等比數(shù)列的前項(xiàng)和一

第二章數(shù)列§2.5

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(一)1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式證明思路.2.會(huì)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡(jiǎn)單問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)1.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式答案na1(2)注意：應(yīng)用該公式時(shí)，一定不要忽略q＝1的情況.2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)推導(dǎo)1

求等差數(shù)列前n項(xiàng)和用的是倒序相加法，對(duì)于等比數(shù)列{an}，若q≠1，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，至此，你能用a1和q表示出Sn嗎？答案答案思考設(shè)f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N*)，則f(n)等于(

)答案B注意參與求和的項(xiàng)共有多少項(xiàng).知識(shí)點(diǎn)二錯(cuò)位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的方法叫

法.一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積的前n項(xiàng)和.返回錯(cuò)位相減答案題型探究重點(diǎn)突破題型一等比數(shù)列基本量的計(jì)算例1

在等比數(shù)列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；解析答案

解析答案方法二由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.反思與感悟解因?yàn)閍2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的兩根.(1)在等比數(shù)列{an}的五個(gè)量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三個(gè)量，通過列方程組求解，就能求出另兩個(gè)量，這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用.(2)在解決與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題時(shí)，首先要對(duì)公比q＝1或q≠1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

在等比數(shù)列{an}中，解析答案∴q＝－2，∴n＝5.(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.解析答案解若q＝1，則S8＝2S4，不合題意，∴q≠1，∴q＝2或q＝－2，題型二錯(cuò)位相減法求和例2

設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.(1)求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；解析答案解設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，bn＝2n－1.解析答案反思與感悟①－②得解析答案反思與感悟一般地，如果數(shù)列{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可以采用錯(cuò)位相減法.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練2

求數(shù)列{nxn}的前n項(xiàng)和.解(1)當(dāng)x＝0時(shí)，Sn＝0.(3)當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn，

①xSn＝x2＋2x3＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，

②①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1解析答案

解析答案解根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1，n∈N*并結(jié)合已知條件得

解析答案反思與感悟∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n×2n，上式×2得：2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n×2n＋1兩式相減得：－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－2＋2n－1＋2n－n·2n＋1反思與感悟∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2，n∈N*.利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)注意公比q的取值，同時(shí)對(duì)兩種數(shù)列的性質(zhì)，要熟悉它們的推導(dǎo)過程，利用好性質(zhì)，可降低題目的難度，解題時(shí)有時(shí)還需利用條件聯(lián)立方程組求解.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練3

在等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an及其前n項(xiàng)和Sn；解設(shè){an}的公比為q，依題意得解析答案解由(1)知bn＝1＋log3an＝1＋(n－1)＝n，解析答案應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)忽視分類討論致誤易錯(cuò)點(diǎn)例4

等比數(shù)列1,2a,4a2,8a3，…的前n項(xiàng)和Sn＝________.誤區(qū)警示返回錯(cuò)因分析忽視等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用條件，未對(duì)等比數(shù)列的公比2a分類討論，導(dǎo)致錯(cuò)誤.正解公比為q＝2a，誤區(qū)警示誤區(qū)警示準(zhǔn)確理解公式，重視分類討論應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意公比q是否為1，因?yàn)榈缺葦?shù)列前n項(xiàng)和公式是“分段函數(shù)”形式.若題中公比不明確，要分情況討論，如本例，公比為q＝2a，應(yīng)該分2a＝1,2a≠1兩種情況討論，否則結(jié)論就不完整.返回當(dāng)堂檢測(cè)123451.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝3，公比q＝2，則S5等于(

)A.93 B.－93C.45 D.－45A解析答案123452.在等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3，則a3＋a4＋a5＋a6＋a7等于(

)解析答案12345答案

A12345解析答案12345解析答案4.等比數(shù)列{an}中，a2＝9，a5＝243，則{an}的前4項(xiàng)和是________.∴公比q＝3，從而a1＝3，12012345解析答案12345課堂小結(jié)1.在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，q，Sn，其中首項(xiàng)a1和