復(fù)數(shù)及其運(yùn)算

復(fù)變函數(shù)與拉氏變換

主講

欒靜聞機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束珞珈學(xué)院§1.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.2復(fù)變函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束珞珈學(xué)院機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算一.復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算二.復(fù)數(shù)幾何表示三.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及其幾何意義四.復(fù)數(shù)的乘冪與方根*五.復(fù)球面、擴(kuò)充復(fù)平面珞珈學(xué)院珞珈學(xué)院§1.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算一.復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算運(yùn)算的封閉性使得數(shù)的概念不斷擴(kuò)張，自然數(shù)整數(shù)減法除法有理數(shù)極限開(kāi)方實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束開(kāi)方

2.復(fù)數(shù)

1.

虛單位

虛單位：，且一般地，復(fù)數(shù)形如或。

復(fù)數(shù)

的虛部記為，實(shí)數(shù)可看作復(fù)數(shù)，因此純虛數(shù)是復(fù)數(shù)：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束珞珈學(xué)院復(fù)數(shù)的實(shí)部記為，全體實(shí)數(shù)集全體復(fù)數(shù)集3.共軛復(fù)數(shù)稱實(shí)部相同而虛部為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，即和互為共軛復(fù)數(shù)，簡(jiǎn)稱共軛數(shù)。設(shè)，則復(fù)數(shù)

的共軛復(fù)數(shù)記為4.復(fù)數(shù)的相等若且，則稱復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相等。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束復(fù)數(shù)沒(méi)有序關(guān)系,任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。珞珈學(xué)院二.復(fù)數(shù)幾何表示1.復(fù)平面與復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)表示法：Ox(橫軸)y(縱軸)Ox(實(shí)軸)y(虛軸)實(shí)平面復(fù)平面實(shí)平面上的點(diǎn)復(fù)平面上的點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束珞珈學(xué)院復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示：Ox(實(shí)軸)y(虛軸)表示向量的長(zhǎng)度，稱之為復(fù)數(shù)的模，記為表示以x軸正向?yàn)槭歼?，以向量為終邊的角度，稱之為復(fù)數(shù)的輻角，記為，輻角不唯一。稱滿足的輻角為的主輻角，記為，因此復(fù)平面與復(fù)數(shù)的幾何表示（續(xù)）

復(fù)數(shù)時(shí)，輻角無(wú)定義。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束珞珈學(xué)院全體整數(shù)集由極坐標(biāo)變換知：Ox(實(shí)軸)y(虛軸)復(fù)數(shù)可表示為：稱之為復(fù)數(shù)的三角表示。復(fù)平面與復(fù)數(shù)的幾何表示（續(xù)二）機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束珞珈學(xué)院復(fù)數(shù)的三角表示法：3.復(fù)數(shù)的主輻角計(jì)算OOO機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束珞珈學(xué)院例1.1.1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式：解由于在第三象限，根據(jù)主輻角計(jì)算公式：所以的三角表示式為：

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束珞珈學(xué)院解所以的三角表示式為：

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束珞珈學(xué)院三.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及其幾何意義

1.復(fù)數(shù)的加(減)法加減法的幾何意義OxyOyx機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束珞珈學(xué)院2.復(fù)數(shù)的乘法3.復(fù)數(shù)的除法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束珞珈學(xué)院4.復(fù)數(shù)的運(yùn)算律（1）加法、乘法運(yùn)算律結(jié)合律交換律分配律機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束珞珈學(xué)院（2）共肥軛運(yùn)瓜算律機(jī)動(dòng)廣目鳴錄廁上頁(yè)挑下隱頁(yè)熔返回稠結(jié)澆束珞珈嬌學(xué)院（3）模的光性質(zhì)三角開(kāi)不等棋式Oyxz1z2z2z1+z2Oyxz|x||y||z肆|機(jī)動(dòng)失目交錄訂上頁(yè)趁下恰頁(yè)肉返回事結(jié)澤束珞珈坡學(xué)院機(jī)動(dòng)點(diǎn)目對(duì)錄淋上頁(yè)消下雷頁(yè)浪返回裳結(jié)蒙束例1.寒1.生2證明胡對(duì)任定意兩梢個(gè)復(fù)解數(shù)下式昆成立企：證明（方法一）設(shè)則證明（方晶法二縫）珞珈堅(jiān)學(xué)院四.復(fù)數(shù)廊的乘邁冪與伏方根1.復(fù)數(shù)素的乘馳積與炊商定理1.固1.肝1設(shè)則證明機(jī)動(dòng)怖目垮錄脂上頁(yè)搞下今頁(yè)逐返回鹿結(jié)綁束珞珈破學(xué)院復(fù)數(shù)戰(zhàn)乘法恢的幾渡何意咱義xyO將向量

旋轉(zhuǎn)角度后，

再將它的長(zhǎng)度伸縮倍，所得即為向量。

特別地，當(dāng)時(shí)，向量z1z2就是將向量z2旋轉(zhuǎn)角度所得的向量。機(jī)動(dòng)鋤目卡錄婆上頁(yè)繞下密頁(yè)貼返回胡結(jié)顧束珞珈杏學(xué)院推論1.舅1.的2推論1.著1.鼠3(D置e窩Mo漆iv震e公式)2.復(fù)數(shù)誓的乘品方與化開(kāi)方(1傻)乘方機(jī)動(dòng)爪目楊錄道上頁(yè)毅下蛙頁(yè)豈返回孩結(jié)耳束珞珈綁學(xué)院(2挑)開(kāi)方設(shè)，則稱是的次方根。記為，表示的次方根的主值。方根律的計(jì)襖算公痰式設(shè)

，則機(jī)動(dòng)涂目煌錄蔥上頁(yè)名下剪頁(yè)招返回土結(jié)長(zhǎng)束珞珈剃學(xué)院證明設(shè)由，得則即所以n次方褲根有n個(gè)相秒異的屆根。由正紗弦、擊余弦素函數(shù)技的周筍期性題可知喪，非鑒零數(shù)廈的機(jī)動(dòng)棒目架錄蜘上頁(yè)熔下掉頁(yè)屈返回?fù)芙Y(jié)詢束珞珈嫩學(xué)院方根想的幾擦何意熊義θ/nw1wk-1wkwn-1xyOw0z機(jī)動(dòng)割目餅錄著上頁(yè)瘡下嬌頁(yè)申返回挨結(jié)浴束2π/n珞珈噸學(xué)院方根誰(shuí)的幾辟何意鍬義θ/nw1wk-1wkwn-1xyOw0z機(jī)動(dòng)誦目假錄決上頁(yè)兄下約頁(yè)譽(yù)返回馳結(jié)宿束2π/n以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓周，作輻角為的射線，

交于圓周上的點(diǎn)；為頂憂點(diǎn)作炭圓周畫(huà)的內(nèi)姓接贏正n以邊形凳，其n個(gè)頂旗點(diǎn)就查對(duì)應(yīng)艙著z的n次方好根的n個(gè)值臨：珞珈斤學(xué)院機(jī)動(dòng)穗目塌錄南上頁(yè)鍛下星頁(yè)捉返回捧結(jié)根束例1.歐1.換3求解珞珈重學(xué)院五.復(fù)球防面、諒擴(kuò)充室復(fù)球姥面復(fù)球尊面OxyP

zSN單位奏球面粘切于捕復(fù)平悲面于待原點(diǎn)O,球面駱上點(diǎn)S與點(diǎn)O重合,點(diǎn)S的對(duì)眉徑點(diǎn)萄為N。S--租--蓄-南極僻點(diǎn)N--狐--菜-北極鉛點(diǎn)球面上任意點(diǎn)直線PN與復(fù)平面交于點(diǎn)z,即得紡球面(除去蒙北極王點(diǎn)N外)與復(fù)允平面購(gòu)上點(diǎn)糖的1－1的對(duì)謎應(yīng)關(guān)沉系。復(fù)平面上任意點(diǎn)直線zN與球面交于點(diǎn)P，

機(jī)動(dòng)煉目扁錄穩(wěn)上頁(yè)漲下樓頁(yè)循返回議結(jié)嗎束珞珈猶學(xué)院擴(kuò)充流復(fù)平浙面對(duì)于滲球面枕上的作北極棍點(diǎn)N，在復(fù)引平面C上沒(méi)狗有對(duì)涼應(yīng)點(diǎn)帳。設(shè)想睡在復(fù)筆平面勵(lì)上增觀加一拾個(gè)理釣想點(diǎn)靜∞,即無(wú)魄窮遠(yuǎn)商點(diǎn)與之對(duì)應(yīng),由此得到的擴(kuò)充復(fù)平面與球面1-1對(duì)應(yīng)。關(guān)于城新“鋒數(shù)”濟(jì)∞需金作如握下幾辰點(diǎn)規(guī)勸定：(1區(qū))復(fù)平材面上宇每一盜條直盈線都績(jī)通過(guò)繳點(diǎn)∞饞，同講時(shí)沒(méi)嫁有一掉個(gè)半手平面職包括解點(diǎn)∞;(2勇)∞的過(guò)實(shí)部釀，虛蕉部及長(zhǎng)幅角迫都無(wú)演意義,踐|∞|致=摸+∞;(3執(zhí))b≠0(但可沙為∞)時(shí)，∞·b=b·∞,b/0=∞;(4腔)a≠∞時(shí),乒∞/a=0,a/0通=∞座,攔∞±a=饅a±∞=雜∞。(5沈)運(yùn)算幼∞±繪∞,0·∞助,托∞·0,儉∞武/距∞渡,0/帶0無(wú)意擠義。機(jī)動(dòng)凳目室錄洞上頁(yè)便下蔑頁(yè)洽返回弟結(jié)孝束珞珈態(tài)學(xué)院作業(yè)P朝251.飲1.會(huì)1(野a)遞