應(yīng)力狀態(tài)理論

應(yīng)力狀態(tài)和強度理論一、應(yīng)力狀態(tài)的概念二、平面應(yīng)力狀態(tài)三、空間應(yīng)力狀態(tài)四、廣義虎克定律五、強度理論2021/5/91全應(yīng)力：——A上的內(nèi)力分解為兩個分量：：

正應(yīng)力——截面法向分量。：切應(yīng)力——截面切向分量。P2021/5/92過一點可以截取無限個平面，因此，一點的應(yīng)力是方位的描述量。問題：是否可以根據(jù)有限方位上的應(yīng)力，表示“一點的應(yīng)力”？此問題稱為“一點的應(yīng)力狀態(tài)分析”。又稱“應(yīng)力張量分析”P2021/5/93單元體的應(yīng)力狀態(tài)單元體：——變形固體內(nèi)按一定方位截割的邊長趨于無窮小的正六面體。n2021/5/94一點的應(yīng)力狀態(tài)：圍繞變形固體內(nèi)一點所取的單元體的6個面上應(yīng)力的大小，可以反映該點任意方向上應(yīng)力的狀態(tài)。單元體稱為應(yīng)力狀態(tài)單元體。描述一點應(yīng)力狀態(tài)所需要的單元體6個面上的應(yīng)力分量是yxzx——x方向正應(yīng)力y——y方向正應(yīng)力z——z方向正應(yīng)力x'xy'y'zz'x——x反向正應(yīng)力'y——y反向正應(yīng)力'z——z反向正應(yīng)力2021/5/95xyzxy—x平面指向y方向的切應(yīng)力；τ′xy—x平面指向y反向的切應(yīng)力xyyx—y平面指向x方向的切應(yīng)力；τ′yx—y平面指向x反向的切應(yīng)力yxyzzyxzzxyz—y平面指向z方向的切應(yīng)力;xz—x平面指向z方向的切應(yīng)力zy—z平面指向y方向的切應(yīng)力;zx—z平面指向x方向的切應(yīng)力2021/5/96一共18個應(yīng)力分量，稱為一點的應(yīng)力張量應(yīng)用內(nèi)力平衡關(guān)系，可以證明材料力學(xué)中以引起的變形的方向確定應(yīng)力的符號應(yīng)力張量寫成矩陣形式,有9個元素2021/5/97另外，可以證明——切應(yīng)力互等定理xyyxyzzyxzzxxyz2021/5/98獨立的應(yīng)力張量分量為6個寫成矩陣為一點任意方向的應(yīng)力可以由這6個應(yīng)力分量確定。另一種敘述為：已知一點應(yīng)力狀態(tài)單元體上6個應(yīng)力分量，求該點任意方向的應(yīng)力?！獞?yīng)力狀態(tài)分析2021/5/99平面應(yīng)力狀態(tài)分析xyzxyyxx'xy'y'zz如圖，當Z平面上切應(yīng)力為零，即xyyxyzzyxzzxxyzx'xy'y'zz單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖2021/5/910n單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖這時，獨立的應(yīng)力分量為，，和與XY平面垂直的平面上的應(yīng)力沒有Z方向的分量，并且由x，y及xy決定。——平面應(yīng)力狀態(tài)已知x，y及xy，求任意斜截面n上的應(yīng)力——平面應(yīng)力狀態(tài)分析。xyzxyyxy'yzx'x2021/5/911平面應(yīng)力狀態(tài)單元體的表示：n截面上的應(yīng)力分解為xyzxyyxy'yzx'xn正應(yīng)力切應(yīng)力是截面法向與x軸的夾角，規(guī)定：逆時針為正；順時針為負。，的符號規(guī)定同前。平面應(yīng)力狀態(tài)單元體表示xxyyxyyxyxxyxn2021/5/912平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法xxyyxyyxyxxyxn已知平面應(yīng)力狀態(tài)單元體x，y

，xy（yx=-xy）求和xyyxxynxdAdAxdAy2021/5/913應(yīng)力符號定義2021/5/914角度符號：逆時針：+

；順時針：-2021/5/915單元體內(nèi)力平衡關(guān)系2021/5/9162021/5/9172021/5/9182021/5/919主應(yīng)力，主平面——主平面2021/5/9202021/5/921最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力2021/5/922主平面與最大切應(yīng)力作用平面的關(guān)系2021/5/923應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法消去2得：若以為橫坐標，為縱坐標建立坐標系，得原點半徑圓方程2021/5/9242021/5/9252021/5/9262021/5/9272021/5/9282021/5/9292021/5/930主平面2021/5/931主應(yīng)力2021/5/932最大切應(yīng)力（最小切應(yīng)力）2021/5/933單元體應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系2021/5/9342021/5/9352021/5/9362021/5/937已知一點A的應(yīng)力狀態(tài)如圖，求：A點的主應(yīng)力和主平面。（應(yīng)力單位為MPa）2552622A2021/5/9382552622A解：將A點的兩個截面看成平面應(yīng)力狀態(tài)單元體的兩個截面則：代入2552622A222021/5/939兩式消去2得：解得于是該單元體應(yīng)力狀態(tài)為222222225534.634.62021/5/940222222225534.634.6主應(yīng)力：主平面：46.346.36.76.728.3°應(yīng)力圓（單位：MPa）2021/5/941特殊應(yīng)力狀態(tài)單元體Ax(，0)Ay(0，0)“單向拉伸”應(yīng)力狀態(tài)單元體與應(yīng)力圓2021/5/942Ay(0,)Ax(0,-)“純剪切”應(yīng)力狀態(tài)單元體與應(yīng)力圓02021/5/943Ax(，-)Ay(0，)2021/5/944“三向拉伸應(yīng)力”狀態(tài)2021/5/945三向應(yīng)力狀態(tài)分析xyzxyyxx'xy'y'zz考慮特殊情況：z

是主應(yīng)力231主單元體，三個主應(yīng)力規(guī)定：2021/5/9462021/5/9472021/5/9482021/5/9492021/5/9502021/5/9512021/5/9522021/5/9532021/5/9542021/5/9552021/5/9562021/5/957應(yīng)變狀態(tài)分析和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變——單元體變形大小的度量。應(yīng)變的形式有兩種線應(yīng)變——單元體尺寸改變的度量。用表示，定義為xyzdxdydzx方向的線應(yīng)變x單元體x

方向變形量線應(yīng)變的符號：伸長為正；縮短為負線應(yīng)變的單位：表示在單位長度上發(fā)生10-6的變形量。2021/5/958同理，定義其中δv

，δw表示單元體在y，z方向的變形量。一般地，任意方向的線應(yīng)變表示為——原長；l——（原長的）變形量。2021/5/959切應(yīng)變（剪應(yīng)變）——單元體形狀改變的度量。用表示，定義為xyzdxdydzxy——單元體xy平面內(nèi)直角的改變量。同樣，可以定義切應(yīng)變具有角度的單位——弧度。切應(yīng)變符號:直角增加為正;直角減小為負;2021/5/960切應(yīng)力與切應(yīng)變的符號關(guān)系2021/5/961平面應(yīng)變狀態(tài)分析xxyyxyyxyxxyxn

與平面應(yīng)力狀態(tài)分析類似，應(yīng)用幾何的方法可以建立單元體正應(yīng)變x、y，切應(yīng)變xy、yx

與任意方向上正應(yīng)變

，切應(yīng)變

的變換關(guān)系。首先，可以證明2021/5/962dxdyoabcmnoabcmn2021/5/963主應(yīng)變，主平面主應(yīng)變：主平面：主平面上切應(yīng)變?yōu)榱恪τ诟飨蛲圆牧?，可以證明，任意點的應(yīng)變主方向與應(yīng)力主方向是一致的。2021/5/964平面應(yīng)變測量在工程中，可以應(yīng)用實驗的方法測定一點的應(yīng)變狀態(tài)，從而確定主平面和主應(yīng)變。方法是在測點選定三個方向1，2，3

測出對應(yīng)的正應(yīng)變1，2，3，于是有解出x

，y，xy代入主應(yīng)變關(guān)系式和主平面關(guān)系即可。2021/5/96545o90o應(yīng)用0o-45o-90o“直角應(yīng)變花”測量的應(yīng)變0

，45

，90

計算測點的主應(yīng)變與主方向。2021/5/966解：取0

為x方向；90為y方向，有代入45o90oxy解出有2021/5/967于是主應(yīng)變：主方向：2021/5/968應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力狀態(tài)分析——利用平衡條件；應(yīng)變狀態(tài)分析——利用幾何條件?！c材料的特性無關(guān)。相同受力條件下不同材料的變形不同。材料的受力與變形之間的關(guān)系——把這種關(guān)系稱為物理關(guān)系——取決于材料自身性質(zhì)，由試驗確定，稱為材料的力學(xué)性質(zhì)?；疚锢黻P(guān)系：材料應(yīng)力-應(yīng)變之間的關(guān)系——胡克定律。適用于線性彈性材料2021/5/969材料單向拉伸變形，當應(yīng)力不超過一定量值時，線應(yīng)變與正應(yīng)力成正比，表示為E——材料的彈性模量材料純剪切變形，當應(yīng)力不超過一定量值時，切應(yīng)變與切應(yīng)力成正比，表示為G——材料的切變模量胡克定律2021/5/970橫向變形與泊松比試驗證實，幾乎所有的材料在產(chǎn)生縱向線應(yīng)變時，會產(chǎn)生與垂直方向上的線應(yīng)變′，且方向與相反，大小成比例。稱為橫向變形效應(yīng)?！獰o量綱比例常數(shù)，材料性質(zhì)。稱為泊松比對任何材料泊松比值

0<<0.5對于普通碳鋼，2021/5/971復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系——廣義胡克定律xyyxyzzyxzzxxyzxyz一個方向（如x方向）的線應(yīng)變由三個線應(yīng)變構(gòu)成：2021/5/972廣義胡克定律1）各向同性材料2）小變形——正應(yīng)力不引起切應(yīng)變；切應(yīng)力不引起線應(yīng)變3）對于任意方向(包括主單元體)成立此定律適用于:2021/5/973——主應(yīng)力與主應(yīng)變平面應(yīng)力狀態(tài)2021/5/974各向同性材料彈性模量E、泊松比、切變模量G之間的關(guān)系體積應(yīng)變平均應(yīng)力1232021/5/975例：從鋼構(gòu)件內(nèi)某一點的周圍取出一單元體如圖所示。根據(jù)理論計算已經(jīng)求得=30MPa，=15MPa。材料E=200GPa。=0.30。試求對角線AC的長度改變l。解:將單元體看成一平面應(yīng)力狀態(tài)于是：2021/5/976由廣義胡克定律2021/5/97745°045已知某點的單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，現(xiàn)測得該點x方向線應(yīng)變0=25010-6

；與x成45方向的線應(yīng)變45=14010-6

。材料彈性模量E=210GPa；泊松比=0.