數(shù)學(xué)建模中的差分法

差分方程模型一差分方程1差分：設(shè)函數(shù)，記為，當(dāng)t取遍非負(fù)整數(shù)時，函數(shù)值可以排成一個數(shù)列，則差稱為函數(shù)的差分，也稱一階差分，記為，即二階差分同理，可定義三階差分等。二階及二階以上的差分稱為高階差分。差分的性質(zhì)：2差分方程：含有未知函數(shù)及表示未知函數(shù)的幾個時期值的符號的方程。如3差分方程的階方程中含未知函數(shù)附標(biāo)的最大值與最小值的差數(shù)。不同形式的方程可互相轉(zhuǎn)化。4差分方程的解如果一個函數(shù)代入差分方程后，方程兩端恒等，則稱此函數(shù)為該方程的解。例一階線性方程有解類似于微分方程可定義初值條件，特解等。二差分方程平衡點的穩(wěn)定性1對于一階線性常系數(shù)差分方程滿足方程的解，稱為上方程的平衡點。即平衡點為由于方程（1）平衡點的穩(wěn)定性問題可轉(zhuǎn)化為下面方程零點的穩(wěn)定性。方程（2）的解可表示為可得到下面的穩(wěn)定性結(jié)論。當(dāng)且僅當(dāng)時，方程（2）的平衡點（零點）是穩(wěn)定的，從而方程（1）的平衡點穩(wěn)定。對于n維向量常數(shù)矩陣A構(gòu)成的方程組稱其為一階常系數(shù)線性齊次差分方程組。結(jié)論1若r(A)<1，則其平衡點是全局漸近穩(wěn)定；若r(A)>1，則其平衡點是不穩(wěn)定的；若r(A)=1，穩(wěn)定性不確定。A的特征根的集合稱為矩陣A的譜，稱為矩陣A的譜半徑。2對于二階線性常系數(shù)差分方程平衡點為為了得到（4）零點的穩(wěn)定性我們求解方程（4）。寫出特征方程解出特征值通解為其中常數(shù)由初值條件確定。當(dāng)且僅當(dāng)時，方程（4）的平衡點是穩(wěn)定的。結(jié)論2非齊次線性方程（5）的穩(wěn)定性可轉(zhuǎn)化為齊次方程（4）來研究。對于n階線性方程平衡點穩(wěn)定的條件是特征根3一階非線性差分方程平衡點通過求解方程而得到。研究穩(wěn)定性的方法之一是研究其對應(yīng)的線性部分的穩(wěn)定性。將方程（6）的右端在點作泰勒展開只取一次項，（6）近似為也是（7）平衡點。當(dāng)結(jié)論3時，方程（6）與（7）平衡點的穩(wěn)定性相同。結(jié)論4當(dāng)時，方程（7）平衡點是穩(wěn)定的；當(dāng)時，方程（7）平衡點是不穩(wěn)定的。三常微分方程向差分方程轉(zhuǎn)化（數(shù)值解）1Euler方法求初值問題的近似解。只要給定就可求得先把自變量所在的區(qū)間n等分；例1從形出射發(fā)并暗取容，求穩(wěn)下列祖初值光問題的近委似解俊。解繼續(xù)鄭下去插，自繁變量目使用結(jié)等間誰隔值昏，并熊生成巴其n個值奶，令步數(shù)n可任領(lǐng)意大腫，但n太大胞，會的有誤民差積墳累。優(yōu)點候：容閣易編陣程計肺算。例2從鞏出紐奉發(fā)并接取怖，求勝下列懸初值揮問題的近懂似解聽。解解Ma壞lt女hu斤s模型的離塘散形農(nóng)式例3對于濱方程幻玉組的日情形攻，Eu奸le建r方法悔同樣泊可用翁。先把灶自變幻玉量所寒在的疼區(qū)間n等分排；步數(shù)n可任旋意大勝，但n太大繪，會偵有誤桶差積載累。對捕凱食模炮型用Eu幻玉le加r法求科出前錢三次百逼近宜，初魔始條組件為解第一斤組點滴：第一碧組點勒：第二樓組點免：第三鍛組點細(xì)：繼續(xù)轉(zhuǎn)下去湯，就效可生疾成數(shù)委值解急表館。如果稼方程租組為小自治狹系統(tǒng)舅，在欣相平止面上包就可憲得到近似鐘的軌搏線圖俱。上機(jī)畢練習(xí)1：對捕顆食模蓄型用Eu姨le甘r法，卡在相耽平面照上畫程出軌扒線的哲近似越圖，抓觀察灑其變跳化情扇況。2Ru席ng若e-峽ku舊tt恢a型方屆法也是芬用來恩求初呈值問穴題的癥近似腦解，萍但比Eu鼻le褲r方法占收斂敞更快樂。先把涌自變程量所疑在的懷區(qū)間n等分伴；Eu碼le電r方法常取單步擺方法肺。四艙差曾分方需程模耐型舉灶例1差分謀形式Lo離gi功st扇ic模型離散笑化變形令b=r+攤11）平委衡點訪及其腎穩(wěn)定印性求平貝衡點葉：平衡寧點為根據(jù)蓮穩(wěn)定急的條清件當(dāng)b<駕1，只針有一刮個穩(wěn)括定的偉平衡膽點，當(dāng)1<必b<出3，覽變艷成不補(bǔ)穩(wěn)定箱的，巨而薯成悅為穩(wěn)迷定的泊，當(dāng)b>榮3時，鐵是豪不穩(wěn)磚定的懇平衡殘點。2）數(shù)江值計廁算（荷上機(jī)嚴(yán)練習(xí)2）初值申取b俊=1氧.7，2.島6，3.遙3，3.境45，3.杰55，3.朱57k拘=幻玉1,洞2,尖…,那10看0觀察掙的變眠化趨怕勢。出現(xiàn)雷倍周哪期收筍斂現(xiàn)仰象。一般逃地，排一階路自治砌的非扛線性錫差分舟方程3）混疤沌與叉分岔若x*滿足則稱x*為不牢動點臺，1-周期臭點。若x*滿足則稱x*為2-周期爬點。4-周期士點，8-周期宴點等積，倍指周期叛分岔坐。練習(xí)狂：競芽爭獵摸獸模逮型斑點顛貓頭鹽鷹和舌紅隼貞在其蕩棲息痛地為家生存栗而斗楚爭。采假定想沒有亮其他身種群杰存在籍的情床況下卷，每栽個單階種群鍋都可搖以無咽限地杰增長斷，即床在一餐個時鑄間區(qū)挨間里敞（如遍一天栽）其闖種群微量的遵變化鏈與該運(yùn)時間刻區(qū)間癥開始焦時的郊種群訪量成兆正比閃。而鑄第二宴種群央的存低在降低命了另砌一種嫂群的李增長鬼率。弱假定且這種發(fā)增長輛率的直減少調(diào)與兩款種群尚的數(shù)娛量之廁積成殖正比芳。試建浮立數(shù)寫學(xué)模哲型考開察兩珍種群車的演究化規(guī)綠律。一烘建果立模注型根據(jù)上題意揉，建磁立差忍分方睛程組二惑模娘型求錘解求平鵝衡點在平析衡點鐵處兩漿種群駕的種策群量躍不會序發(fā)生剝變化忘。即如油果一協(xié)開始慮它們率數(shù)量顫為15傅0和20哪0時，睬那么宣每天授數(shù)量鑒都保權(quán)持不畫變。數(shù)值嚴(yán)計算慌在平惰衡點簡附近浙的情獸形貓頭鷹隼情形1151199情形2149201情形31010xyxyxy115119911157.31188.4821221.05113.182151.15198.6012159.12185.7322240.2597.033151.36198.1413161.40182.3423264.9779.574151.64197.6014164.25178.1824296.8861.275152.00196.9615167.83173.1025338.0643.276152.49196.1716172.34166.9326391.0527.007152.05195.2017178.04159.4727458.7013.988153.79194.0018185.26150.5328544.035.359154.71192.5319194.42139.9129649.911.1310155.87190.7220106.11127.4830779.170.00情形1xyxyxy114920111142.87212.002192.88325.632148.85201.4012141.16215.022281.21326.833148.64201.8613139.04218.822367.98412.754148.37202.4114136.42223.622453.52480.455148.01203.0715133.20229.692538.51573.166147.55203.8816129.24237.412624.14700.977146.98204.8817124.41247.272712.05877.418146.26206.1218118.53259.93283.871119.59145.37207.6619111.42276.29290.311446.610144.25209.5720102.92297.6130-0.081879.7情形2xyxyxy110101145.7595.942128.61565.92211.912.81250.51115.942218.14703.32314.1316.341354.75139.01239.01888.80416.7220.771458.09165.49242.801139.4519.7226.311560.10195.91250.171474.9623.1433.171660.34231.1426-0.041916.8727.0141.581758.47272.5827831.2851.811854.22322.4928935.9264.111947.58384.26291040.8078.742038.81462.9730情形3三謙結(jié)講論對初濾始點顛極其調(diào)敏感吉，這陷樣的搏平衡視點是爐不穩(wěn)火定的鍬。棲息眾地共綱有35陰0頭貓果頭鷹健和隼安。1）如困果有15尤0頭貓本頭鷹盲，那文么我逮們預(yù)躲測貓頭烤鷹永遮遠(yuǎn)停奔留在初這個凝數(shù)量笨上。2）如魚果從歷棲息仔地移賤走一隆頭貓括頭鷹流，那倦么我們面預(yù)測誓貓頭遭鷹將靈會滅乓絕。3）如柏果在閣棲息聰?shù)匕碴犞?5勢1頭貓侄頭鷹考，那么我圓們預(yù)割測貓餓頭鷹掀將會鴿無限知增長焦而隼將會花滅絕型。4