2021年高中數(shù)學第二章推理與證明-學案新人教A版選修1-2-

第二章推理與證明人人都熟悉地圖，可并不是人人都知道，繪制一張地圖最少要用幾種顏色，才能把相鄰的國家或不同的區(qū)域區(qū)分開來．這個地圖著色問題，是一個著名的數(shù)學難題，它曾經吸引了好幾代優(yōu)秀的數(shù)學家為之奮斗，并且從中獲得了一個又一個杰出的成就，為數(shù)學的發(fā)展增添了光彩．在地圖上區(qū)分兩個相鄰的國家或地區(qū)，要用不同的顏色來涂這兩個國家或區(qū)域．顯然，用兩種顏色是區(qū)分不開的，不過有時三種顏色就夠了．A，B，C三國各用一色，D國和B國用同樣的顏色．還有另外一種情況，如果地圖中的四個國家中任何兩個都有公共邊界，必須用四種顏色才能把它們區(qū)分開．于是，有的數(shù)學家猜想，任何地圖著色只需四種顏色就足夠了．正式提出地圖著色問題的時間是1852年．但這個問題遲遲未得到解決．直到1976年9月，《美國數(shù)學會通告》宣布了一件震撼全球數(shù)學界消息：美國伊利諾斯大學的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計算機證明了地圖的四色猜想是正確的！他們將地圖的四色問題化為2000個特殊的圖的四色問題，然后在電子計算機上計算了1200個小時，終于證明了四色問題．四色猜想經歷了歸納、猜想等推理活動，最后獲得了圓滿證明．同學們，你想知道推理與證明的有關知識嗎？就讓我們步入本章的學習吧！2.1合情推理與演繹推理2.1.1合情推理自主預習·探新知情景引入人們仿照魚類的外形和它們在水中的沉浮原理，發(fā)明了潛水艇；為了回答“火星上是否有生命”這個問題，科學家把火星與地球作類比，發(fā)現(xiàn)火星具有一些與地球類似的特征，如火星也是圍繞太陽運行，繞軸自轉的行星，也有大氣層，在一年中也有季節(jié)的變更，而且火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存等等，由此，科學家們猜測火星上也可能有生命存在．新知導學1．歸納推理由某類事物的__部分對象__具有某些特征，推出該類事物的__全部對象__都具有這些特征的推理，或者由__個別事實__概括出__一般結論__的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納)．簡言之，歸納推理是由__部分__到__整體__、由__個別__到__一般__的推理．2．金導電、銀導電、銅導電、鐵導電，金、銀、銅、鐵都是金屬，因此可猜想所有金屬都導電，這種推理形式為__歸納推理__．3．類比推理由兩類對象具有__某些類似特征__和其中一類對象的__某些已知特征__，推出另一類對象也具有__這些特征__的推理稱為類比推理(簡稱類比)．簡言之，類比推理是由__特殊到特殊__的推理．4．合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)__已有的事實__，經過__觀察、分析、比較、聯(lián)想__，再進行__歸納__、__類比__，然后提出__猜想__的推理．我們把它們稱為合情推理．通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理．5．歸納推理是由部分到__整體__，由具體到__抽象__，由特殊到__一般__，從個別事實中概括出__一般結論__的思維模式．類比推理是在__兩類不同__的事物之間進行對比，找出若干相同或相似之處之后，推測在其他方面也可能存在__相同或相似__之處的一種推理模式．類比推理是由__特殊__到__特殊__的推理．預習自測1．魯班發(fā)明鋸子的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木材，它們在功能上是類似的．因此，它們在形狀上也應該類似，“鋸子”應該是齒形的．該過程體現(xiàn)了(B)A．歸納推理 B．類比推理C．沒有推理 D．以上說法都不對[解析]推理是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程，上述過程是推理，由性質類比可知是類比推理．2．下列表述正確的是(A)①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③類比推理是由特殊到一般的推理；④類比推理是由特殊到特殊的推理．A．①④ B．①③C．②③ D．②④[解析]根據(jù)題意，歸納推理，就是由部分到整體的推理．故①對②錯；類比推理是由特殊到特殊的推理．故④對③錯，則正確的是①④，故選A．3．觀察式子：1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，…，則可歸納出式子(C)A．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(1,2n－1)(n≥2)B．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(1,2n＋1)(n≥2)C．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(2n－1,n)(n≥2)D．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(2n,2n＋1)(n≥2)[解析]由題意可知，當n≥2時，第n個式子左邊是1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)，右邊為eq\f(2n－1,n)，故選C．4．如圖，第(1)個圖案由1個點組成，第(2)個圖案由3個點組成，第(3)個圖案由7個點組成，第(4)個圖案由13個點組成，第(5)個圖案由21個點組成，…，根據(jù)圖案中點的排列規(guī)律，組成第(50)個圖案的點的個數(shù)是(B)A．2450 B．2451C．2452 D．2453[解析]設組成第(n)個圖案的點的個數(shù)為an，由題意可得a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝13，a5＝21，故a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，a5－a4＝8，…，由此可推得當n≥2時，an－an－1＝2(n－1)，以上(n－1)個式子相加可得：(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)，化簡可得an－a1＝eq\f(n－12＋2n－2,2)＝n(n－1)，即an＝n(n－1)＋1．故a50＝50×49＋1＝2451，即第(50)個圖案由2451個點組成．故選B．5．設f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，計算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、…、f(10)的值，同時作出歸納推理，并用n＝40驗證猜想的結論是否正確．[解析]首先分析題目的條件，并對n＝1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的結果進行歸納推測，發(fā)現(xiàn)它們之間的共同性質，猜想出一個明確的一般性命題．f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.由此猜想，n為任意正整數(shù)時，f(n)＝n2＋n＋41都是質數(shù)．當n＝40時，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)為合數(shù)，因此猜想的結論不正確．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?數(shù)與式的歸納典例1觀察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝eq\f(3,4)，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝eq\f(3,4)，sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝eq\f(3,4)．分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明．[思路分析]觀察三個等式的左右兩邊的特點，包括三角函數(shù)名稱及角的大小的規(guī)律，寫出反映一般規(guī)律的等式，最后對其進行證明．[解析]猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4)．證明：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos2α＋60°,2)＋eq\f(sin2α＋30°－sin30°,2)＝1＋eq\f(cos2α＋60°－cos2α,2)＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)sin(30°＋2α)＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)＝eq\f(3,4)．所以sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4)成立．『規(guī)律方法』1.歸納推理的一般步驟(1)觀察：通過觀察個別事物發(fā)現(xiàn)某些相同性質．(2)概括、歸納：從已知的相同性質中概括、歸納出一個明確表述的一般性命題．(3)猜測一般性結論．2．歸納推理的基本邏輯形式是：S1是(或不是或具有性質)P，S2是(或不是或具有性質)P，S3是(或不是或具有性質)P，…Sn是(或不是或具有性質)P．∵S1、S2、S3、…、Sn是S類的對象，∴所有S都是(或都不是或都具有性質)P．3．由已知數(shù)、式進行歸納推理的方法(1)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中項數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律．(2)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中結構形式的特征．(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點．(4)運用歸納推理得出一般結論．┃┃跟蹤練習1__■觀察下列不等式：eq\f(1,2)×1≥1×eq\f(1,2)，eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)))，eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)))≥eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)))，eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)＋\f(1,7)))≥eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)＋\f(1,8)))，試寫出第n個不等式．[思路分析]觀察各式不難發(fā)現(xiàn)，左側括號內是連續(xù)奇數(shù)的倒數(shù)之和，右側括號內是連續(xù)偶數(shù)的倒數(shù)之和，而另一個數(shù)與項數(shù)有關，從而得出一般性結論．[解析]第1個不等式為eq\f(1,2)×1≥1×eq\f(1,2)，即eq\f(1,1＋1)×1≥1×eq\f(1,2×1)；第2個不等式為eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)))，即eq\f(1,2＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2×2－1)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2×1)＋\f(1,2×2)))；第3個不等式為eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)))≥eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)))，即eq\f(1,3＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2×2－1)＋\f(1,2×3－1)))≥eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2×1)＋\f(1,2×2)＋\f(1,2×3)))；…猜測第n個不等式為eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－1)))≥eq\f(1,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)＋…＋\f(1,2n)))(n∈N＋)．命題方向?圖形中的歸納推理典例2下圖是用同樣規(guī)格的灰、白兩色正方形瓷磚鋪設的若干圖案，則按此規(guī)律，第n個圖案中需用灰色瓷磚__4n＋8__塊(用含n的代數(shù)式表示)．[思路分析]分析給出的3個圖形中灰色瓷磚數(shù)目、白色瓷磚數(shù)目以及它們的和之間的關系，猜測一般結論．[解析]第(1)，(2)，(3)，…個圖案灰色瓷磚數(shù)依次為15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，…由此可猜測第n個圖案灰色瓷磚數(shù)為(n＋2)(n＋4)－n(n＋2)＝4(n＋2)＝4n＋8．『規(guī)律方法』通過一組平面或空間圖形的變化規(guī)律，研究其一般性結論，通常需形狀問題數(shù)字化，展現(xiàn)數(shù)字之間的規(guī)律、特征，然后進行歸納推理．解答該類問題的一般策略是：┃┃跟蹤練習2__■有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是(B)A．26 B．31C．32 D．36[解析]有菱形紋的正六邊形個數(shù)如下表：圖案第一個第二個第三個…個數(shù)61116…由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數(shù)依次組成一個以6為首項，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是6＋5×(6－1)＝31.故選B．命題方向?數(shù)列中的歸納推理典例3下面各列數(shù)都依照一定規(guī)律排列，在括號里填上適當?shù)臄?shù)：(1)1,5,9,13,17，(21)；(2)eq\f(3,4)，1,1eq\f(1,3)，1eq\f(7,9)，2eq\f(10,27)，(3eq\f(13,81))；(3)eq\r(2＋\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))，eq\r(5＋\f(5,24))，(eq\r(6＋\f(6,35)))．[思路分析]要在括號里填上適當?shù)臄?shù)，必須正確地判斷出每列數(shù)所具有的規(guī)律，為此必須進行仔細的觀察和揣摩．常用方法是對比自然數(shù)列，奇數(shù)列，偶數(shù)列，自然數(shù)的平方列找關系，分數(shù)可先理順其分母(或分子)的規(guī)律，等等．[解析](1)考察相鄰兩數(shù)的差：5－1＝4,9－5＝4，13－9＝4,17－13＝4，可見，相鄰兩數(shù)之差都是4.按此規(guī)律，括號里的數(shù)減去17等于4，所以應填入括號里的數(shù)是17＋4＝21．(2)像(1)那樣考慮難以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，改變一下角度，把各數(shù)改寫為eq\f(3,4)，1，eq\f(4,3)，eq\f(16,9)，eq\f(64,27)．可以發(fā)現(xiàn)：1÷eq\f(3,4)＝eq\f(4,3)，eq\f(4,3)÷1＝eq\f(4,3)，eq\f(16,9)÷eq\f(4,3)＝eq\f(4,3)，eq\f(64,27)÷eq\f(16,9)＝eq\f(4,3)．后一個數(shù)是前一個數(shù)的eq\f(4,3)倍，按照這個規(guī)律，括號中的數(shù)應是eq\f(64,27)×eq\f(4,3)＝eq\f(256,81)＝3eq\f(13,81)．(3)每個數(shù)都是算術根，根號下有兩項，一項是整數(shù)n＋1，另一項是分數(shù)，分子與整數(shù)項相同，分母是分子的平方減1，按此規(guī)律，下一個數(shù)應為eq\r(6＋\f(6,35))．『規(guī)律方法』由數(shù)列的遞推公式容易寫出數(shù)列的前n項，觀察數(shù)列的項與序號之間的關系，分析特點發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想其通項公式，然后再給予證明是解答數(shù)列問題常用的方法．┃┃跟蹤練習3__■若an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．且a1＝1．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項公式an．[解析](1)由已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，得a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1．(2)歸納猜想，得an＝2n－1(n∈N*)．將命題的條件、結論類比推廣命題方向?典例4已知△ABC的邊長分別為a、b、c，內切圓半徑為r，用S△ABC表示△ABC的面積，則S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)．類比這一結論有：若三棱錐A－BCD的內切球半徑為R，則三棱錐體積VA－BCD＝__eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)__．[思路分析]解答本題的關鍵是確定好類比對象．平面中圓類比空間中球，平面中長度類比空間中面積，平面中面積類比空間中體積．[解析]內切圓半徑req\o(→,\s\up7(類比))內切球半徑R，三角形的周長：a＋b＋ceq\o(→,\s\up7(類比))三棱錐各面的面積和：S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，三角形面積公式系數(shù)eq\f(1,2)eq\o(→,\s\up7(類比))三棱錐體積公式系數(shù)eq\f(1,3)．∴類比得三棱錐體積VA－BCD＝eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．『規(guī)律方法』類比推理的一般步驟(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性．(2)用一類事物的已知特征、性質去推測另一類事物具有類似的特征、性質，得出一個明確的命題(或猜想)．(3)檢驗這個猜想一般情況下，如果類比的兩類事物的相似性越多，相似的性質與推測的性質之間越相關，那么類比得出的結論就越可靠．類比推理的結論既可能真，也可能假，它是一種由特殊到特殊的認識過程，具有十分重要的實用價值．┃┃跟蹤練習4__■在△ABC中，若AB⊥AC且AD⊥BC于D，則有eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面體A－BCD中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想？并說明理由．[解析]猜想四面體A－BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD于E，則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)．如圖所示，連接BE并延長交CD于F．∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD．而AF平面ACD，∴AB⊥AF．在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2)．在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)．∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，故猜想正確．易混易錯警示典例5若數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn＝eq\f(a1＋a2＋a3＋…＋an,n)(n∈N*)也是等差數(shù)列．類比上述性質，相應地：若數(shù)列{cn}(n∈N*)是等比數(shù)列，且cn>0，則數(shù)列dn＝?。?！eq\r(n,c1·c2·c3·…·cn)__(n∈N*)也是等比數(shù)列．[錯解]eq\f(c1＋c2＋c3＋…＋cn,n)，類比結論時未考慮等差數(shù)列與等比數(shù)列的運算性質的區(qū)別．[辨析]等差數(shù)列的運算相似特性是和的形式，等比數(shù)列的運算相似特性是積的形式．[正解]由等差、等比數(shù)列之間的運算的相似特征知“和eq\o(→,\s\up7(類比))積，商eq\o(→,\s\up7(類比))開方”，容易得出dn＝eq\r(n,c1·c2·c3·…·cn)也是等比數(shù)列．學科核心素養(yǎng)新定義、新運算中的類比問題1．圍繞對數(shù)學知識、理性思維、數(shù)學應用與創(chuàng)新和數(shù)學人文價值等四個方面的考查設計試題，努力開發(fā)一些融知識、方法、思想、能力與素質于一體的背景新穎、內涵深刻、富有新意的原創(chuàng)題型，已成為一種趨勢．其目的是使數(shù)學的文化性、應用性與理論性能有機結合與相互滲透，真正考查考生的學習潛能和個性品質．在這個背景下近幾年出現(xiàn)了形式新穎的試題，其中以新定義型、新運算型為代表，主要考查學生的類比遷移能力．2.解答此類問題時，首先要借助于特例來讀懂、理解新定義、新運算，然后根據(jù)新定義、新運算做出類比推理．3．類比推理的一般形式：對象A：具有屬性a1，a2，…，an，m．對象B：具有屬性a′1，a′2，…，a′n，m′．(a1與a′1，a2與a′2，…，an與a′n相同或相似)對象B具有屬性m′(m′與m相同或相似)．典例6若記“*”表示兩個實數(shù)a與b的算術平均數(shù)的運算，即a*b＝eq\f(a＋b,2)，則兩邊均含有運算符號“*”和“＋”，那么對于任意3個實數(shù)a，b，c都能成立的一個等式可以是__(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)或(a*b)＋c＝(b*a)＋c等__．[解析]解決這道試題要把握住a*b＝eq\f(a＋b,2)，還要注意到試題的要求不僅類比推廣到三個數(shù)，而且等式兩邊均含有運算符號“*”和“＋”，則可容易得到a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．正確的結論還有：(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)，(a*b)＋c＝(b*a)＋c等．『規(guī)律方法』由于本題是探索性和開放性的問題，問題的解決需要經過一定的探索類比過程，并且答案不唯一．2.1.2演繹推理自主預習·探新知情景引入從前，有一個懶人得到一大甕的米，便開始想入非非：“如果我賣掉這些米，用賣米的錢買來盡可能多的小雞，這些小雞長大后會下很多蛋，然后我把雞和蛋賣了，再買來許多豬，當這些豬長大的時候，便會生許多小豬，等小豬長大后再把它們全賣了，我就有錢買一塊地了，有了地便可以種甘蔗和谷物，有了收成，我就可以買更多的地，再經營幾年，我就能夠蓋上一棟漂亮的房子，蓋好房子后，我將娶一個世上最美的女人做妻子！”懶人興奮得手舞足蹈，一腳踢翻了米甕，米落在地上，一大群雞把米啄食精光，小雞、豬、土地、房子和妻子，一切的一切都成了泡影，盡管懶人的結局是可悲的，但他的演繹術卻值得稱道．新知導學1．演繹推理從__一般性的原理__出發(fā)，推出__某個特殊__情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理，簡言之，演繹推理是由__一般到特殊__的推理．2．三段論“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的__一般原理__；(2)小前提——所研究的__特殊情況__；(3)結論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的__判斷__．其一般推理形式為大前提：M是P．小前提：S是M．結論：__S是P__．利用集合知識說明“三段論”：若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的一個子集，那么__S中所有元素也都具有性質P__．3．在演繹推理中，前提與結論之間存在必然的聯(lián)系，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么__結論__必定是正確的．因而演繹推理是數(shù)學中嚴格證明的工具，而合情推理的結論__不一定__正確．預習自測1．下列說法正確的是(D)A．演繹推理推出的結論一定正確B．演繹推理是由特殊到一般的推理C．演繹推理就是合情推理D．演繹推理是由一般到特殊的推理[解析]A錯，只有前提和推理形式都正確，其結論才一定正確，否則，就不正確；合情推理是由特殊到一般、由具體到抽象的推理或由特殊到特殊的推理，演繹推理是由一般到特殊的推理，所以B、C均錯，D正確．2．“所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)，某奇數(shù)是9的倍數(shù)，故該奇數(shù)是3的倍數(shù)．”上述推理(C)A．小前提錯 B．結論錯C．正確 D．大前提錯[解析]9＝3×3，所以大前提是正確的，又小前提和推理過程都正確，所以結論也正確，故上述推理正確．3．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求證：a＜b．證明：eq\x(\a\al(∵∠A＝30°，∠B＝60°，,∴∠A<∠B.))∴a＜b．畫框線部分是用演繹推理證明a＜b中的(B)A．前提 B．小前提C．結論 D．三段論[解析]求證：“a＜b”寫成三段論是：大前提：因為在三角形中，大角對大邊，小前提：∠A＝30°，∠B＝60°，則∠A＜∠B，結論：所以a＜b．故證明畫線部分是演繹推理的小前提，故選B．4．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函數(shù)f(x)＝ax，若實數(shù)m、n滿足f(m)>f(n)，則m、n的大小關系是__m＜n__．[解析]∵a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，∴函數(shù)f(x)＝ax是減函數(shù)，又∵f(m)>f(n)，∴m＜n．5．判斷下列推理是否正確？為什么？“因為過不共線的三點有且僅有一個平面(大前提)，而A、B、C為空間三點(小前提)，所以過A、B、C三點只能確定一個平面(結論)．”[解析]不正確，因為大前提中的“三點”不共線，而小前提中的“三點”沒有不共線的限制條件．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?把演繹推理寫成三段論形式典例1將下列推理寫成“三段論”的形式：(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對角線相等；(3)0.33eq\o(2,\s\up6(·))是有理數(shù)；(4)y＝sinx(x∈R)是周期函數(shù)．[思路分析]首先分析出每個題的大前提、小前提及結論，再寫成三段論的形式．[解析](1)向量是既有大小又有方向的量，大前提零向量是向量，小前提所以零向量也有大小和方向．結論(2)每一個矩形的對角線都相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的對角線相等．結論(3)所有的循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)，大前提0.33eq\o(2,\s\up6(·))是循環(huán)小數(shù)，小前提0.33eq\o(2,\s\up6(·))是有理數(shù)．結論(4)三角函數(shù)是周期函數(shù)，大前提y＝sinx是三角函數(shù)，小前提y＝sinx是周期函數(shù)．結論『規(guī)律方法』1.分析演繹推理的構成時，要正確區(qū)分大前提、小前提、結論，省略大前提的要補出來．2．判斷演繹推理是否正確的方法(1)看推理形式是否為由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演繹推理，這是最易出錯的地方；(2)看大前提是否正確，大前提往往是定義、定理、性質等，注意其中有無前提條件；(3)看小前提是否正確，注意小前提必須在大前提范圍之內；(4)看推理過程是否正確，即看由大前提，小前提得到的結論是否正確．┃┃跟蹤練習1__■將下列推理寫成三段論推理的形式：(1)所有的奇數(shù)都不能被4整除，所以15不能被4整除；(2)三角形的內角和為180°，Rt△ABC的內角和為180°；(3)菱形對角線互相平分；(4)函數(shù)f(x)＝x3＋sinx是奇函數(shù)．[解析](1)所有的奇數(shù)都不能被4整除．(大前提)15是奇數(shù)．(小前提)15不能被4整除．(結論)(2)三角形的內角和為180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的內角和為180°.(結論)(3)平行四邊形對角線互相平分．(大前提)菱形是平行四邊形．(小前提)菱形對角線互相平行．(結論)(4)若對函數(shù)f(x)定義域中的任意x，都有f(－x)＝－f(x)，則f(x)是奇函數(shù)．(大前提)對于函數(shù)f(x)＝x3＋sinx，當x∈R時，有f(－x)＝－f(x)．(小前提)所以函數(shù)f(x)＝x3＋sinx是奇函數(shù)．(結論)命題方向?三段論在證明幾何問題中的應用典例2已知在梯形ABCD中(如圖)，DC＝DA，AD∥BC．求證：AC平分∠BCD.(用三段論證明)[解析]∵等腰三角形兩底角相等，大前提△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是兩個底角，小前提∴∠1＝∠2.結論∵兩條平行線被第三條直線截得的內錯角相等，大前提∠1和∠3是平行線AD、BC被AC截得的內錯角，小前提∴∠1＝∠3.結論∵等于同一個角的兩個角相等，大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.結論『規(guī)律方法』應用演繹推理證明時，必須確切知道每一步推理的依據(jù)(大前提)，驗證條件是否滿足(小前提)，然后得出結論．┃┃跟蹤練習2__■用三段論分析下題的證明過程．如圖，D、E、F分別是BC、CA、AB上的點，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：ED＝AF．證明過程如下：∵∠BFD＝∠A，∴FD∥AE，又∵DE∥BA，∴四邊形AFDE是平行四邊形，∴ED＝AF．[解析]上述推理過程應用了三次三段論．第一次省略大前提和小前提的部分內容；第二次省略大前提并承前省了其中一組對邊平行的條件；第三次省略了大前提并承前省略了小前提，其完整演繹推理過程如下：因為同位角相等，兩條直線平行，大前提∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.結論因為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四邊形AFDE為平行四邊形．結論因為平行四邊形的對邊相等，大前提ED和AF為平行四邊形AFDE的對邊，小前提所以ED＝AF.結論命題方向?演繹推理在代數(shù)問題中的應用典例3證明：f(x)＝eq\f(1,x2)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．[思路分析]解答本題所依據(jù)的大前提是“在區(qū)間(a，b)內，若f′(x)＜0，則y＝f(x)在(a，b)內是減函數(shù)．”小前提是“f(x)＝eq\f(1,x2)在(0，＋∞)上滿足f′(x)＜0”．寫解題過程的關鍵環(huán)節(jié)就是驗證f′(x)＜0在(0，＋∞)上成立．[解析]∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝－eq\f(2,x3)，又x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＜0．∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)．『規(guī)律方法』在幾何、代數(shù)證題過程中，如果每一次都按三段論寫出解答過程會很繁瑣，也不必要．因此實際證題中，那些公認的簡單事實，已知的公理、定理等大前提條件可以省略，那些前面證得的結論也可省略，但必須要保證證題過程的嚴密規(guī)范．┃┃跟蹤練習3__■已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,x)＋bx，其中a>0，b>0，x∈(0，＋∞)，確定f(x)的單調區(qū)間，并證明在每個單調區(qū)間上的增減性．[解析]設0＜x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x1)＋bx1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x2)＋bx2))＝(x2－x1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x1x2)－b))，當0＜x1＜x2≤eq\r(\f(a,b))時，則x2－x1>0,0＜x1x2＜eq\f(a,b)，eq\f(a,x1x2)>b，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(a,b))))上是減函數(shù)．當x2>x1≥eq\r(\f(a,b))時，則x2－x1>0，x1x2>eq\f(a,b)，eq\f(a,x1x2)＜b，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,b))，＋∞))上是增函數(shù)．易混易錯警示三段論推理中大(小)前提錯誤致誤典例4如圖，已知S為△ABC所在平面外一點，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求證：AB⊥BC．[錯因分析]在立體幾何中，線面平行、垂直等位置關系的證明基本都是演繹推理三段論的過程，而這是一個難點，也是易錯點，其中主要的錯誤在于搞錯大前提，有時甚至隨意編造有關定理作為大前提，從而導致錯誤．[正解]證明：如圖，過點A作直線AE⊥SB于點E，因為平面SAB⊥平面SBC，且交線為SB，所以AE⊥平面SBC.又BC?平面SBC，所以BC⊥AE.因為SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC.又AE∩SA＝A，所以BC⊥平面SAB.所以BC⊥AB，即AB⊥BC．[點評]演繹推理的主要形式是由大前提、小前提、結論構成的三段論，它是一種必然性推理，其前提與結論之間有蘊涵關系．因而，只有演繹推理的前提是真實的，推理形式是正確的，結論才是真實的，錯誤的前提必定導致錯誤的結論．學科核心素養(yǎng)演繹推理的綜合應用演繹推理是推理證明的主要形式，在高考題目中，證明題及邏輯推理題占有重要地位，并且分布面廣，可能出現(xiàn)在函數(shù)、立體幾何、解析幾何、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列等不同的知識點中，因此我們要深刻理解并掌握演繹推理的特征．典例5已知函數(shù)f(x)，對任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當x>0時，f(x)＜0，f(1)＝－2．(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析](1)證明：因為x，y∈R時，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0．令y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．(2)設任意的x1，x2∈R且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，因為x>0時，f(x)＜0，所以f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)為R上的減函數(shù)，所以f(x)在[－3,3]上的最大值為f(－3)，最小值為f(3)．因為f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6，所以函數(shù)f(x)在[－3,3]上的最大值為6，最小值為－6．『規(guī)律方法』函數(shù)為抽象函數(shù)，可借助圖象或具體函數(shù)輔助理解：(1)奇偶性的判定可利用定義；(2)求函數(shù)的最值可利用單調性．2.2直接證明與間接證明2.2.1綜合法與分析法自主預習·探新知情景引入C先生上了公交車卻發(fā)現(xiàn)沒帶錢包，售票員不由分說讓他下車，一位小伙子微笑著遞過一塊錢，C先生很感激．車上的人開始小聲議論C先生是騙錢的，就在C先生生氣準備甩票下車的時候，借錢給他的小伙子大聲問：“能不能借一下您的手機？”C先生遞過手機，小伙子撥了個號碼，說了兩三分鐘的話，C先生想這下可以證明我的清白了．下車后C先生打開手機愣住了，原來小伙子根本沒有撥通電話，但是直接證明了他的清白．新知導學1．綜合法(1)定義：利用__已知條件__和某些數(shù)學__定義__、__定理__、__公理__等，經過一系列的__推理論證__，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法．(2)特點：從“已知”看“__可知__”，逐步推向“__未知__”，其逐步推理，是由__因__導__果__，實際上是尋找“已知”的__必要__條件．用綜合法證明數(shù)學問題，證明步驟嚴謹，逐層遞進，步步為營，條理清晰，形式簡潔，宜于表達推理的思維軌跡，并且綜合法的推理過程屬于演繹推理，它的每一步推理得出的結論都是正確的，不同于合情推理．使用綜合法證明問題，有時從條件可得出幾個結論，哪個結論才可作為下一步的條件是分析的要點，所以如何找到“__切入點__”和有效的__推理途徑__是有效利用綜合法證明數(shù)學問題的關鍵．2．分析法(1)定義：從要證明的__結論__出發(fā)，逐步尋求使它成立的__充分__條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)，這種證明方法叫做分析法(2)特點：分析法是綜合法的逆過程，即從“未知”看“__需知__”，執(zhí)果索因，逐步靠攏“__已知__”，其逐步推理，實際上是要尋找“結論”的__充分__條件．分析法的推理過程也屬于演繹推理，每一步推理都是嚴密的邏輯推理．預習自測1．要證明eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5)，可選擇的方法有下面幾種，其中最合理的是(B)A．綜合法 B．分析法C．特殊值法 D．以上均不合理[解析]利用分析法易確定命題成立的充分條件．2．分析法是從要證的不等式出發(fā)，尋求使它成立的(A)A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件[解析]∵分析法是逆向逐步找這個結論成立需要具備的充分條件；∴分析法是從要證的不等式出發(fā)，尋求使它成立的充分條件．故選A．3．設a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值為__9__．[解析]∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)＋eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq\r(\f(c,b)·\f(b,c))＝9，當且僅當a＝b＝c＝eq\f(1,3)時等號成立．4．設a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．[解析]因為a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>3(a2－b2)＝3(a－b)(a＋b)>0，所以3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)≥0，即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?綜合法的應用典例1已知a、b是正數(shù)，且a＋b＝1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4．[思路分析]注意到條件a＋b＝1，可在待證式中進行1的代換或利用字母之間的倒數(shù)關系，將待證式左邊乘以1，即乘以(a＋b)變形后用基本不等式證明．也可以先將a＋b＝1利用基本不等式轉化為eq\r(ab)的不等式，再看待證式能否向eq\r(ab)(或ab)轉化．[解析]解法一：∵a、b是正數(shù)且a＋b＝1，∴a＋b≥2eq\r(ab)，∴eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，∴ab≤eq\f(1,4)，eq\f(1,ab)≥4．∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4．解法二：∵a、b是正數(shù)，∴a＋b≥2eq\r(ab)＞0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))＞0，∴(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))≥4．又a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4．解法三：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝1＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4.當且僅當a＝b時，取“＝”號．『規(guī)律方法』1.綜合法證明數(shù)學命題的步驟第一步：分析條件，選擇方向．認真發(fā)掘題目的已知條件，特別是隱含條件，分析已知與結論之間的聯(lián)系，選擇相關的公理、定理、公式、結論，確定恰當?shù)慕忸}方法．第二步：轉化條件，組織過程．把題目的已知條件，轉化成解題所需要的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉化．組織過程時要有嚴密的邏輯，簡潔的語言，清晰的思路．第三步：適當調整，回顧反思．解題后回顧解題過程，可對部分步驟進行調整，并對一些語言進行適當?shù)男揎?，反思總結解題方法的選?。?．綜合法證明不等式依賴的主要是不等式的基本性質和已知的重要不等式，其中常用的有如下幾個：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a、b∈R)，其變形有a2＋b2≥2ab，(eq\f(a＋b,2))2≥ab，a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)．③若a、b∈(0，＋∞)，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2．┃┃跟蹤練習1__■已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：(a＋eq\f(1,a))(b＋eq\f(1,b))≥eq\f(25,4)．[解析]∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≤eq\f(1,4)．∴(a＋eq\f(1,a))(b＋eq\f(1,b))－eq\f(25,4)＝eq\f(a2＋1,a)·eq\f(b2＋1,b)－eq\f(25,4)＝eq\f(4a2b2－33ab＋8,4ab)＝eq\f(1－4ab8－ab,4ab)≥0．∴(a＋eq\f(1,a))(b＋eq\f(1,b))≥eq\f(25,4)．命題方向?分析法的應用典例2設a、b為實數(shù)，求證：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．[解析]當a＋b≤0時，∵eq\r(a2＋b2)≥0，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．當a＋b＞0時，用分析法證明如下：要證eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需證(eq\r(a2＋b2))2≥[eq\f(\r(2),2)(a＋b)]2．即證a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab．∵a2＋b2≥2ab對一切實數(shù)恒成立，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．綜上所述，不等式得證．『規(guī)律方法』分析法證明不等式的依據(jù)、方法與技巧．(1)解題依據(jù)：分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論．(2)適用范圍：對于一些條件復雜，結構簡單的不等式的證明，經常用綜合法．而對于一些條件簡單、結論復雜的不等式的證明，常用分析法．(3)思路方法：分析法證明不等式的思路是從要證的不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式．(4)應用技巧：用分析法證明數(shù)學命題時，一定要恰當?shù)赜煤谩耙C”“只需證”“即證”等詞語．┃┃跟蹤練習2__■已知a>5，求證：eq\r(a－5)－eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)－eq\r(a)．[解析]要證eq\r(a－5)－eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)－eq\r(a)，只需證eq\r(a－5)＋eq\r(a)＜eq\r(a－2)＋eq\r(a－3)，只需證(eq\r(a－5)＋eq\r(a))2＜(eq\r(a－2)＋eq\r(a－3))2，即2a＋2eq\r(a2－5a)－5＜2a－5＋2eq\r(a2－5a＋6)，即只需證eq\r(a2－5a)＜eq\r(a2－5a＋6)，只需證a2－5a＜a2－5a＋6，即證：0＜6，此不等式恒成立，所以原不等式成立．易混易錯警示準確把握條件典例3設a＋b＞0，n為偶數(shù)，求證：eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)．[錯解]eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)－eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(an－bnan－1－bn－1,abn)．∵n為偶數(shù)，∴(ab)n＞0．又∵an－bn和an－1－bn－1同號，∴eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)－eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＞0，∴eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)．[辨析]這里題目中的條件為a＋b>0，而不是a>0，b>0，因此，應分a＞0且b＞0和a，b有一個為負值兩種情況加以討論．[正解]eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)－eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(an－bnan－1－bn－1,abn)．①當a＞0，b＞0，a＋b＞0時，(an－bn)(an－1－bn－1)≥0，(ab)n＞0，∴eq\f(an－bnan－1－bn－1,abn)≥0，∴eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)．②當a、b有一個為負值時，不妨設a＞0，b＜0，且a＋b＞0，∴a＞|b|．∴(ab)n＞0，an＞0，bn＞0，an－1＞0，bn－1＜0，故an－bn＞0，an－1－bn－1＞0，∴eq\f(an－bnan－1－bn－1,abn)≥0，∴eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)．∴由①②知結論成立．學科核心素養(yǎng)利用分析法、綜合法證明問題綜合法和分析法各有優(yōu)缺點，從尋求解題思路來看，綜合法由因導果，分析法執(zhí)果索因．就表達證明過程而論，綜合法形式簡潔，條理清晰，分析法敘述煩瑣，在實際解題時，常常把分析法和綜合法綜合起來運用．先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程．典例4已知三角形ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且三個內角A，B，C構成等差數(shù)列，求證：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)．[思路分析]本題條件較為簡單，但結論中的等式較為復雜，故可首先用分析法，將欲證等式進行轉化，轉化為一個較為簡單的式子，然后再從已知條件入手，結合余弦定理，推導出這個式子即可得證．[解析]要證eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即證eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，化簡得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，即只需證明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需證明c2＋a2＝b2＋ac．因為三個內角A，B，C構成等差數(shù)列，所以2B＝A＋C，又因為A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，即B＝60°，由余弦定理可得cos60°＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，所以c2＋a2－b2＝ac，即c2＋a2＝b2＋ac成立，因此原等式成立．『規(guī)律方法』1.有些數(shù)學問題的證明，需要把綜合法與分析法結合起來使用：根據(jù)條件的結構特點去轉化結論，得到中間結論Q；根據(jù)結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論P.若由P可以推出Q成立，就可以證明結論成立，這種邊分析邊綜合的證明方法，稱為分析綜合法，或者稱“兩頭湊法”．2．在證明過程中，分析法能夠發(fā)現(xiàn)證明的思路，但解題的表述過程較為煩瑣，而綜合法表述證明過程則顯得簡潔，因此在實際解題過程中，常常將分析法和綜合法結合起來運用，先利用分析法探求得到解題思路，再利用綜合法條理地表述解題過程．2.2.2反證法自主預習·探新知情景引入從前，某國王一貫自我標榜不僅是至高無上的權威，而且更是一個“大慈大悲”的救世主，他在處決犯人之前，要恩賜一個機會，叫他們去抽生死簽，如果抽到“活”字，就可幸免一死．有一次，一個囚犯行將處決，他的冤家買通獄吏，把兩張紙都寫上“死”．不料有人把此消息透漏給犯人，可犯人聞后卻高興地說“啊！我可死里逃生了”．國王宣布抽簽后，犯人抽出一張簽，二話不說便吞入腹中，這下在場的人慌了手腳，因為誰也搞不清楚犯人吞下的是“死”還是“活”，只聽國王大聲呵斥：“混蛋，你們只要看一下剩下的那張紙簽就是了．”顯然剩下的是“死”簽，由此反證犯人吞下的是“活”簽，聰明的犯人死里逃生，就是巧用了本節(jié)課要學習的方法——反證法．新知導學1．反證法的定義一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出__矛盾__，因此說明假設__錯誤__，從而證明了原命題__成立__，這樣的證明方法叫做反證法．反證法是間接證明的一種基本方法．2．反證法證題的原理(1)反證法的原理是“否定之否定等于肯定”．(2)用反證法解題的實質就是否定結論，導出矛盾，從而說明原結論正確．3．反證法常見的矛盾類型反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個矛盾可以是與__已知條件__矛盾，或與__假設__矛盾，或與__定義、公理、定理__、事實矛盾等．4．反證法的適用對象作為一種間接證明方法，反證法尤其適合證明以下幾類數(shù)學問題：(1)直接證明需分多種情況的；(2)結論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題——否定性命題；(3)關于唯一性、存在性的命題；(4)__結論__以“至多”“至少”等形式出現(xiàn)的命題；(5)條件與結論聯(lián)系不夠明顯，直接由條件推結論的線索不夠清晰，__結論__的反面是比原結論更具體、更容易研究的命題．預習自測1．用反證法證明“如果a3>b3，則a>b”，假設的內容是(C)A．a＜b B．a＝bC．a≤b D．a≥b[解析]用反證法證明“如果a3>b3，則a>b”時，提出的假設為a≤b．2．設a、b、c都是正數(shù)，則三個數(shù)a＋eq\f(1,b)、b＋eq\f(1,c)、c＋eq\f(1,a)(C)A．都大于2 B．至少有一個大于2C．至少有一個不小于2 D．至少有一個不大于2[解析]假設都小于2，則(a＋eq\f(1,b))＋(b＋eq\f(1,c))＋(c＋eq\f(1,a))＜6，而a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＝a＋eq\f(1,a)＋b＋eq\f(1,b)＋c＋eq\f(1,c)≥2＋2＋2＝6.矛盾．3．實數(shù)a、b、c不全為0等價于(D)A．a、b、c均不為0B．a、b、c中至多有一個為0C．a、b、c中至少有一個為0D．a、b、c中至少有一個不為0[解析]“不全為0”的含義是至少有一個不為0，其否定應為“全為0”．4．用反證法證明命題：“若a、b是實數(shù)，且|a－1|＋|b－1|＝0，則a＝b＝1”時，應作的假設是__假設a≠1或b≠1__．[解析]結論“a＝b＝1”的含義是a＝1且b＝1，故其否定應為“a≠1或b≠1”．5．求證：一個三角形中，至少有一個內角不小于60°．[解析]假設△ABC的三個內角A、B、C都小于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°．相加得∠A＋∠B＋∠C＜180°．這與三角形內角和定理矛盾．所以假設不成立，故原命題正確．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?用反證法證明否(肯)定性命題典例1設{an}、{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn＝an＋bn，證明：數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．[解析]假設{cn}是等比數(shù)列，則當n≥2時，(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)·(an＋1＋bn＋1)．所以aeq\o\al(2,n)＋2anbn＋beq\o\al(2,n)＝an－1an＋1＋an－1bn＋1＋bn－1an＋1＋bn－1bn＋1．設{an}、{bn}的公比分別為p、q(p≠q)．因為aeq\o\al(2,n)＝an－1·an＋1，beq\o\al(2,n)＝bn－1·bn＋1，所以2anbn＝an－1bn＋1＋bn－1an＋1＝eq\f(an,p)·bn·q＋eq\f(bn,q)·an·p，所以2＝eq\f(q,p)＋eq\f(p,q)，所以當p≠q時，eq\f(q,p)＋eq\f(p,q)>2或eq\f(q,p)＋eq\f(p,q)≤－2與eq\f(q,p)＋eq\f(p,q)＝2矛盾，所以{cn}不是等比數(shù)列．『規(guī)律方法』1.結論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法．2．用反證法證題時，必須把結論的否定作為條件使用，否則就不是反證法．有時在證明命題“若p，則q”的過程中，雖然否定了結論q，但是在證明過程中沒有把“?q”當作條件使用，也推出了矛盾或證得了結論，那么這種證明過程不是反證法．┃┃跟蹤練習1__■已知a是整數(shù)，且a2＋2a是奇數(shù)，求證：a不是偶數(shù)．[解析]假設a是偶數(shù)，不妨設a＝2k(k∈Z)，于是a2＋2a＝(2k)2＋2·2k＝4k2＋4k＝4(k2＋k)，由于k∈Z，所以k2＋k∈Z．因此4(k2＋k)是偶數(shù)，即a2＋2a是偶數(shù)．這與已知a2＋2a是奇數(shù)相矛盾，故假設不成立，即a不是偶數(shù)．命題方向?用反證法證明“至多”“至少”類命題典例2已知x，y>0，且x＋y>2．求證：eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)中至少有一個小于2．[思路分析]明確“至少”的含義→對結論作出假設→得出矛盾．[解析]假設eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)都不小于2，即eq\f(1＋x,y)≥2，eq\f(1＋y,x)≥2，∵x>0，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)．即x＋y≤2，這與已知x＋y>2矛盾．∴eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)中至少有一個小于2．『規(guī)律方法』1.當命題中出現(xiàn)“至少”“至多”“不都”“都不”“沒有”“唯一”等指示性詞語時，宜用反證法．2．用反證法證題，必須準確寫出命題的否定，把命題所包含的所有可能情形找全，范圍既不縮小，也不擴大．常用反設詞如下：結論詞反設詞結論詞反設詞至少有一個一個也沒有對所有x成立存在某個x0不成立至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在某個x0成立至少有n個至多有n－1個p或q?p且?q至多有n個至少有n＋1個p且q?p或?q┃┃跟蹤練習2__■設a、b、c都是小于1的正數(shù)，求證：(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a三個數(shù)不可能同時大于eq\f(1,4)．[解析]假設三個數(shù)都大于eq\f(1,4)，即(1－a)b＞eq\f(1,4)，(