第2課時函數(shù)的單調(diào)性和最值（解析版）

第2課時函數(shù)的單調(diào)性和最值編寫：廖云波【回歸教材】1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2.導(dǎo)數(shù)單調(diào)性問題(1)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．(2)已知函數(shù)的單調(diào)性問題單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.3.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值4.函數(shù)相加或相減后單調(diào)性：設(shè)，兩個函數(shù)，在區(qū)間上的單調(diào)性如下表，則在上的單調(diào)性遵循（增+增=增；減+減=減；增-減=增+增=增；減-增=減+減=減）【典例講練】題型一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例1-1】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．【答案】【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象求解.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象知：其單調(diào)遞增區(qū)間是，故答案為：【例1-2】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則，指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【詳解】設(shè)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，增區(qū)間是，而函數(shù)在上遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．故答案為：．【例1-3】若函數(shù)f（x）＝6lnx－x2＋x，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，解不等式可得.【詳解】f（x）定義域為，又，令，∵x＞0，∴，由解得或，則，即的單調(diào)減區(qū)間為．故選：B．歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（3，+∞）B．（－∞，3）C．（4，+∞）D．（－∞，2）【答案】D【解析】【分析】這是一個內(nèi)層函數(shù)是二次函數(shù)，外層函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，其單調(diào)性由這兩個函數(shù)的單調(diào)性共同決定，即“同增異減”.【詳解】先考慮定義域：，解得或，是開口向上的拋物線，對稱軸為x=3，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)是由和復(fù)合而成的，是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原理，當(dāng)時是增函數(shù)，故選：D.【練習(xí)1-2】函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是______．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)絕對值的定義去絕對值，寫成分段函數(shù)形式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】去絕對值，得函數(shù)當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為綜上，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：，題型二單調(diào)性的判斷與證明【例2-1】已知函數(shù)，則函數(shù)在定義域上的單調(diào)性為。【答案】單調(diào)遞增【例2-2】判斷并證明在的單調(diào)性.【答案】函數(shù)在單調(diào)遞增【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可【詳解】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義：任取，所以因為，所以，所以所以原函數(shù)單調(diào)遞增。歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明.【答案】(1)1(2)在上為減函數(shù)，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，即可求出的值，再根據(jù)奇函數(shù)的定義檢驗即可；（2）根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷，再利用定義法證明即可；(1)解：由為定義在上奇函數(shù)可知，解得.經(jīng)檢驗，此時對任意的都有故.(2)解：由遞增，可知在上為減函數(shù)，證明如下：對于任意實數(shù)，，不妨設(shè)，則.∵單調(diào)遞增，且，∴即，，，∴，∴，故在上為減函數(shù).題型三利用單調(diào)性比大小【例3-1】已知函數(shù)對任意實數(shù)都有，并且對任意，都有，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)關(guān)于對稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)對任意實數(shù)都有，可得函數(shù)關(guān)于對稱，又由對任意，都有，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，由，所以，所以A不正確；由，所以，所以B不正確；由，所以，所以C正確；由，所以，所以D不正確.故選：C.【例3-2】若，則下列正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷C、D，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷A、B；【詳解】解：令，，則，故在上單調(diào)遞減，若，則，即，所以，故C正確，D錯誤；令，，則，令，，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，使得，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故與大小關(guān)系無法判斷，故A、B均錯誤；故選：C歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷各選項的正誤.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，對于A選項，，則，即，所以，，A對；對于B選項，，則，即，所以，，B錯；對于C選項，，則，即，所以，，所以，，C錯；對于D選項，，則，即，所以，，D錯.故選：A.題型四利用單調(diào)性求最值【例4-1】已知函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】原問題等價于，使得，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大值即可求解.【詳解】解：，使得，等價于，，由對勾函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【例4-2】已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，可得在區(qū)間上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意得，，因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故在區(qū)間上恒成立，故或，解得或或，則，故選：C歸納總結(jié)：【練習(xí)4-1】若不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】運用換元法，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可.【詳解】令，所以，設(shè)，，函數(shù)在時，函數(shù)單調(diào)遞減，在時，函數(shù)單調(diào)遞增，因為，，所以函數(shù)在時，最大值為，要想不等式在區(qū)間上有解，只需，故選：C題型五利用單調(diào)性求參數(shù)及其范圍【例5-1】若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】首先求出函數(shù)的對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式，解得即可；【詳解】解：函數(shù)的對稱軸為，開口向上，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，即；故選：B【例5-2】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由單調(diào)性可直接得到，解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】在上單調(diào)遞增，，，解得：，實數(shù)的取值范圍為.故選：C.【例5-3】已知函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)每一段的單調(diào)性及端點值判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解抽象不等式即可.【詳解】因為，當(dāng)時單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，因為，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為：.故選：A.【例5-4】若函數(shù)在單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列式求解作答.【詳解】函數(shù)中，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，因此，，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：D歸納總結(jié)：【練習(xí)5-1】已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組，解之即可得出答案.【詳解】因為函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：B.【練習(xí)5-2】若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，再探討其單調(diào)減區(qū)間，借助集合的包含關(guān)系列式求解作答.【詳解】函數(shù)的定義域是，而函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，因函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則有，且，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：B【請完成課時作業(yè)（八）】【課時作業(yè)（八）】A組基礎(chǔ)題1．下列函數(shù)中，在其定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)、正切函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可直接得到結(jié)果.【詳解】對于A，在上單調(diào)遞減，A錯誤；對于B，在，上單調(diào)遞減，B錯誤；對于C，在上單調(diào)遞增，C錯誤；對于D，在上單調(diào)遞增，D正確.故選：D.2．的單調(diào)增區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再換元令，則，求出的單調(diào)區(qū)間，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法得結(jié)果【詳解】由，得或，則函數(shù)的定義域為，令，則，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以在上遞增，在上遞減，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故選：C3．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可；【詳解】解：因為，當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞減，且，當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在上是單調(diào)遞減，所以不等式等價于，解得．即不等式的解集為；故選：C4．已知函數(shù)滿足對任意的都有成立，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由單調(diào)性定義可知在上單調(diào)遞減，由分段函數(shù)每一段上的單調(diào)性和分段處的函數(shù)值大小關(guān)系可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】對任意的都有成立，在上單調(diào)遞減，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：B.5．若，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】不等式變形后，構(gòu)造函數(shù)確定單調(diào)性得出，然后由不等式的性質(zhì)判斷、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷各選項．【詳解】由得，設(shè)，易知是增函數(shù)，所以由得，當(dāng)時，C不存在，錯誤，A錯誤，，則，，從而，D錯誤．由不等式性質(zhì)，B正確．故選：B．6．函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，若，，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先由偶函數(shù)得，再比較的大小，結(jié)合單調(diào)性即可求解.【詳解】由偶函數(shù)知，又，，，顯然，又在單調(diào)遞增，則.故選：C.7．已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較、、大小，再由單調(diào)性比較a、b、c大小.【詳解】由，，即，所以，又，所以，而遞增，故故選：D8．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，令即可求得單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】，，令，解得，單調(diào)遞增區(qū)間為：.故選：D.9．已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，分析可知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上為減函數(shù)，由已知可得出，可得出，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解此不等式即可得解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，則函數(shù)為偶函數(shù)，且該函數(shù)在上為減函數(shù)，由可得，即，所以，，可得，即，解得.因此，不等式的解集為.故選：D.10．(多選題)關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】【分析】由題可得，進(jìn)而即得.【詳解】因為，所以在和上單調(diào)遞減，則A，C正確，B，D錯誤.故選：AC.11．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為______.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，利用求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法求解作答.【詳解】函數(shù)中，，解得或，即函數(shù)的定義域為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而在單調(diào)遞增，于是得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故答案為：12．已知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_______．【答案】和.【解析】【分析】分和分別求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可得答案.【詳解】解析:時，，對稱軸，開口向上，在遞增，時，，對稱軸，開口向下，在遞增，函數(shù)的遞增區(qū)間是和.故答案為：和.13．若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】把函數(shù)解析式進(jìn)行常數(shù)分離，變成一個常數(shù)和另一個函數(shù)的和的形式，由函數(shù)在為增函數(shù)得出，從而得到實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，若在為增函數(shù)，，，故答案為：．14．已知函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求a的值，并證明在上單調(diào)遞增；(2)求滿足的x的取值范圍．【答案】(1)；證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)的定義解方程可得a=1，再由單調(diào)性的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論；（2）由偶函數(shù)的性質(zhì)：，結(jié)合（1）的結(jié)論，原不等式化為，再由絕對值不等式的解法可得所求解集.(1)解：由題意函數(shù)為偶函數(shù)，∴，即∴對任意恒成立，解得．∴任取，則由，可得，∴，即，∴在上單調(diào)遞增．(2)由偶函數(shù)的對稱性可得在上單調(diào)遞減，∴，∴，解得，∴滿足的x的取值范圍是．B組能力提升能1．定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，且，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】依題意可得在上單調(diào)遞減，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，再根據(jù)，即可得到的大致圖像，結(jié)合圖像分類討論，即可求出不等式的解集；【詳解】解：因為函數(shù)滿足對任意的，有，即在上單調(diào)遞減，又是定義在R上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，函數(shù)的