第3章剛體的基本運動

1運動學(xué)篇第3章

剛體的基本運動2第3章剛體的基本運動

動畫

例題3第3章剛體的基本運動

動畫4

動畫第3章

剛體的基本運動平移實例5

動畫第3章

剛體的基本運動剛體的平移6

動畫第3章

剛體的基本運動平移剛體各點的速度相同7

動畫第3章

剛體的基本運動平移剛體各點的加速度相同8

動畫第3章

剛體的基本運動平移實例9

動畫第3章

剛體的基本運動平移和定軸轉(zhuǎn)動實例10

動畫第3章

剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動11

動畫第3章

剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動剛體速度分布12

動畫第3章

剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動剛體加速度分布13

動畫第3章

剛體的基本運動平動和定軸轉(zhuǎn)動剛體的速度14

動畫第3章

剛體的基本運動角速度矢量15

動畫第3章

剛體的基本運動角速度矢量16

動畫第3章

剛體的基本運動用矢積表示點的速度17

動畫第3章

剛體的基本運動用矢積表示點的加速度18第3章剛體的基本運動

例題19

蕩木用兩條等長的鋼索平行吊起，如圖所示。鋼索長為長l，度單位為m。當蕩木擺動時鋼索的擺動規(guī)律為，其中t為時間，單位為s；轉(zhuǎn)角φ0的單位為rad，試求當t=0和t=2s時，蕩木的中點M的速度和加速度。例題1

剛體的基本運動

例題OABO1O2φll（+）M20

由于兩條鋼索O1A和O2B的長度相等，并且相互平行，于是蕩木AB在運動中始終平行于直線O1O2，故蕩木作平移。

為求中點M的速度和加速度，只需求出A點（或B點）的速度和加速度即可。點A在圓弧上運動，圓弧的半徑為l。如以最低點O為起點，規(guī)定弧坐標s向右為正，則A點的運動方程為將上式對時間求導(dǎo)，得A點的速度解：例題1

剛體的基本運動

例題OABO1O2φll（+）M21再求一次導(dǎo)，得A點的切向加速度代入t=0和t=2，就可求得這兩瞬時A點的速度和加速度，亦即點M在這兩瞬時的速度和加速度。計算結(jié)果列表如下：A點的法向加速度例題1

剛體的基本運動

例題OABO1O2φll（+）M00φ02

（鉛直向上）0

（水平向右）00an(m·s－2)at(m·s－2)v(m·s－1)φ(rad)t(s)

22

滑輪的半徑r=0.2m，可繞水平軸O轉(zhuǎn)動，輪緣上纏有不可伸長的細繩，繩的一端掛有物體A（如圖），已知滑輪繞軸O的轉(zhuǎn)動規(guī)律φ=0.15t3，其中t以s計，φ

以rad計，試求t=2s時輪緣上M點和物體A的速度和加速度。AOαωM例題2

剛體的基本運動

例題23

首先根據(jù)滑輪的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求得它的角速度和角加速度代入t=2s，得輪緣上M點上在

t=2s時的速度為vMAOαωM解：例題1

剛體的基本運動

例題24AOαωM加速度的兩個分量vM總加速度aM

的大小和方向atanaMφ例題2

剛體的基本運動

例題25AOαωM

因為物體A與輪緣上M點的運動不同，前者作直線平移，而后者隨滑輪作圓周運動，因此，兩者的速度和加速度都不完全相同。由于細繩不能伸長，物體A與M點的速度大小相等，A的加速度與M點切向加速度的大小也相等，于是有vMatana它們的方向鉛直向下。vAaA例題2

剛體的基本運動

例題26

已知如圖所示的擺繞固定水平軸O的轉(zhuǎn)動方程是，式中φ表示擺對鉛直線的偏角，φ0為最大偏角；T表示擺的周期。已知擺的重心C到軸O的距離為l，試求在初瞬時和經(jīng)過平衡位置(φ=0)時重心的速度和加速度。例題3

剛體的基本運動

例題CC0lC1Oφ0φ27CC0lC1Oφ0φ

將轉(zhuǎn)動方程對時間求導(dǎo)，得擺的角速度和角加速度

以t=0代入上式，得擺在初瞬時的角速度和角加速度此時重心C0的速度和加速度分別為此瞬時C0點的總加速度a0等于切向加速度，方向指向角φ減小的一邊。a0解：例題3

剛體的基本運動

例題28CC0lC1Oφ0φ此時重心C1的速度和加速度分別為此瞬時C0點的總加速度a1等于法向加速度方向指向轉(zhuǎn)軸O。得擺在初瞬時的角速度和角加速度每次經(jīng)過平衡位置φ=0的瞬時，即或av1a1=a1n因而代入例題3

剛體的基本運動

例題29sBAOMvR

半徑R=20cm的滑輪可繞水平軸O轉(zhuǎn)動，輪緣上繞有不能伸長的細繩，繩的另一端與滑輪固連，另一端則系有重物A，設(shè)物體A從位置B出發(fā)，以勻加速度a=4.9

m·s－2向下降落，初速v0=4m·s－1，求當物體落下距離s=2m時輪緣上一點M

的速度和加速度。例題4

剛體的基本運動

例題30根據(jù)v2–v02=2as，得M點的速度M點的法向加速度M點的切向加速度

M點的總加速度解:sBAOMvR例題4

剛體的基本運動

例題31

圖示為一對外嚙合的圓柱齒輪，分別繞固定軸O1和O2轉(zhuǎn)動，兩齒輪的節(jié)圓半徑分別為r1和r2，已知某瞬時主動輪Ⅰ的角速度為ω1

，角加速度為α1，試求該瞬時從動輪Ⅱ

的角速度ω2和角加速度α2

，為簡便起見，本例的ω1

，ω2

，α1

，α2都代表絕對值。例題5

剛體的基本運動

例題ⅠⅡO1O2M1M2ω1ω2α1α2r2r132ⅠⅡO1O2M1M2ω1ω2α1α2r2r1

齒輪傳動可簡化為兩輪以節(jié)圓相切并在切點處無相對滑動，因而兩輪的嚙合點M1與M2恒具有相同的速度與切向加速度。即v1v2a2ta1t或因而從動輪的角速度和角加速度分別為顯然，ω2，α2的轉(zhuǎn)向分別與ω1

,

α1相反。傳動比為解：例題5

剛體的基本運動

例題33n1ⅣⅠⅡⅢ

減速箱由四個齒輪構(gòu)成，如圖所示。齒輪Ⅱ和Ⅲ安裝在同一軸上，與軸一起轉(zhuǎn)動。各齒輪的齒數(shù)分別為z1=36，z2=112，z3=32和z4=128

，如主動軸Ⅰ的轉(zhuǎn)速n1=1450r﹒min－1，試求從動輪Ⅳ的轉(zhuǎn)速n4。例題6

剛體的基本運動

例題34解：用n1，n2

，n3和n4分別表示各齒輪的轉(zhuǎn)速，且有應(yīng)用齒輪的傳動比公式，得將兩式相乘，得因為n2=n3，于是從動輪Ⅰ到齒輪Ⅳ的傳動比為由圖可見，從動輪Ⅳ和主動輪Ⅰ的轉(zhuǎn)向相同。最后，求得從動輪Ⅳ的轉(zhuǎn)速為例題6

剛體的基本運動

例題n1ⅣⅠⅡⅢ35

物體A和B以不可伸長的繩子分別繞在半徑RA=50cm和RB=30cm的滑輪上。已知重物A具有勻加速度aA=100cm·s－2，且初速度vA0=150cm·s－1，兩者都向上。試求：（1）滑輪在t=3s內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)，（2）當t=3s時重物B的速度和走過的路程，（3）當t=0時滑輪邊緣上C點的加速度。ORARBABC例題7

剛體的基本運動

例題36

滑輪邊緣上C點沿圓周的位移恒等于重物A的位移；C點的速度和切向加速度分別等于A點的速度和加速度的大小。故有可見滑輪的初角速度滑輪的角加速度等于常量，等于1.求滑輪在3s內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)。解：例題7

剛體的基本運動

例題ORARBCABDvC0vA0aCtaA37

根據(jù)勻加速轉(zhuǎn)動的角速度和轉(zhuǎn)角公式，直接可得此時滑輪的轉(zhuǎn)角其中φ0是滑輪的初轉(zhuǎn)角，決定于參考平面的選擇；為了方便，可令φ0=0?；喸?s內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)是（轉(zhuǎn)）例題7

剛體的基本運動

例題ORARBCABDvC0vA0aCtaA382.求當t=3s時滑輪的角速度和走過的路程。重物B在3s內(nèi)所走過的路程從而求出這時B點的速度例題7

剛體的基本運動

例題ORARBCABDvC0vA0aCtaA39ORARB

當t=0時滑輪邊緣上C點的切向加速度和法向加速度分別為CABDvC0vA0aCtaA且aC偏到CO的右側(cè)，如圖所示。故C點在t=0時的全加速度的大小，以及它和半徑的夾角分別等于aCnaβ3.求當t=0時滑輪邊緣上C點的加速度。例題7

剛體的基本運動

例題40

如圖a，b分別表示一對外嚙合和內(nèi)嚙合的圓柱齒輪。已知齒輪Ⅰ的角速度是ω1

，角加速度是α1，試求齒輪Ⅱ的角速度ω2和角加速度α2

，齒輪Ⅰ和Ⅱ的節(jié)圓半徑分別是R1和R2，齒數(shù)分別是z1和z2。ⅠⅡO1O2ⅠⅡO1O2（a）（b）例題8

剛體的基本運動

例題41（b）設(shè)A，B是齒輪Ⅰ，Ⅱ節(jié)圓上相嚙合的點。但ⅠⅡO1O2（a）vAvBABvAvBABα1α2ω2ω1ω1ω2故得在這兩嚙合點間無相對滑動，因而它們具有相等的速度大小，同樣也具有相等的切向加速度。于是有解：例題8

剛體的基本運動

例題轉(zhuǎn)向分別如圖所示。ⅠⅡO1O242DⅤⅣⅢⅡⅠn1

圖中是帶式輸送機，已知主動輪Ⅰ的轉(zhuǎn)速n1是1200r﹒min－1，齒數(shù)z1=24，齒輪Ⅲ與Ⅳ用鏈條聯(lián)動，齒數(shù)分別是z3=15和z4=45。帶輪Ⅴ和齒輪Ⅳ相固連，直徑D等于46cm，如要求輸送帶的速度v大約等于2.4m·s－1

，求輪Ⅱ應(yīng)有的齒數(shù)z2。例題9

剛體的基本運動

例題43

對于直接嚙合的齒輪或用齒條聯(lián)動的一對齒輪，轉(zhuǎn)速與齒數(shù)成反比。以n

表示轉(zhuǎn)速，則：因而故解:輪Ⅳ的轉(zhuǎn)速為例題9

剛體的基本運動

例題DⅤⅣⅢⅡⅠn144ABrx

自動積分機構(gòu)中的圓盤A以勻角速度轉(zhuǎn)動，依靠摩擦使輪B隨同轉(zhuǎn)動而無滑動；輪B的軸線與圓盤A的軸線垂直相交，距離x可按其一已知規(guī)律x=f(t)變化。(1)證明輪B的轉(zhuǎn)數(shù)與函數(shù)f(t)對于時間的積分成正比，因而機構(gòu)可以自動積分。(2)設(shè)x在5s鐘內(nèi)由5cm勻速地改變?yōu)?0cm，且ω0=8rad·s－1

，r=2.5cm，試計算輪B的轉(zhuǎn)數(shù)。

例題10

剛體的基本運動

例題45解:

因為兩輪的接觸點具有公共切向加速度，v=ω0x=rω。其中為