、向量代數(shù)與空間解析幾何

十、向代數(shù)與空間析幾何1．設(shè)

,求(a.解：

()2)1)]ij33ijijk1222．

ijbjcj，(a))解：

())i

j)ijk)ij4343ijkj323223求過(guò)點(diǎn)

且與平面

xz

平行的平面方程。解：因?yàn)樗笃矫媾c平面nijk

yz平行，所以其法向量由點(diǎn)法式得所求的平面方程為3

x5(

即4．求過(guò)點(diǎn)

M

0

(2,9,

且與連接原點(diǎn)

及點(diǎn)

M

0

的線段

OM

0

垂直的平面方程.解：向量

OM

所求平面的法向量

nij

由點(diǎn)法式得所求的平面方程為)y)z)02yz1215．求過(guò)三點(diǎn)

(0,4,1

、

2

、

(4,2,1)3

的平面方程。解：所求平面的法向量同時(shí)垂直于線段

，PP13

，其中j、且ij11ijk所求平面的法向量

ij由點(diǎn)法式得所求的平面方程為

))26()即

yzword

6．求平行于平面

x

,且點(diǎn)

P

的平面方程。解：因?yàn)樗笃矫媾c平面

x

平行，所以其法向量

n

j

，由點(diǎn)法式得所求的平面方程為(x)))即xy7．求過(guò),且與直線解因?yàn)樗缶€與直線sijk

xzy2xz5

平行的直線方程。平，其方向量由點(diǎn)向式得所求的直線方程為

xy58．求過(guò)兩點(diǎn)

1

和(1,0,2)2

的直線方程。解：

j12

即為所求直線的方向向量

s

j由點(diǎn)向式得所求的直線方程為

xyz2

。9．求過(guò)點(diǎn)

(2,3,

且與直線

xyz2

垂直的平面方程。解：所求的平面直線

xy23

垂直，直線的方向向量

s

ijk

即為所求平面的法向量

nij由點(diǎn)法式得所求平面方程為

2(

))8()

即

10．設(shè)兩點(diǎn)

M

(4,

,1),M(3,0,2)2

,計(jì)向量

MM

的模，方向余弦和方向角。解：向量

M

M2j

所以MM2

的模

(22

，MM

的方向余弦

，

cos

21。2所以

M

M

的方向角為

，。4word

11說(shuō)出下列方程所代表的圖形名稱

zz2橢圓柱面(2)999

橢球面

22

單葉雙曲面

y

拋物柱面

2z22雙雙曲面(6)22

拋物面

xx

直線

yz

平面

22

雙曲柱面

z

2y2

圓錐面12．求直線

xyz12

與平面

y

的交點(diǎn)解：令

y2

，

xy4

代入平面方程

y求t所以求直線與平面的交點(diǎn)為

(3,,6)

。13．求兩直線

xzxy與1

的夾角解：兩直線的方向向量分別為

j，ij所以兩直線的夾角滿足

cos

sss2

12142

，所求夾角為

。word

本章補(bǔ)題：一、選擇1．設(shè)

k

，a與垂直，k)A．

B．

．

2

D．

2．設(shè)

,

則的夾角為()A．

B．

．

D．3．設(shè)

j及ij

垂直，則

()A．

j

B．

j

．

j

D．

j4．同時(shí)與

a

及

b

0,

垂直的單位向量是()A．

i

jk

B．

2i

j

．

11ijD．ijk5．平面

y

與平面()垂直A．

y

B．

x

y

C.．

x

yD3y6．直線L：

y2

與平面()平行A．

x

y

B．

x

．

D．

x

yz7．直線L：

yz

與平面

y

位置關(guān)系是()A．垂直.B．直線在平面內(nèi)

．平行

D．相交8．過(guò)點(diǎn)

(1,

且與向量

a

2,22直的直線為()A．

xzyB．624．

x62

D．

xz29．在空間直角坐標(biāo)中方程

2

表示()球面

B.錐面

C.圓柱面D.拋物面10．在空間直角標(biāo)系中方程

y

z

表示()A．一個(gè)圓

B．圓柱面

．圓錐面

D．旋轉(zhuǎn)拋物面．在空間直角坐標(biāo)系中方程word

yx2

表示()

，，，，，，，，A拋物線

B．圓柱面

．圓錐面

D．拋物柱面12．在空間直角坐系中方程

z2

表示()A球面

B．圓柱面

．圓錐面

D．橢球面二、填空題1．設(shè)

ijk

的終點(diǎn)為

(1,

起點(diǎn)的坐標(biāo)為()。2．設(shè)

，

，

是向量

的三個(gè)方向角，則

sin

22

。3．設(shè)

3,

，已知

與

平行，且

，則

。4．已知

A2,2)(0,2,C(2,3,)

，

則的面積為。5．已知向量

的夾角為

，且

，

，則

a

與

的夾角為。6．設(shè)平過(guò)(2,

且與平面

yz

平行，則平方程。7．設(shè)平過(guò)(1,

)

且與直線

xy

垂直，則平方程。8．已知直線L(2,)

且與平面

yz

垂直，則直線L方程為。9．點(diǎn)

(1,,1)

到平y(tǒng)

的距離為。10．坐標(biāo)面

yOz上的曲線

繞z軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為。三、解答：1．求直線

z

與平面

的交點(diǎn)和夾角。2．已知

A,2)(2(,3,0)

，

所在有平面方程。3．把直

xy0y

的方程改寫為點(diǎn)向式、參數(shù)式。4已知平過(guò)(

且與直線L：

xy和直線L：2

都平行，求平方程。5．已知直線L點(diǎn)(0)

且與平面

和z

都平行，求直線L的方程。word

6．已知點(diǎn)

(k,1,2)

到平面

：

y

的距離為1，求。7．已知直

xyy

與平面

x

垂直，k。8．指出下方程表示圖形：①

x

2y2②x2y2

yz

③

2z24④

x

2

y2z2

⑤

x

2

⑥

2

2

2word

補(bǔ)充題考答案或提：一、選擇1.2.3.Ｂ4.Ｃ5.Ｃ6.Ａ7.Ｂ8.Ｄ9.Ａ10.11.12.二、填空題1.2.

()3.4.

6,ABBC

5.

(a)a)aa

a

abaa

b

3216.7.8.9.

xzyxy23)

2510.

z4(

2

2

)三、解答：1.令

y

代入平面方程

得

2

所以交點(diǎn)為

()

。因?yàn)椋褐本€的方向向量

s

所以?shī)A角滿足

,

即夾角

arcsin

2.平面的法向量

BCij3ijkjk122所以

ABC

所在有平面方程為

)y)

即

yz

。3.直線的方向向量word

ijks12ij121

，

在直線取一點(diǎn)令z0則

yy

得

所以點(diǎn)向式為

y

，參數(shù)式

xyzt

t為參數(shù)）4.平面的法向量

ijn6ij212所以平面的方程為

30(