北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊《利用相似三角形測高》示范公開課教學(xué)設(shè)計(jì)

第四章圖形的相似4.6利用相似三角形測高一、教學(xué)目標(biāo) 1.通過測量旗桿的高度，理解利用相似三角形測高的幾種方法．2.能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ú⒔柚嗨迫切谓鉀Q測量高度問題.3.通過測量旗桿的高度，綜合運(yùn)用三角形相似的判定定理和相似三角形的定義解決問題，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，加深對相似三角形的理解和認(rèn)識(shí)．4.在分組合作活動(dòng)及全班交流的過程中，進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心.二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：通過測量旗桿的高度，理解利用相似三角形測高的幾種方法．難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)姆椒ú⒔柚嗨迫切谓鉀Q測量高度問題.三、教學(xué)用具電腦、多媒體、課件、教學(xué)用具等.四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境【情景引入】活動(dòng)1：展示3張高大建筑的照片，請學(xué)生觀察并思考這些頂部不可到達(dá)的高大建筑，要如何測量它們的高度呢？活動(dòng)2：講述測量故事，胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被譽(yù)為“世界古代八大奇跡之一”，古希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用相似三角形的原理測量金字塔的高度.提出問題:你知道他是怎么做到的嗎？引入主題.預(yù)設(shè)：利用相似三角形中的線段成比例計(jì)算.觀察圖片，思考如何測量這些建筑物的高度.閱讀材料，了解可以利用三角形相似的知識(shí)測量建筑物的高.從測量知名建筑物高度的問題入手，引發(fā)學(xué)生思考.通過古人測量金字塔高度的故事講述，提供學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.環(huán)節(jié)二探究新知【合作探究】活動(dòng)說明：明確探究活動(dòng)的主題，測量校園中旗桿的高度，講解活動(dòng)方式，分發(fā)活動(dòng)工具.組織學(xué)生先討論實(shí)施方案后，實(shí)地測量，收集測量數(shù)據(jù)后總結(jié).活動(dòng)課題：利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)測量旗桿(或路燈)的高度；活動(dòng)方式：分組活動(dòng)、全班交流研討.工具：小鏡子、標(biāo)桿、皮尺等測量工具.探究方法1：利用陽光下的影子如圖，每個(gè)小組選一名同學(xué)直立于旗桿影子的頂端處.其他人分為兩部分，一部分同學(xué)測量該同學(xué)的影長，另一部分同學(xué)測量同一時(shí)刻旗桿的影長.思考1：根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出旗桿的高度嗎？說明你的理由.預(yù)設(shè)：解：如圖所示：∵AB⊥ED，CD⊥ED，∴∠ABE=∠CDB=90°.∵AE∥CB，∴∠AEB=∠CBD.∴△AEB∽△CBD.思考2：這種測量方法，需要測出哪些長度？如何求旗桿的高？預(yù)設(shè)：同學(xué)的身高AB、同學(xué)的影長BE、旗桿的影長DB.（參看課件展示的數(shù)據(jù)）教師活動(dòng)：給出測量數(shù)據(jù)，讓學(xué)生計(jì)算求取旗桿的高.預(yù)設(shè)：解：∵△AEB∽△CBD.∴∴解得CD=20m.探究方法2：利用標(biāo)桿如圖，每個(gè)小組選一名同學(xué)作為觀測者，在觀測者與旗桿之間的地面上直立一根高度適當(dāng)?shù)臉?biāo)桿.觀測者適當(dāng)調(diào)整自己所處的位置，使旗桿的頂端、標(biāo)桿的頂端與自己的眼睛恰好在一條直線上，這時(shí)其他同學(xué)立即測出標(biāo)桿的高.腳到旗桿底端的距離，以及觀測者的腳到標(biāo)桿底端的距離.然后測出標(biāo)桿的高.思考1：根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出旗桿的高度嗎？說明你的理由.預(yù)設(shè)：解：過點(diǎn)A做AN⊥CD，交EF于M.則∠AME=∠ANC=90°，又∵點(diǎn)A、E、C三點(diǎn)共線，∴∠EAM=∠CAN.∴△AME∽△ANC.思考2：這種測量方法，需要測出哪些長度？如何求旗桿的高？預(yù)設(shè):同學(xué)的眼睛到地面距離AB、同學(xué)到標(biāo)桿的距離BF、同學(xué)到旗桿的距離BD、標(biāo)桿的高EF.教師活動(dòng)：給出測量數(shù)據(jù)，讓學(xué)生計(jì)算求取旗桿的高.預(yù)設(shè)：解：∵△AME∽△ANC.∴解得CN=18.5.∴CD=1.5+18.5=20(m)探究方法3：利用鏡子反射如圖，每個(gè)小組選一名同學(xué)作為觀測者，在觀測者與旗桿之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，觀測者看著鏡子來回移動(dòng)，直至看到旗桿頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合.思考1：測量所需的數(shù)據(jù)，根據(jù)所測的結(jié)果你能求出旗桿的高度嗎？說明你的理由.預(yù)設(shè)：解：如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，則∠ABE=∠CDE=90°，又∵∠AEB=∠CED(光線的入射角等于反射角).∴△ABE∽△CDE.思考2：這種測量方法，需要測出哪些長度？如何求旗桿的高？預(yù)設(shè):同學(xué)的眼睛到地面的距離AB、同學(xué)到鏡子中標(biāo)記的距離BE、鏡子到旗桿的距離DE.教師活動(dòng)：給出測量數(shù)據(jù)，讓學(xué)生計(jì)算求取旗桿的高.預(yù)設(shè)：解：∵△ABE∽△CDE.∴即解得CD=20(m).【想一想】你還有哪些測量旗桿高度的方法?教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生多動(dòng)腦筋，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)言，提示學(xué)生方法很多.預(yù)設(shè)：在旗桿旁邊立一個(gè)木棍，測量棍長和影長，再測量旗桿的影長，由可求出旗桿長.在旗桿前方地上放置測角儀，移動(dòng)測角儀的位置，使得測角儀測量到的旗桿頂端到地面的直線與地面成45°，測量此時(shí)測角儀到旗桿的距離后加上測角儀的高度，即可求出旗桿的高度.【讀一讀】教師活動(dòng)：讓學(xué)生進(jìn)行閱讀思考，為后續(xù)提出的問題準(zhǔn)備.劉徽，公元3世紀(jì)人，是中國歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家之一.《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是他留給后世最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn).《海島算經(jīng)》最早附于《九章算術(shù)注》之后，唐初開始單行.劉徽在該書中精心編了九個(gè)測量問題，都是利用測量的方法來計(jì)算高、深、廣、遠(yuǎn)問題的.其中第一個(gè)問題是測算海島的高、遠(yuǎn)問題，因此得名.《海島算經(jīng)》是中國最早的一部測量數(shù)學(xué)專著，也是中國古代高度發(fā)達(dá)的地圖學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).跟隨老師提供的方法，與小組同學(xué)一起討論、設(shè)計(jì)方案.思考利用陽光下的影子如何測量旗桿的高度.利用學(xué)習(xí)的相似三角形的相關(guān)知識(shí)及測量得到的數(shù)據(jù)，計(jì)算旗桿的高度.小組分工合作，嘗試用“利用標(biāo)桿”的方法測量旗桿的高度.利用學(xué)習(xí)的相似三角形的相關(guān)知識(shí)及測量得到的數(shù)據(jù)，計(jì)算旗桿的高度.小組分工合作，嘗試用“利用鏡子反射”的方法測量旗桿的高度.思考如何利用鏡子反射測量旗桿高度，并小組討論證明.利用學(xué)習(xí)的相似三角形的相關(guān)知識(shí)及測量得到的數(shù)據(jù)，計(jì)算旗桿的高度.思考其他可以測量旗桿高度的方法并踴躍回答.閱讀學(xué)習(xí)古代測量高度的故事.測量某些不能直接度量的物體的高度，是綜合運(yùn)用相似知識(shí)的最佳情境，同時(shí)，也可以很好地體現(xiàn)學(xué)生個(gè)性化的學(xué)習(xí)特征，實(shí)現(xiàn)學(xué)生之間的合作與交流.直接運(yùn)用三角形的相似知識(shí),以及“太陽光是平行的”證明兩個(gè)直角三角形相似.借助標(biāo)桿工具測量旗桿高度是一種測量高度的常見方法，注意觀察者的眼睛必須與標(biāo)桿的頂端、旗桿的頂端，三點(diǎn)共線，標(biāo)桿與地面要垂直.利用鏡子反射測量旗桿高度，主要用到光線的“反射角等于入射角”的知識(shí)，這是物理中要學(xué)的內(nèi)容，屬于跨學(xué)科應(yīng)用.引導(dǎo)學(xué)生積極參與，在各人獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，充分交流，集思廣益.數(shù)學(xué)文化學(xué)習(xí).環(huán)節(jié)三應(yīng)用新知【典型例題】教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過程.例《海島算經(jīng)》第一個(gè)問題的大意是：如圖，要測量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高3丈的標(biāo)桿BC和DE，兩桿之間的距離BD=1000步，D，B，H成一線，DG=127步；從B處退行123步到F，人的眼睛貼著地面觀察A點(diǎn)，A，C，F(xiàn)，三點(diǎn)成一線.試計(jì)算山峰的高度AH及HB的長(這里1步=6尺，1丈=10尺，結(jié)果用丈表示）.怎樣利用相似三角形求得線段AH及HB的長呢？請你試一試！教師分析：先將步數(shù)與丈的單位統(tǒng)一成尺再進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)△AHF∽△CBF，得；由△AHG∽△EDG，得利用這兩個(gè)比例式可以求得HB和AH，最后結(jié)果要化成丈．展示完整解題過程：解：如圖，CB=ED=3丈=30尺，BD=1000步=6000尺，BF=123步=738尺，DG=127步=762尺.∵AH⊥HG，CB⊥HG，∴∠AHF=∠CBF，又∠AFH=∠CFB，∴△AFH∽△CFB.∴即同理△AHG∽△EDG，得即∴由①②兩式可以解得HB=184500尺=18450丈，AH=7530尺=735丈.明確例題的解法，嘗試獨(dú)立解答，并交流討論.通過解決例題讓學(xué)生體會(huì)利用三角形相似測高的方法，同時(shí)綜合運(yùn)用之前學(xué)過的方程有關(guān)的知識(shí)，注意引導(dǎo)學(xué)生閱讀、理解題意.環(huán)節(jié)四鞏固新知教師給出練習(xí)，隨時(shí)觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.1.高4m的旗桿在水平面上的影子長6m，此時(shí)測得附近一個(gè)建筑物的影子長24m，則該建筑物的高度為m.2.如圖，是小玲設(shè)計(jì)用手電來測量某古城墻高度的示意圖．在點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻CD的頂端C處．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且測得AB＝1.2m，BP＝1.8m，PD＝12m.那么該古城墻CD的高度是()A．6mB．8mC．18mD．21m3.小明為測量一棵樹CD的高度，他在距樹24m處立了一根高為2m的標(biāo)桿EF，然后小明前后調(diào)整自己的位置，當(dāng)他與樹相距27m時(shí)，他的眼睛、標(biāo)桿的頂端和樹頂端在同一直線上，已知小明眼睛到地面的距離為1.6m，求樹的高度.答案：1.162.B3.解：如圖，由題意得：AB=1.6m，EF=2m，BD=27m，F(xiàn)D=24m.過點(diǎn)A作AN∥BD交CD于N、EF于M.∵∠EMA=∠CNA，∠1=∠1，∴△AEM∽△ACN.∴解得CN=3.