數(shù)學統(tǒng)計隨機變量的統(tǒng)計描述

數(shù)學統(tǒng)計隨機變量的統(tǒng)計描述第一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六隨機變量:

把表示試驗所有可能結果看成一個變量的取值,記為字母X、Y、Z…概率分布:隨機變量的取值與其概率值之間的對應關系.離散變量:

可取值能一個一個列出來的變量

擲幣結果連續(xù)變量:

可取值能充滿一個區(qū)間的變量

正常人體溫值第二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六3.1

隨機變量及其分布一.

離散變量

二.常見離散變量的概率分布

1.

二項分布2.泊松分布

離散變量的概率函數(shù)概率分布分布函數(shù)第三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六定義3-3

設離散變量

X∈{x1,…,xn,…}，則

稱為

X的概率函數(shù).一.

離散變量(k=1,2,…,n,…)注：表示事件，表示事件的概率函數(shù)關系事件該事件發(fā)生的概率第四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六表示方法：（概率分布表）（概率分布圖）

O——統(tǒng)稱為離散變量的概率分布第五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六例

某藥檢所從送檢的10件藥品抽檢3件,若送檢的藥品有2件失效,試列出檢得失效藥品件數(shù)X的概率分布。解X的所有取值為0，1，2第六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六定義3-3

事件

的概率稱為隨機變量X的分布函數(shù)，記為F(x),即注(1)

分布函數(shù)可以求

X

在一定取值范圍內的概率

(2)

對于離散變量，有第七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六二.常見離散變量的概率分布

1.二項分布隨機試驗：貝努里(Bernoulli)試驗如擲幣（正面和背面）、射擊（擊中與不中）動物試驗（存活與死亡）、藥物療效（有效與無效）化驗結果（陽性與陰性）對立性：每次試驗的結果只可能是A或獨立性：每次試驗結果互不影響，重復進行，且第八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六思考：已知進行n次貝努里試驗，每次試驗時事件A

發(fā)生的概率均為p,設X表示n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則P(X=k)=?

(k=0,…,n)例

某藥治某病的治愈率為p，求治5例有3例治愈的概率A={治愈},B={治5例愈3例},

第九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六定義

(二項分布)

隨機變量X的概率函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布,記為其中，注：第十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六例

據(jù)報道10%的人對某藥有腸道反應，5人服用此藥，①若報道屬實，求無人有腸道反應的概率解：A={有腸道反應}，若報道屬實，則P(A)＝0.1，

5人服藥有腸道反應的人數(shù)X～B(k,5,0.1)

P(X＝0)＝C90×0.10×0.95＝0.59049②若有多于2人出現(xiàn)腸道反應，試說明此藥質量

P(X＞2)＝1-F(2)=0.0086

概率0.0086很小,說明事件{X＞2}出現(xiàn)可能性很小，事件{X＞2}出現(xiàn),可認為10%的人有腸道反應的報道是值得懷疑的。第十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六思考：在貝努里試驗中，若n很大，p很小時，如何求

P(X=k)？

如：n=100，p=0.01，k=10時，

P(X=10)=Cnkpk(1-p)n-k第十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六注：1.貝努里試驗n≥50,p≤0.1,A出現(xiàn)次數(shù)X～P(k,λ)2.若n,

p已知，取λ＝np，表示一次試驗中A

平均發(fā)生的次數(shù)2.泊松分布

大量貝努里試驗中,P(A)=p很小,稱稀有事件概型

定義

泊松分布～第十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六例3-3

某種彩票每周開獎一次，每次中大獎的概率為十萬分之一(),(1)若你每周買一張彩票，堅持買了10年(一年52周)，試求你至少中一次大獎的概率?(2)若你每周買10張彩票，堅持買了20年，你至少中一次大獎的概率？解（1）每周買一張彩票，10年共買了520張，設X表示中大獎次數(shù)，則X~B(520,)因為n很大，p較小，可近似看成泊松分布第十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六解（2）每周買10張彩票，20年共買了10400張，設X表示中大獎次數(shù)，則X~B(10400,)因為n很大，p較小，可近似看成泊松分布第十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六3.1

隨機變量及其分布(二)一.連續(xù)變量

二.常見連續(xù)變量的概率分布

1.正態(tài)分布2.標準正態(tài)分布

連續(xù)變量的概率密度函數(shù)分布函數(shù)3.頻率分布表和頻率分布圖第十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六一.

連續(xù)變量

定義：X為連續(xù)變量,若存在非負可積函數(shù)f(x),滿足

則稱

f(x)為X的概率密度函數(shù).第十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六1.幾何意義：X落在a,b之間的概率為

表示密度曲線下方從a到b

的曲邊梯形面積.注：第十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六為連續(xù)變量X的分布函數(shù).定義.設X為連續(xù)變量，稱性質1.F(x)

3.

幾何意義:

等于曲線與x軸間平面圖形在點x處左邊部分的面積。第十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六二

連續(xù)變量的概率分布許多微小獨立因素綜合作用,稱為隨機誤差概型.

應用模型：例如

(1)正常人的血壓值也不完全相同；

(2)同一批號的中成藥丸的重量精確來說也不完全相同.1.

正態(tài)分布第二十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六定義.

若隨機變量X的概率密度函數(shù)為其中，則稱X服從參數(shù)為和的

正態(tài)分布.記為：其分布函數(shù)為：～第二十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六為一條“中間大、兩頭小、兩側對稱”特點的曲線

對稱軸拐點拐點例

X～N(1.4,0.25)，求P(1<X<2)1.密度曲線為單峰鐘形2.峰點3.拐點x第二十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六2標準正態(tài)分布

定義2

N(0,1)

稱為標準正態(tài)分布

1.密度曲線是關于縱軸對稱的單峰鐘形2.峰點(0,0.4)3.拐點(±1,0.24)

密度函數(shù)：分布函數(shù)：第二十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六3.利用密度曲線對稱性：

-xx0計算：1.標準正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)，查統(tǒng)計用表2

思考：如何轉換正態(tài)分布為標準正態(tài)分布呢？練習：2.密度函數(shù)第二十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六～定理2

可構成標準正態(tài)變量：稱u式為標準化變換式～注

1.可用于計算第二十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六例3-4：某高校高考采用標準化計分方法，并認為考生成績近似服從正態(tài)分布，如果該省的本科生錄取率為42.8%，問該省本科生錄取分數(shù)線應該劃定在多少分數(shù)線上？第二十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六例已知

，X以95%概率落入μ對稱區(qū)間(2)

用于求正常值范圍即，求m值X的95%正常值范圍(μ-1.96σ,μ+1.96σ),(μ±1.96σ)

同理：X的99%正常值范圍(μ-2.58σ,μ+2.58σ),(μ±2.58σ)

95%正常值范圍21±1.96×2.3=(16.5，25.5)(mm)某人脈幅在范圍外則可懷疑異常,失誤概率不超過5%

某地區(qū)成年男子正常脈振幅X(mm)～

第二十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六3.頻率分布表和頻率分布圖493488483490454435412437334495519549525553585632395415451453485481490497503436547524551598400418441451487481492497505512537522554385402411439448490466467498507517546532575593404431446441480465482498505515542536573429443449485468481500510505544534578524449451470470478502512503544525568415458458487471476502517507549524564569541534498515497473475480456456490410461454470473478493514512541544558554378531500509495483470485417500517503534546416520例某地148名正常人血糖數(shù)據(jù)（單位mmol/l),分析其分布規(guī)律.⑴血糖數(shù)據(jù)最大值為632，最小值為334第二十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六⑵把包含血糖數(shù)據(jù)的區(qū)間等分為8至15個小區(qū)間(10個)

區(qū)間寬度d=(632-334)/10=29.8≈30⑶記錄各小區(qū)間內血糖數(shù)據(jù)的頻數(shù)及計算頻率(頻率分布表）組序①組距d＝30②頻數(shù)m③頻率fn④頻率密度fn/d⑤1～36210.67570.02252～39221.35140.04503～422128.10810.27034～4521610.81080.36045～4822818.91890.63066～5123926.35140.87847～5422617.56760.58568～5721711.48650.38299～60264.05410.135110～63210.67570.0225合計148100第二十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六⑷以小區(qū)間長為底、相應頻率（或頻率密度)為高作矩形，稱為樣本的直方圖

直方圖上緣形成一條“中間大、兩頭小、兩側對稱”的正態(tài)特點曲線第三十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六3.2

隨機變量的趨勢描述一.隨機變量的數(shù)字特征

1.

隨機變量的總體均數(shù)（數(shù)學期望）

2.

隨機變量的方差二.隨機變量的相對標準差（變異系數(shù)）第三十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六1.總體均數(shù)

例設X表示某人射擊成績.共射擊N次，其中求該人的平均成績.第三十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六頻率有權衡樣本值地位的作用,上述平均值是以頻率為權數(shù)的加權平均.第三十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六意義：均數(shù)描述隨機變量的集中趨勢，反映隨機變量總體的平均水平，也稱為總體均數(shù).

性質：在C為常數(shù)，X、Y為隨機變量時，1.E(C)＝C，2.E(CX)＝CEX，3.E(X±Y)＝EX±EY

4.E(XY)=EX*EY(X,Y獨立）定義3-9

X為離散變量,概率分布為X為連續(xù)變量,(k=1,2,…,n,…)第三十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六例中韓兩隊進行射箭比賽，所得分數(shù)分別記為X和Y，概率分布分別為試評定他們成績的好壞.第三十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六例

甲、乙兩名藥工包裝同一散劑，稱量每次所包裝的各包散劑的重量(g)分別用X、Y表示,如何評定甲乙兩個藥工的稱量技術？

重量(g)P(X＝k)P(Y＝k)480.10.2490.10.2500.60.2510.10.2520.10.2甲稱量的平均克數(shù)為

EX＝48×0.1＋49×0.1＋50×0.6

＋51×0.1＋52×0.1＝50g乙稱量的平均克數(shù)為EY＝48×0.2＋49×0.2＋50×0.2

＋51×0.2＋52×0.2＝50g只有隨機變量的均數(shù)EX不足以完全評價甲、乙兩藥工的稱量技術的高低，還必須考慮隨機變量的取值偏離均數(shù)EX的程度.

第三十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六定義3-11

離差平方的均數(shù)稱X的方差，記為

DX＝E(X－EX)2

方差DX的算術平方根稱為標準差意義：方差描述隨機變量的取值與均數(shù)的離散程度,反映隨機變量的穩(wěn)定性，也稱為總體方差.2.總體方差D(C)＝0，D(CX)＝C2DX，D(X±Y)＝DX＋DY

性質：

在C為常數(shù)，X、Y獨立時第三十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六DX＝EX2－(EX)2解：DX＝1DY＝2說明兩藥工稱量技術存在差異，甲比乙穩(wěn)定。EX＝EY=50g例

甲、乙兩名藥工包裝同一散劑，稱量每次所包裝的各包散劑的重量(g)分別用X、Y表示，求甲、乙兩藥工稱量的方差.重量(g)P(X＝k)P(Y＝k)480.10