二次函數(shù)知識點總結和題型總結

二次函數(shù)知識點總結和題型總結一、二次函數(shù)概念：1．二次函數(shù)概念：通常地，形如（是常數(shù)，）函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調：①a≠0②最高次數(shù)為2③代數(shù)式一定是整式2.二次函數(shù)結構特征：⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量二次式，最高次數(shù)是2．⑵是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項．例題：例1、已知函數(shù)y=(m－1)xm2+1+5x－3是二次函數(shù)，求m值。練習、若函數(shù)y=(m2+2m－7)x2+4x+5是關于x二次函數(shù)，則m取值范圍為。二、二次函數(shù)基本形式1.二次函數(shù)基本形式：性質：a絕對值越大，拋物線開口越小。符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨增大而增大；時，隨增大而減??；時，有最小值．向下軸時，隨增大而減??；時，隨增大而增大；時，有最大值．性質：上加下減。符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨增大而增大；時，隨增大而減小；時，有最小值．向下軸時，隨增大而減??；時，隨增大而增大；時，有最大值．3.性質：左加右減。符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨增大而增大；時，隨增大而減??；時，有最小值．向下X=h時，隨增大而減?。粫r，隨增大而增大；時，有最大值．4.性質：符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨增大而增大；時，隨增大而減?。粫r，有最小值．向下X=h時，隨增大而減??；時，隨增大而增大；時，有最大值．二次函數(shù)對稱軸、頂點、最值（技法：假如解析式為頂點式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k，則最值為k；假如解析式為通常式y(tǒng)=ax2+bx+c則最值為EQ\F(4ac-b2,4a)）1．拋物線y=2x2+4x+m2－m經過坐標原點，則m值為。2．拋物y=x2+bx+c線頂點坐標為（1，3），則b＝，c＝.3．拋物線y＝x2＋3x頂點在() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若拋物線y＝ax2－6x經過點(2，0)，則拋物線頂點到坐標原點距離為() A. B. C.D.5．若直線y＝ax＋b不經過二、四象限，則拋物線y＝ax2＋bx＋c() A.開口向上，對稱軸是y軸B.開口向下，對稱軸是y軸C.開口向下，對稱軸平行于y軸D.開口向上，對稱軸平行于y軸已知二次函數(shù)y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值為0，則m＝。三、二次函數(shù)圖象平移1.平移步驟：方法一：⑴將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標；⑵保持拋物線形狀不變，將其頂點平移四處，詳細平移方法以下：2.平移規(guī)律在原有函數(shù)基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．方法二：⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）函數(shù)y=ax2+bx+c圖象和性質例題：1．拋物線y=x2+4x+9對稱軸是。2．拋物線y=2x2－12x+25開口方向是，頂點坐標是。3．經過配方，寫出以下函數(shù)開口方向、對稱軸和頂點坐標：（1）y=EQ\F(1,2)x2－2x+1；（2）y=－3x2+8x－2；（3）y=－EQ\F(1,4)x2+x－44、把拋物線y=x2+bx+c圖象向右平移3個單位，在向下平移2個單位，所得圖象解析式是y=x2－3x+5，試求b、c值。5、把拋物線y=－2x2+4x+1沿坐標軸先向左平移2個單位，再向上平移3個單位，問所得拋物線有沒有最大值，若有，求出該最大值；若沒有，說明理由。四、二次函數(shù)與比較從解析式上看，與是兩種不一樣表示形式，后者經過配方能夠得到前者，即，其中．五、二次函數(shù)圖象畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.通常我們選取五點為：頂點、與軸交點、以及關于對稱軸對稱點、與軸交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸交點，與軸交點.六、二次函數(shù)性質1.當初，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為．當初，隨增大而減小；當初，隨增大而增大；當初，有最小值．2.當初，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當初，隨增大而增大；當初，隨增大而減??；當初，有最大值．例題：函數(shù)y=a(x－h(huán))2圖象與性質1．填表：拋物線開口方向對稱軸頂點坐標試說明函數(shù)y=EQ\F(1,2)(x－3)2圖象特點及性質（開口、對稱軸、頂點坐標、增減性、最值）。二次函數(shù)y=a(x－h(huán))2圖象如圖：已知a=EQ\F(1,2)，OA＝OC，試求該拋物線解析式。二次函數(shù)增減性二次函數(shù)y=3x2－6x+5，當x>1時，y隨x增大而；當x<1時，y隨x增大而；當x=1時，函數(shù)有最值是。已知函數(shù)y=4x2－mx+5，當x>－2時,y隨x增大而增大；當x<－2時，y隨x增大而降低；則x＝1時,y值為。已知二次函數(shù)y=x2－(m+1)x+1，當x≥1時，y隨x增大而增大，則m取值范圍是.4.已知二次函數(shù)y=－EQ\F(1,2)x2+3x+EQ\F(5,2)圖象上有三點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3<x1<x2<x3，則y1,y2,y3大小關系為.七、二次函數(shù)解析式表示方法1.通常式：（，，為常數(shù)，）；2.頂點式：（，，為常數(shù)，）；3.兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點橫坐標）.注意：任何二次函數(shù)解析式都能夠化成通常式或頂點式，但并非全部二次函數(shù)都能夠寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線解析式才能夠用交點式表示．二次函數(shù)解析式這三種形式能夠互化.八、二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)之間關系1.二次項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然．⑴當初，拋物線開口向上，值越大，開口越小，反之值越小，開口越大；⑵當初，拋物線開口向下，值越小，開口越小，反之值越大，開口越大．總結起來，決定了拋物線開口大小和方向，正負決定開口方向，大小決定開口大?。?.一次項系數(shù)在二次項系數(shù)確定前提下，決定了拋物線對稱軸．⑴在前提下，當初，，即拋物線對稱軸在軸左側；當初，，即拋物線對稱軸就是軸；當初，，即拋物線對稱軸在軸右側．⑵在前提下，結論剛好與上述相反，即當初，，即拋物線對稱軸在軸右側；當初，，即拋物線對稱軸就是軸；當初，，即拋物線對稱軸在軸左側．總結起來，在確定前提下，決定了拋物線對稱軸位置．符號判定：對稱軸在軸左邊則，在軸右側則，概括說就是“左同右異”總結：3.常數(shù)項⑴當初，拋物線與軸交點在軸上方，即拋物線與軸交點縱坐標為正；⑵當初，拋物線與軸交點為坐標原點，即拋物線與軸交點縱坐標為；⑶當初，拋物線與軸交點在軸下方，即拋物線與軸交點縱坐標為負．總結起來，決定了拋物線與軸交點位置．總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定．例題：函數(shù)圖象特征與a、b、c關系1.已知拋物線y=ax2+bx+c圖象如右圖所表示，則a、b、c符號為（） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0 2.已知拋物線y=ax2+bx+c圖象2如圖所表示，則以下結論正確是（） A．a+b+c>0 B．b>-2a C．a-b+c>0 D．c<03.拋物線y=ax2+bx+c中，b＝4a，它圖象如圖3，有以下結論：①c>0；②a+b+c>0 ③a-b+c>0 ④b2-4ac<0 ⑤abc<0；其中正確為（）A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤4.當b<0是一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標系內圖象可能是（）5.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，假如a>b>c，且a＋b＋c＝0，則它圖象可能是圖所表示()二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象如圖5所表示，那么abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c四個代數(shù)式中，值為正數(shù)有() A.4個 B.3個 C.2個 D.1個7.在同一坐標系中，函數(shù)y=ax2+c與y=EQ\F(c,x)(a<c)圖象可能是圖所表示()ABCD8.反百分比函數(shù)y=EQ\F(k,x)圖象在一、三象限，則二次函數(shù)y＝kx2-k2x-1c圖象大致為圖中（）ABCD9.反百分比函數(shù)y=EQ\F(k,x)中，當x>0時，y隨x增大而增大，則二次函數(shù)y＝kx2+2kx圖象大致為圖中（）ABCD二次函數(shù)解析式確實定：依照已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式必須依照題目標特點，選擇適當形式，才能使解題簡便．通常來說，有以下幾個情況：1.已知拋物線上三點坐標，通常選取通常式；2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，通常選取頂點式；3.已知拋物線與軸兩個交點橫坐標，通常選取兩根式；4.已知拋物線上縱坐標相同兩點，常選取頂點式．例題：函數(shù)解析式求法一、已知拋物線上任意三點時，通常設解析式為通常式y(tǒng)=ax2+bx+c，然后解三元方程組求解；1．已知二次函數(shù)圖象經過A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三點，求該二次函數(shù)解析式。已知拋物線過A（1，0）和B（4，0）兩點，交y軸于C點且BC＝5，求該二次函數(shù)解析式。二、已知拋物線頂點坐標，或拋物線上縱坐標相同兩點和拋物線上另一點時，通常設解析式為頂點式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k求解。3．已知二次函數(shù)圖象頂點坐標為（1，－6），且經過點（2，－8），求該二次函數(shù)解析式。已知二次函數(shù)圖象頂點坐標為（1，－3），且經過點P（2，0）點，求二次函數(shù)解析式。三、已知拋物線與軸交點坐標時，通常設解析式為交點式y(tǒng)=a(x－x1)(x－x2)。5．二次函數(shù)圖象經過A（－1，0），B（3，0），函數(shù)有最小值－8，求該二次函數(shù)解析式。九、二次函數(shù)圖象對稱二次函數(shù)圖象對稱通常有五種情況，能夠用通常式或頂點式表示1.關于軸對稱關于軸對稱后，得到解析式是；關于軸對稱后，得到解析式是；2.關于軸對稱關于軸對稱后，得到解析式是；關于軸對稱后，得到解析式是；3.關于原點對稱關于原點對稱后，得到解析式是；關于原點對稱后，得到解析式是；4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）關于頂點對稱后，得到解析式是；關于頂點對稱后，得到解析式是．5.關于點對稱關于點對稱后，得到解析式是依照對稱性質，顯然不論作何種對稱變換，拋物線形狀一定不會發(fā)生改變，所以永遠不變．求拋物線對稱拋物線表示式時，能夠依據(jù)題意或方便運算標準，選擇適宜形式，習慣上是先確定原拋物線（或表示式已知拋物線）頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線表示式．十、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程關系（二次函數(shù)與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時特殊情況.圖象與軸交點個數(shù)：①當初，圖象與軸交于兩點，其中是一元二次方程兩根．這兩點間距離.②當初，圖象與軸只有一個交點；③當初，圖象與軸沒有交點.當初，圖象落在軸上方，不論為任何實數(shù)，都有；當初，圖象落在軸下方，不論為任何實數(shù)，都有．2.拋物線圖象與軸一定相交，交點坐標為，；3.二次函數(shù)慣用解題方法總結：⑴求二次函數(shù)圖象與軸交點坐標，需轉化為一元二次方程；⑵求二次函數(shù)最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由通常式轉化為頂點式；⑶依照圖象位置判斷二次函數(shù)中，，符號，或由二次函數(shù)中，，符號判斷圖象位置，要數(shù)形結合；⑷二次函數(shù)圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱點坐標，或已知與軸一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.⑸與二次函數(shù)關于還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間內在聯(lián)絡：拋物線與軸有兩個交點二次三項式值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式值為非負一元二次方程有兩個相等實數(shù)根拋物線與軸無交點二次三項式值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.例題：二次函數(shù)與x軸、y軸交點（二次函數(shù)與一元二次方程關系）假如二次函數(shù)y＝x2＋4x＋c圖象與x軸沒有交點，其中c為整數(shù)，則c＝（寫一個即可）二次函數(shù)y＝x2-2x-3圖象與x軸交點之間距離為拋物線y＝－3x2＋2x－1圖象與x軸交點個數(shù)是()A.沒有交點B.只有一個交點C.有兩個交點D.有三個交點如圖所表示，二次函數(shù)y＝x2－4x＋3圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，則△ABC面積為() A.6B.4 C.3D.1已知拋物線y＝5x2＋(m－1)x＋m與x軸兩個交點在y軸同側，它們距離平方等于為EQ\F(49,25)，則m值為() A.－2 B.12 C.24 D.48已知拋物線y＝x2-2x-8，（1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個交點；（2）若該拋物線與x軸兩個交點為A、B，且它頂點為P，求△ABP面積。十一、函數(shù)應用二次函數(shù)應用二次函數(shù)圖像與性質口訣:二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關鍵；開口、頂點和交點,它們確定圖象現(xiàn)；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b符號較尤其，符號與a相關聯(lián)；頂點位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，緊記心中莫混亂；頂點坐標最主要,通常式配方它就現(xiàn)，橫標即為對稱軸,縱標函數(shù)最值見。若求對稱軸位置,符號反,通常、頂點、交點式，不一樣表示能交換。

二次函數(shù)拋物線，選定需要三個點，a正負開口判，c大小y軸看，△符號最簡便，x軸上數(shù)交點，a、b同號軸左邊拋物線平移a不變，頂點牽著圖象轉，三種形式可變換，配方法作用最關鍵。例題：二次函數(shù)應用(一）經濟策略性1.某商店購進一批單價為16元日用具，銷售一段時間后，為了取得更多利潤，商店決定提升銷售價