高中數(shù)學(xué)必修4平面向量知識點(diǎn)總結(jié)及直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)課堂練習(xí)及答案

高中數(shù)學(xué)必修4知識點(diǎn)總結(jié)平面向量知識點(diǎn)歸納一.向量的基本概念與基本運(yùn)算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：幾何表示法，；坐標(biāo)表示法向量的大小即向量的模（長度），記作||即向量的大小，記作｜｜向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。诹阆蛄浚洪L度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝｜｜＝0由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件．（注意與0的區(qū)別）③單位向量：模為1個單位長度的向量向量為單位向量｜｜＝1④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作∥由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的．⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個向量和的運(yùn)算叫做向量的加法設(shè)，則+==（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2）三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個向量的起點(diǎn)指向最后一個向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)當(dāng)兩個向量的起點(diǎn)公共時，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連”．3向量的減法①相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有：（i）=；(ii)+()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=②向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法③作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）4實(shí)數(shù)與向量的積：①實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作λ，它的長度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時，λ的方向與的方向相同；當(dāng)時，λ的方向與的方向相反；當(dāng)時，，方向是任意的②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實(shí)數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運(yùn)算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)學(xué)習(xí)本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查，是知識的交匯點(diǎn)例1給出下列命題：①若||＝||，則=；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若=，=，則=，④=的充要條件是||=||且//；⑤若//，//，則//，其中正確的序號是解：①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同．②正確．∵，∴且，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則，且，因此，．③正確．∵=，∴，的長度相等且方向相同；又＝，∴，的長度相等且方向相同，∴，的長度相等且方向相同，故＝．④不正確．當(dāng)//且方向相反時，即使||=||，也不能得到=，故||=||且//不是=的充要條件，而是必要不充分條件．⑤不正確．考慮=這種特殊情況．綜上所述，正確命題的序號是②③．點(diǎn)評：本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念．向量的基本概念較多，因而容易遺忘．為此，復(fù)習(xí)一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想．例2設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡：①，②③解：①原式=②原式=③原式=例3設(shè)非零向量、不共線，=k+，=+k(kR)，若∥，試求k解：∵∥∴由向量共線的充要條件得：=λ(λR)即k+=λ(+k)∴(kλ)+(1λk)=又∵、不共線∴由平面向量的基本定理二.平面向量的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則若，則若=(x,y)，則=(x,y)若，則若，則若，則3向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì)運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法是一個向量,滿足:>0時,與同向;<0時,與異向;=0時,=∥向量的數(shù)量積是一個數(shù)或時,=0且時,,例1已知向量，，且，求實(shí)數(shù)的值解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)樗?，即解得?已知點(diǎn),試用向量方法求直線和（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交點(diǎn)的坐標(biāo)解：設(shè)，則因?yàn)槭桥c的交點(diǎn)所以在直線上，也在直線上即得由點(diǎn)得，得方程組解之得故直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為三．平面向量的數(shù)量積1兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定2向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義：·等于的長度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成立：；6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：①交換律成立：②對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：③分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知兩個向量，則·=8向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=,=,則∠AOB=（）叫做向量與的夾角cos==當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥10兩個非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O平面向量數(shù)量積的性質(zhì)例1判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；⑷若，則當(dāng)且僅當(dāng)時成立；（5）對任意向量都成立；（6）對任意向量，有解：⑴錯；⑵對；⑶錯；⑷錯；⑸錯；⑹對例2已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角解：由題意，，且與的夾角為，所以，，，，同理可得而，設(shè)為與的夾角，則點(diǎn)評：向量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見一斑例3已知，，，按下列條件求實(shí)數(shù)的值（1）；（2）；解：（1）；（2）；點(diǎn)評：此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的基本運(yùn)算2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)知識梳理直線與平面垂直的判定1、定義：如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。PaL2、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A梭lβBα2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2、兩個平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。知能訓(xùn)練一．選擇題1．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是（）A．α⊥β，且m?αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β2．在三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側(cè)棱PC上的一點(diǎn)，它的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則下列命題正確的是（）

A．AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的體積為8B．BD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的體積為8C．AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的體積為163D．BD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的體積為163．如圖，在正四棱錐S-ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動，并且總是保持PE⊥AC．則動點(diǎn)P的軌跡與△SCD組成的相關(guān)圖形是（）A．B．C．D．4．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD：BC：AB=2：3：4，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折．給出四個結(jié)論：

①DF⊥BC；

②BD⊥FC；

③平面DBF⊥平面BFC；

④平面DCF⊥平面BFC．

在翻折過程中，可能成立的結(jié)論是（）A．①③B．②③C．②④D．③④5．已知A，B，C，D是同一球面上的四個點(diǎn)，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，則該球的表面積為（）A．16πB．24πC．322πD．48π6．設(shè)O是空間一點(diǎn)，a，b，c是空間三條直線，α，β是空間兩個平面，則下列命題中，逆命題不成立的是（）A．當(dāng)a∩b=O且a?α，b?α?xí)r，若c⊥a，c⊥b，則c⊥αB．當(dāng)a∩b=O且a?α，b?α?xí)r，若a∥β，b∥β，則α∥βC．當(dāng)b?α?xí)r，若b⊥β，則α⊥βD．當(dāng)b?α?xí)r，且c?α?xí)r，若c∥α，則b∥c7．已知平面α⊥平面β，點(diǎn)A∈α，則過點(diǎn)A且垂直于平面β的直線（）A．只有一條，不一定在平面α內(nèi)B．有無數(shù)條，不一定在平面α內(nèi)C．只有一條，一定在平面α內(nèi)D．有無數(shù)條，一定在平面α內(nèi)8．如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角9．下列命題中錯誤的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β10．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，AC∩EF=G．現(xiàn)在沿AE、EF、FA把這個正方形折成一個四面體，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，則在四面體P-AEF中必有（）A．AP⊥△PEF所在平面B．AG⊥△PEF所在平面C．EP⊥△AEF所在平面D．PG⊥△AEF所在平面11．如圖，設(shè)平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足．分別為B，D，若增加一個條件，就能推出BD⊥EF．現(xiàn)有①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF．那么上述幾個條件中能成為增加條件的個數(shù)是（）A．1個B．2個C．3個D．4個12．在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個數(shù)是（）A．5B．8C．10D．613．經(jīng)過一條直線與一個平面垂直的平面?zhèn)€數(shù)是（）A．1B．2C．無數(shù)D．以上答案都不正確14．如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為π4和πA．2：1B．3：1C．3：2D．4：315．已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是線段D1E與C1F上的點(diǎn)，則與平面ABCD垂直的直線MN有（）A．0條B．1條C．2條D．無數(shù)條16．三棱錐P-ABC的高為PH，若P到△ABC的三邊的距離相等，若H在△ABC內(nèi)，則H為△ABC的（）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．垂心或內(nèi)心17．如圖所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，則C1在面ABC上的射影H必在（）A．直線AB上B．直線BC上C．直線CA上D．△ABC內(nèi)部18．如圖是一個幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E、F分別為PA、PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：

①直線BE與直線CF異面；

②直線BE與直線AF異面；

③直線EF∥平面PBC；

④平面BCE⊥平面PAD．

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個B．2個C．3個D．4個二．填空題19．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足時，平面MBD⊥平面PCD．（只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可）20．已知平面α，β和直線，給出條件：

①m∥α；

②m⊥α；

③m?α；

④α⊥β；

⑤α∥β．

（i）當(dāng)滿足條件時，有m∥β；

（ii）當(dāng)滿足條件時，有m⊥β．（填所選條件的序號）21．已知AB是平面α的垂線，AC是平面α的斜線，CD∈平面α，CD⊥AC，則面面垂直的有．22．設(shè)△ABC的三個頂點(diǎn)在平面α的同側(cè)，AA1⊥平面α于點(diǎn)A1，BB1⊥平面α于點(diǎn)B1，CC1⊥平面α于點(diǎn)C1，G、G1分別是△ABC和△A1B1C1的重心，若AA1=7，BB1=3，CC1=5，則GG1=．23．設(shè)α，β為兩個不重合的平面，m，n為兩條不重合的直線，給出下列四個命題：

①若m⊥n，m⊥α，n?α則n∥α；

②若α⊥β，α∩β=m，n?α，n⊥m，則n⊥β；

③若m⊥n，m∥α，n∥β，則α⊥β；

④若n?α，m?β，α與β相交且不垂直，則n與m不垂直．

其中所有真命題的序號是．24．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動，并且總是保持AP與BD1垂直，則動點(diǎn)P的軌跡為．25．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點(diǎn)，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值等于

．26．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA=a，PB=PD=2a，則它的5個面中，互相垂直的面有對．第24題第25題第26題三．解答題27．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分別是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1的中點(diǎn)，求證：

（Ⅰ）直線BC1∥平面EFPQ；

（Ⅱ）直線AC1⊥平面PQMN．28．在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形

（Ⅰ）若AC⊥BC，證明：直線BC⊥平面ACC1A1；

（Ⅱ）設(shè)D、E分別是線段BC、CC1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結(jié)論．29．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面ABE⊥B1BCC1；

（Ⅱ）求證：C1F∥平面ABE；

（Ⅲ）求三棱錐E-ABC的體積．30．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M為線段AB的中點(diǎn)．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．求證：BC⊥平面ACD；

【參考答案】1-5BCABD6-10CCDDA11-15BBDAB16-18AAB19.DM⊥PC（或BM⊥PC等）20.③⑤；②⑤21.平面ABC⊥平面ACD22.523.①②24.線段CB125.126.527.證明：（Ⅰ）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接AD1，

∵AD1∥BC1，且F、P分別是AD、DD1的中點(diǎn)，

∴FP∥AD1，∴BC1∥FP，

又FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，

∴直線BC1∥平面EFPQ；

（Ⅱ）如圖，

連接AC、BD，則AC⊥BD，∵CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

∴CC1⊥BD；

又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1，

又AC1?平面ACC1，∴BD⊥AC1；

又∵M(jìn)、N分別是A1B1、A1D1的中點(diǎn)，

∴MN∥BD，∴MN⊥AC1；

同理可證PN⊥AC1，

又PN∩MN=N，∴直線AC1⊥平面PQM