高中數(shù)學(xué)教案3及高中數(shù)學(xué)講義微專題95 統(tǒng)計(jì)初步

PAGE1-不等式復(fù)習(xí)講義一．目的要求：1．2．掌握常用基本不等式，并能用之證明不等式和求最值；3．掌握含絕對值的不等式的性質(zhì)；4．會解一元二次不等式、分式不等式、含絕對值的不等式、簡單的高次不等式。學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)換的思想方法分析和解決有關(guān)不等式的問題，形成良好的思維品質(zhì).二．知識要點(diǎn)：1．不等式的性質(zhì)：性質(zhì)內(nèi)容對稱性，．傳遞性且．加法性質(zhì)；且．乘法性質(zhì)；，且．乘方、開方性質(zhì)；．倒數(shù)性質(zhì)．2．絕對值不等式的性質(zhì)：；．3．常用基本不等式：條件結(jié)論，，三．證明不等式的常用方法：比較法，綜合法，分析法，換元法，反證法等.四．運(yùn)用基本不等式求最值的注意點(diǎn)：①常用的不等式：，，．②注意點(diǎn)：和定積最大，積定和最?。灰徽?、二定、三相等.五．常見不等式及其基本解法：1．一元二次不等式：（1）利用其與一元二次方程，二次函數(shù)的關(guān)系；（2）含字母系數(shù)的一元二次不等式大致分為兩類：①的符號不確定，討論的大?。虎谕ㄟ^因式分解（或求根公式）得出兩根，但根的大小不明確，則討論根的大小.（3）一元二次不等式的應(yīng)用：①已知一個不等式的解集，求另一個不等式的解集；②恒成立問題：通?？山Y(jié)合二次函數(shù)圖象來考慮.2.分式不等式：移項(xiàng)，通分，再轉(zhuǎn)化為不等式組或序軸標(biāo)根；3.含有絕對值的不等式：用絕對值的定義去掉絕對值符號.4.高次不等式：序軸標(biāo)根法；5.指數(shù)、對數(shù)不等式：利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.六．例題分析：例1．已知，，，求證：．證明：∵，∴，又，∴，∴，又，∴．例2．．例3．已知，，求證：．證明：∵，∴，又，∴，∴，要證，只要證，只要證，即，只要證，∵，∴只要證，即，∵成立，∴．例4.在中，為三條邊的長，表示的面積，求證：，并說明“”成立的條件.證明：由余弦定理，有，又，∴∵∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，也就是是等邊三角形時，“”成立.例5．解關(guān)于的不等式．解：原不等式等價于，即，①（1）若時，由①得，∴；（2）若時，由①得，∴；（3）若時，由①得，②又∵，∴當(dāng)時，，由②得：或；當(dāng)時，，由②得：；當(dāng)時，，由②得：或；綜上所述：（略）例6.四邊形的兩條對角線相交于，如果的面積為，的面積為，求四邊形的面積的最小值，并指出最小時四邊形的形狀.解：設(shè)，，則，，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，∴的最小值為，此時由得：，即，∴，即四邊形是梯形.例7.有一批影碟機(jī)原銷售價為元，在甲、乙兩家商場均有銷售。甲商場用如下的方法促銷：買一臺單價為元，買兩臺每臺單價為元，依次類推，每多買一臺，則所買各臺單價均再減少元，但每臺最低不能低于元；乙商場一律都按原價的銷售。某單位需購買一批此類影碟機(jī)，應(yīng)去哪家商場購買？解：由題意：，∴，，，，，設(shè)此單位在甲、乙兩家商場購貨的差價為，則當(dāng)，由得，∴；由得；由得，∴；當(dāng)時，．答：若買少于臺影碟機(jī)，則應(yīng)去乙商場購買；若買臺，去甲、乙商場均可；若買超過臺，則應(yīng)去甲商場購買.微專題95高中涉及的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識一、基礎(chǔ)知識：（一）隨機(jī)抽樣：1、抽簽法：把總體中的個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取次，就得到容量為的樣本2、系統(tǒng)抽樣：也稱為等間隔抽樣，大致分為以下幾個步驟：（1）先將總體的個個體編號（2）確定分段間隔，設(shè)樣本容量為，若為整數(shù)，則（3）在第一段中用簡單隨機(jī)抽樣確定第一個個體編號，則后面每段所確定的個體編號與前一段確定的個體編號差距為，例如：第2段所確定的個體編號為，第段所確定的個體編號為，直至完成樣本注：（1）若不是整數(shù)，則先用簡單隨機(jī)抽樣剔除若干個個體，使得剩下的個體數(shù)能被整除，再進(jìn)行系統(tǒng)抽樣。例如501名學(xué)生所抽取的樣本容量為10，則先隨機(jī)抽去1個，剩下的個個體參加系統(tǒng)抽樣（2）利用系統(tǒng)抽樣所抽出的個體編號排成等差數(shù)列，其公差為3、分層抽樣：也稱為按比例抽樣，是指在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本。分層抽樣后樣本中各層的比例與總體中各個層次的比例相等，這條結(jié)論會經(jīng)常用到（二）頻率分布直方圖：1、頻數(shù)與頻率（1）頻數(shù)：指一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)或一組數(shù)據(jù)在某個確定的范圍內(nèi)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)的個數(shù).（2）頻率：是頻數(shù)與數(shù)據(jù)組中所含數(shù)據(jù)的個數(shù)的比，即頻率=頻數(shù)/總數(shù)（3）各試驗(yàn)結(jié)果的頻率之和等于12、頻率分布直方圖：若要統(tǒng)計(jì)每個小組數(shù)據(jù)在樣本容量所占比例大小，則可通過頻率分布表（表格形式）和頻率分布直方圖（圖像形式）直觀的列出（1）極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差（2）組距：將一組數(shù)據(jù)平均分成若干組（通常5-12組），則組內(nèi)數(shù)據(jù)的極差稱為組距，所以有組距=極差/組數(shù)（3）統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，計(jì)算出每組的頻率，便可根據(jù)頻率作出頻率分布直方圖（4）在頻率分布直方圖中：橫軸按組距分段，縱軸為“頻率/組距”（5）頻率分布直方圖的特點(diǎn)：①頻率=，即分布圖中每個小矩形的面積②因?yàn)楦髟囼?yàn)結(jié)果的頻率之和等于1，所以可得在頻率分布直方圖中，各個矩形的面積和為1（三）莖葉圖：通常可用于統(tǒng)計(jì)和比較兩組數(shù)據(jù)，其中莖是指中間的一列數(shù)，通常體現(xiàn)數(shù)據(jù)中除了末位數(shù)前面的其他數(shù)位，葉通常代表每個數(shù)據(jù)的末位數(shù)。并按末位數(shù)之前的數(shù)位進(jìn)行分類排列，相同的數(shù)據(jù)需在莖葉圖中體現(xiàn)多次（四）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的數(shù)字特征：1、眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，叫做眾數(shù)2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大排列，位于中間位置的數(shù)稱為中位數(shù)，其中若數(shù)據(jù)的總數(shù)為奇數(shù)個，則為中間的數(shù)；若數(shù)據(jù)的總數(shù)為偶數(shù)個，則為中間兩個數(shù)的平均值。3、平均數(shù)：代表一組數(shù)據(jù)的平均水平，記為，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：，則有：4、方差：代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，記為，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：，其平均數(shù)為，則有：，其中越小，說明數(shù)據(jù)越集中5、標(biāo)準(zhǔn)差：也代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，為方差的算術(shù)平方根二、典型例題例1：某校高中部有三個年級，其中高三有學(xué)生人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個容量為的樣本，已知在高一年級抽取了人，高二年級抽取了人，則高中部共有學(xué)生_______人．思路：分層抽樣即按比例抽樣，由高一年級和高二年級的人數(shù)可得高三人數(shù)為人，所以抽樣比為，從而總?cè)藬?shù)為人答案：3700例2：某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)，A．B．C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果；企業(yè)統(tǒng)計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量（件）1300樣本容量（件）130由于不小心，表格中A．C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計(jì)員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，根據(jù)以上信息，可得C的產(chǎn)品數(shù)量是件．思路：由產(chǎn)品可得抽樣比為，所以若A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，則A產(chǎn)品的數(shù)量比C產(chǎn)品的數(shù)量多，且產(chǎn)品數(shù)量和為，從而可解得產(chǎn)品的數(shù)量為答案：800例3：某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽測了100根棉花纖維的長度（棉花纖維所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的100根中___________根棉花纖維的長度小于15mm．思路：由頻率直方圖的橫縱軸可得：組距為5mm，所以小于15mm的頻率為，所以小于15mm共有根答案：10例4：某班甲、乙兩位同學(xué)升入高中以來的5次數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖如圖，則乙同學(xué)這5次數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)是；已知兩位同學(xué)這5次成績的平均數(shù)都是84，成績比較穩(wěn)定的是（第二個空填“甲”或“乙”）．思路：由莖葉圖可讀出，乙同學(xué)的成績?yōu)?，甲同學(xué)的成績?yōu)?，所以乙同學(xué)的成績的中位數(shù)為，相比較而言，甲同學(xué)的成績比較集中，所以比較穩(wěn)定的是甲答案：，甲小煉有話說：在求中位數(shù)時要注意先將數(shù)據(jù)從小到大排列，判斷成績穩(wěn)定，本題甲，乙穩(wěn)定性的判斷定量上要依靠方差，但因?yàn)楸绢}從莖葉圖上看出甲，乙數(shù)據(jù)穩(wěn)定性差距較大，所以定性的判斷。例6：某校從參加高三年級期末考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績分成五段：，，它的頻率分布直方圖如圖所示，則該批學(xué)生中成績不低于90分的人數(shù)是_____．思路：的高度未知，但由于直方圖體現(xiàn)的是全部樣本的情況，所以各部分頻率和為1，可以考慮間接法。從圖中可觀察到的頻率為，所以不低于90分的頻率為，故人數(shù)為（人）答案：例7：從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間,頻率分布直方圖所示．（1）直方圖中的值為___________；（2）在這些用戶中,用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為_____________．思路：（1）依題意可得頻率直方圖中的頻率和等于1，由圖可得組距為，所以有，解得（2）圖中的頻率為，所以用戶數(shù)為（戶）答案：（1）（2）戶例7：某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績分布直方圖如圖所示，分?jǐn)?shù)不低于即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為175人，則的估計(jì)值是________．思路：可先從頻率直方圖中按分?jǐn)?shù)從高到低統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，組距為，從而可得：的人數(shù)為，同理可得的人數(shù)為人，而優(yōu)秀的人數(shù)為人，所以應(yīng)包含的全體，以及中的一半人數(shù)，所以估計(jì)值為到的中間值，即答案：例8：某地區(qū)為了解中學(xué)生的日平均睡眠時間（單位：）,隨機(jī)選擇了位中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)所得數(shù)據(jù)，畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示,且從左到右的第1個、第4個、第2個、第3個小長方形的面積依次構(gòu)成公差為0.1的等差數(shù)列，又第一小組的頻數(shù)是10，則_______.思路：設(shè)第一個的面積為，則第4個為，第2個為，第3個為，依題意可得四部分的頻率和為，從而可解得，所以，從而答案：例9：某單位有職工200名，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機(jī)按1－200編號，并按編號順序平均分為40組（1－5號，6－10號，…，196－