2024屆一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材人教A版 第七章 立體幾何與空間向量 7-9　空間距離及立體幾何中的探索問題 課件（78張）

§7.9

空間距離及立體幾

何中的探索問題第七章立體幾何與空間向量1.會求空間中點到直線以及點到平面的距離.2.以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存在的條件.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.點到直線的距離判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面α上不共線的三點到平面β的距離相等，則α∥β.(

)(2)點到直線的距離也就是該點與直線上任一點連線的長度.(

)(3)直線l平行于平面α，則直線l上各點到平面α的距離相等.(

)(4)直線l上兩點到平面α的距離相等，則l平行于平面α.(

)×√××1.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則A1A到平面B1D1DB的距離為√3.設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是______.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，令x＝1，則n＝(1，－1，－1)，探究核心題型第二部分題型一空間距離例1

(1)(2023·長沙模擬)空間中有三點P(1，－2，－2)，M(2，－3,1)，N(3，－2,2)，則點P到直線MN的距離為√①證明：BC1⊥CM；因為AB⊥平面BB1C1C，C1B?平面BB1C1C，所以AB⊥C1B，因為AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，所以C1B⊥平面ABC.又因為CM?平面ABC，所以C1B⊥CM.②若E為A1C1的中點，求點A1到平面BCE的距離.由①知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC，以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面BCE的法向量為n＝(x，y，z)，(1)點到直線的距離.思維升華②若能求出點在直線上的射影坐標(biāo)，可以直接利用兩點間距離公式求距離．(2)求點面距一般有以下三種方法．①作點到面的垂線，求點到垂足的距離；②等體積法；③向量法.跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2023·棗莊模擬)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點F，G分別是AB，CC1的中點，則△D1GF的面積為_____．以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則D1(0,0,2)，G(0,2,1)，F(xiàn)(1,1,0)，∴點D1到直線GF的距離(2)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上移動．①證明：D1E⊥A1D；以D為坐標(biāo)原點，直線DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)AE＝x，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1，x,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)．②當(dāng)E為AB的中點時，求點E到平面ACD1的距離．題型二立體幾何中的探索性問題例2

(2022·常德模擬)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是等邊三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O為AC的中點．(1)求證：AC⊥平面A1BO；∵△ABC是等邊三角形，O是AC的中點，∴AC⊥OB，∵平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，A1B⊥AB，∴A1B⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，∴A1B⊥AC，∵AC⊥OB，A1B∩OB＝B，A1B，OB?平面A1BO，∴AC⊥平面A1BO.存在，線段CC1的中點P滿足題意．理由如下：∵A1B⊥平面ABC，OB⊥AC，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，所在直線分別為x軸、y軸，過點O作Oz∥A1B，以O(shè)z所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知平面A1OB的一個法向量為n＝(1,0,0)，設(shè)平面POB的法向量為m＝(x，y，z)，(1)對于存在判斷型問題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．(2)對于位置探究型問題，通常借助向量，引進參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù)．(1)求證：AC⊥SD；如圖，連接BD交AC于點O，連接SO.由題意知，SO⊥平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)B，OC，OS所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)底面邊長為a，故OC⊥SD，從而AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC與平面DAC夾角的大??；設(shè)平面PAC與平面DAC的夾角為θ，所以平面PAC與平面DAC夾角的大小為30°.(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，請說明理由．假設(shè)在棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC.由于BE?平面PAC，故BE∥平面PAC.因此在棱SC上存在點E，使BE∥平面PAC，此時SE∶EC＝2∶1.課時精練第三部分123456基礎(chǔ)保分練1.如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長均為4，N是CC1的中點．(1)求點N到直線AB的距離；123456∵N是CC1的中點，∴N(0,4,2)．設(shè)點N到直線AB的距離為d1，123456(2)求點C1到平面ABN的距離．123456設(shè)平面ABN的法向量為n＝(x，y，z)，設(shè)點C1到平面ABN的距離為d2，1234562.(2023·北京模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M為線段A1C1上一點.123456(1)求證：BM⊥AB1；123456∵AA1⊥平面ABC，AB，AC?平面ABC，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，而AB⊥AC，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A1M＝a，a∈[0,1]，則A(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,0,1)，M(0，a,1)，123456123456設(shè)平面BCM的法向量n＝(x，y，z)，取x＝1，得n＝(1,1,1－a)，1234561234563.已知空間幾何體ABCDE中，△ABC，△ECD是全等的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD.123456∵△ABC，△ECD是全等的正三角形，∴CD＝BC，∵平面ECD⊥平面BCD，且平面ECD∩平面BCD＝CD，∴BC⊥平面ECD，∵DE?平面ECD，∴BC⊥ED.123456(2)探索A，B，D，E四點是否共面？若共面，請給出證明；若不共面，請說明理由.123456A，B，D，E四點共面.理由如下，如圖，分別取BC，DC的中點M，N，連接AM，EN，MN，∵△ABC是等邊三角形，∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AM⊥平面BCD，123456∴AM∥EN，且AM＝EN，∴四邊形AMNE是矩形，∴AE∥MN，又MN∥BD，∴AE∥BD，∴A，B，D，E四點共面.1234564.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，底面是邊長為4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，點E，F(xiàn)分別為AC，PC的中點.(1)求證：平面BEF⊥平面PAC；123456∵△ABC是正三角形，E為AC的中點，∴BE⊥AC.又PA⊥平面ABC，BE?平面ABC，∴PA⊥BE.∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BE⊥平面PAC.∵BE?平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC.123456123456存在.由(1)及已知得PA⊥BE，PA⊥AC，∵點E，F(xiàn)分別為AC，PC的中點，∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC.又BE⊥AC，∴EB，EC，EF兩兩垂直.以E為坐標(biāo)原點，以EB，EC，EF所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，123456設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，1234565.(2022·北京模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.△PBC是等腰三角形，且PB＝PC＝3.在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3.(1)求證：AB∥平面PCD；123456綜合提升練∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，∴AB∥平面PDC.123456(2)求平面APB與平面PBC夾角的余弦值；123456∵ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3，∵平面PBC⊥平面ABCD，∴點P到平面ABCD的距離為2.以D為原點，以DA，DC及平面ABCD過D的垂線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).∴A(4,0,0)，B(4,5,0)，C(0,3,0)，P(2,4,2)，123456設(shè)平面APB的法向量為m＝(x1，y1，z1)，平面PBC的法向量為n＝(x2，y2，z2)，123456令x1＝1，x2＝1可得m＝(1,0,1)，n＝(1，－2,0)，設(shè)平面APB與平面PBC的夾角為θ，123456