館的距離為（0.8﹣0.6）=0.2km，C錯(cuò)誤；小明從圖書館回家的速度為0.8÷10=0.08km/min，D錯(cuò)誤；故選：B．11．（3.00分）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國市制長度單位，1里=500米，則該沙田的面積為（）A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米【分析】直接利用勾股定理的逆定理進(jìn)而結(jié)合直角三角形面積求法得出答案．【解答】解：∵52+122=132，∴三條邊長分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形，∴這塊沙田面積為：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故選：A．12．（3.00分）若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，拋物線y=ax2+ax﹣2a總不經(jīng)過點(diǎn)P（x0﹣3，x02﹣16），則符合條件的點(diǎn)P（）A．有且只有1個(gè) B．有且只有2個(gè) C．有且只有3個(gè) D．有無窮多個(gè)【分析】根據(jù)題意可以得到相應(yīng)的不等式，然后根據(jù)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，拋物線y=ax2+ax﹣2a總不經(jīng)過點(diǎn)P（x0﹣3，x02﹣16），即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可以解答本題．【解答】解：∵對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，拋物線y=ax2+ax﹣2a總不經(jīng)過點(diǎn)P（x0﹣3，x02﹣16），∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）∴（x0+4）≠a（x0﹣1）∴x0=﹣4或x0=1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）故選：B．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分)13．（3.00分）化簡：=1．【分析】根據(jù)分式的加減法法則：同分母分式加減法法則：同分母的分式想加減，分母不變，把分子相加減計(jì)算即可．【解答】解：原式==1．故答案為：1．14．（3.00分）某校九年級(jí)準(zhǔn)備開展春季研學(xué)活動(dòng)，對(duì)全年級(jí)學(xué)生各自最想去的活動(dòng)地點(diǎn)進(jìn)行了調(diào)查，把調(diào)查結(jié)果制成了如下扇形統(tǒng)計(jì)圖，則“世界之窗”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為90度．【分析】根據(jù)圓心角=360°×百分比計(jì)算即可；【解答】解：“世界之窗”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角=360°×（1﹣10%﹣30%﹣20%﹣15%）=90°，故答案為90．15．（3.00分）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A′（﹣2，3）向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度，那么平移后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（1，1）．【分析】直接利用平移的性質(zhì)分別得出平移后點(diǎn)的坐標(biāo)得出答案．【解答】解：∵將點(diǎn)A′（﹣2，3）向右平移3個(gè)單位長度，∴得到（1，3），∵再向下平移2個(gè)單位長度，∴平移后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A′的坐標(biāo)是：（1，1）．故答案為：（1，1）．16．（3.00分）擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)，擲得面朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是．【分析】先統(tǒng)計(jì)出偶數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式解答．【解答】解：正方體骰子共六個(gè)面，點(diǎn)數(shù)為1，2，3，4，5，6，偶數(shù)為2，4，6，故點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率為=，故答案為：．17．（3.00分）已知關(guān)于x方程x2﹣3x+a=0有一個(gè)根為1，則方程的另一個(gè)根為2．【分析】設(shè)方程的另一個(gè)根為m，根據(jù)兩根之和等于﹣，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為m，根據(jù)題意得：1+m=3，解得：m=2．故答案為：2．18．（3.00分）如圖，點(diǎn)A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，OD的延長線交BC于點(diǎn)C，則∠OCB=50度．【分析】由圓周角定理易求∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)切線的性質(zhì)定理可得∠OBC=90°，進(jìn)而可求出求出∠OCB的度°°【解答】解：∵∠A=20°，∴∠BOC=40°，∵BC是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，∴∠OBC=90°，∴∠OCB=90°﹣40°=50°，故答案為：50．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小題6分，第22、23題每小題6分，第25、26題每小題6分，共66分。解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)19．（6.00分）計(jì)算：（﹣1）2018﹣+（π﹣3）0+4cos45°【分析】本題涉及零指數(shù)冪、乘方、二次根式化簡和特殊角的三角函數(shù)值4個(gè)考點(diǎn)．在計(jì)算時(shí)，需要針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．【解答】解：原式=1﹣2+1+4×=1﹣2+1+2=2．20．（6.00分）先化簡，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣．【分析】首先計(jì)算完全平方，計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，然后再合并同類項(xiàng)，化簡后，再代入a、b的值，進(jìn)而可得答案．【解答】解：原式=a2+2ab+b2+ab﹣b2﹣4ab=a2﹣ab，當(dāng)a=2，b=﹣時(shí)，原式=4+1=5．21．（8.00分）為了了解居民的環(huán)保意識(shí)，社區(qū)工作人員在光明小區(qū)隨機(jī)抽取了若干名居民開展主題為“打贏藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)”的環(huán)保知識(shí)有獎(jiǎng)問答活動(dòng)，并用得到的數(shù)據(jù)繪制了如圖條形統(tǒng)計(jì)圖（得分為整數(shù)，滿分為10分，最低分為6分）請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查一共抽取了50名居民；（2）求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；（3）社區(qū)決定對(duì)該小區(qū)500名居民開展這項(xiàng)有獎(jiǎng)問答活動(dòng)，得10分者設(shè)為“一等獎(jiǎng)”，請(qǐng)你根據(jù)調(diào)查結(jié)果，幫社區(qū)工作人員估計(jì)需準(zhǔn)備多少份“一等獎(jiǎng)”獎(jiǎng)品？【分析】（1）根據(jù)總數(shù)=個(gè)體數(shù)量之和計(jì)算即可；（2）根據(jù)平均數(shù)、總數(shù)、中位數(shù)的定義計(jì)算即可；（3）利用樣本估計(jì)總體的思想解決問題即可；【解答】解：（1）共抽?。?+10+15+11+10=50（人），故答案為50；（2）平均數(shù)=（4×6+10×7+15×8=11×9+10×10）=8.26；眾數(shù)：得到8分的人最多，故眾數(shù)為8．中位數(shù)：由小到大排列，知第25，26平均分為8分，故中位數(shù)為8分；（3）得到10分占10÷50=20%，故500人時(shí)，需要一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品500×20%=100（份）．22．（8.00分）為加快城鄉(xiāng)對(duì)接，建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對(duì)A、B兩地間的公路進(jìn)行改建．如圖，A、B兩地之間有一座山．汽車原來從A地到B地需途徑C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？（2）開通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：≈141，≈1.73）【分析】（1）過點(diǎn)C作AB的垂線CD，垂足為D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，進(jìn)而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，進(jìn)而求出汽車從A地到B地比原來少走多少路程．【解答】解：（1）過點(diǎn)C作AB的垂線CD，垂足為D，∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，∴CD=BC?sin30°=80×（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），答：開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米；（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC?cos30°=80×（千米），∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米），∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），∴汽車從A地到B地比原來少走多少路程為：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．答：汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千米．23．（9.00分）隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，東方紅商場決定開展“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動(dòng)，對(duì)部分品牌粽子進(jìn)行打折銷售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元？（2）陽光敬老院需購買甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，問打折后購買這批粽子比不打折節(jié)省了多少錢？【分析】（1）設(shè)打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根據(jù)“打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)節(jié)省錢數(shù)=原價(jià)購買所需錢數(shù)﹣打折后購買所需錢數(shù)，即可求出節(jié)省的錢數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．（2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120=3640（元）．答：打折后購買這批粽子比不打折節(jié)省了3640元．24．（9.00分）如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延長線于點(diǎn)E，BC=8，AD=3．（1）求CE的長；（2）求證：△ABC為等腰三角形．（3）求△ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離．【分析】（1）證明AD為△BCE的中位線得到CE=2AD=6；（2）通過證明△ABD≌△CAD得到AB=AC；（3）如圖，連接BP、BQ、CQ，先利用勾股定理計(jì)算出AB=5，設(shè)⊙P的半徑為R，⊙Q的半徑為r，在Rt△PBD中利用勾股定理得到（R﹣3）2+42=R2，解得R=，則PD=，再利用面積法求出r=，即QD=，然后計(jì)算PD+QD即可．【解答】（1）解：∵AD是邊BC上的中線，∴BD=CD，∵CE∥AD，∴AD為△BCE的中位線，∴CE=2AD=6；（2）證明：∵BD=CD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△CAD，∴AB=AC，∴△ABC為等腰三角形．（3）如圖，連接BP、BQ、CQ，在Rt△ABD中，AB==5，設(shè)⊙P的半徑為R，⊙Q的半徑為r，在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R=，∴PD=PA﹣AD=﹣3=，∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，∴?r?5+?r?8+?r?5=?3?8，解得r=，即QD=，∴PQ=PD+QD=+=．答：△ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離為．25．（10.00分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=（m為常數(shù)，m＞1，x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（m，1）和Q（1，m），直線PQ與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)M（x，y）是該函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為A，B．（1）求∠OCD的度數(shù)；（2）當(dāng)m=3，1＜x＜3時(shí)，存在點(diǎn)M使得△OPM∽△OCP，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）當(dāng)m=5時(shí)，矩形OAMB與△OPQ的重疊部分的面積能否等于4.1？請(qǐng)說明你的理由．【分析】（1）想辦法證明OC=OD即可解決問題；（2）設(shè)M（a，），由△OPM∽△OCP，推出==，由此構(gòu)建方程求出a，再分類求解即可解決問題；（3）不存在分三種情形說明：①當(dāng)1＜x＜5時(shí)，如圖1中；②當(dāng)x≤1時(shí)，如圖2中；③當(dāng)x≥5時(shí)，如圖3中；【解答】解：（1）設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，則有，解得，∴y=﹣x+m+!，令x=0，得到y(tǒng)=m+1，∴D（0，m+1），令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0），∴OC=OD，∵∠COD=90°，∴∠OCD=45°．（2）設(shè)M（a，），∵△OPM∽△OCP，∴==，∴OP2=OC?OM，當(dāng)m=3時(shí)，P（3，1），C（4，0），OP2=32+12=10，OC=4，OM=，∴=，∴10=4，∴4a4﹣25a2+36=0，（4a2﹣9）（a2﹣4）=0，∴a=±，a=±2，∵1＜a＜3，∴a=或2，當(dāng)a=時(shí)，M（，2），PM=，CP=，≠（舍棄），當(dāng)a=2時(shí)，M（2，），PM=，CP=，∴==，成立，∴M（2，）．（3）不存在．理由如下：當(dāng)m=5時(shí)，P（5，1），Q（1，5），設(shè)M（x，），OP的解析式為：y=x，OQ的解析式為y=5x，①當(dāng)1＜x＜5時(shí)，如圖1中，∴E（，），F(xiàn)（x，x），S=S矩形OAMB﹣S△OAF﹣S△OBE=5﹣?x?x﹣??=4.1，化簡得到：x4﹣9x2+25=0，△＜O，∴沒有實(shí)數(shù)根．②當(dāng)x≤1時(shí)，如圖2中，S=S△OGH＜S△OAM=2.5，∴不存在，③當(dāng)x≥5時(shí)，如圖3中，S=S△OTS＜S△OBM=2.5，∴不存在，綜上所述，不存在．26．（10.00分）我們不妨約定：對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”．（1）①在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有菱形，正方形；②在凸四邊形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，則該四邊形不是“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如圖1，A，B，C，D是半徑為1的⊙O上按逆時(shí)針方向排列的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，當(dāng)6≤AC2+BD2≤7時(shí)，求OE的取值范圍；（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0，c＜0）與x軸交于A，C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)），B是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣ac），記“十字形”ABCD的面積為S，記△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面積分別為S1，S2，S3，S4．求同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的拋物線的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周長為12．【分析】（1）利用“十字形”的定義判斷即可；（2）先判斷出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，進(jìn)而判斷出∠