高中數(shù)學(xué)人教高中選修第二章圓錐曲線與方程雙曲線

2.3雙曲線

習(xí)題課1.雙曲線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的

等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做

，兩焦點(diǎn)間的距離叫做

.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當(dāng)

時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)

時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)

時(shí)，P點(diǎn)不存在.知識(shí)梳理距離的差的絕對(duì)值雙曲線的焦點(diǎn)雙曲線的焦距2a<|F1F2|2a＝|F1F2|2a>|F1F2|2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程－

＝1(a>0，b>0)－

＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍_________________________________________對(duì)稱性對(duì)稱軸：

對(duì)稱中心：_______________頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線_____________________離心率e＝

，e∈

，其中c＝___________________________實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝

，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝

；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a，b，c的關(guān)系c2＝

(c>a>0，c>b>0)x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a坐標(biāo)軸原點(diǎn)(1，＋∞)2a2ba2＋b2梳理設(shè)直線l：y＝kx＋m(m≠0)，

①平行相交于一點(diǎn)把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)當(dāng)b2－a2k2＝0，即

時(shí)，直線l與雙曲線C的漸近線

，直線與雙曲線

.(2)當(dāng)b2－a2k2≠0，即

時(shí)，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).Δ＞0?直線與雙曲線

，此時(shí)稱直線與雙曲線

；Δ＝0?直線與雙曲線

，此時(shí)稱直線與雙曲線

；Δ＜0?直線與雙曲線

，此時(shí)稱直線與雙曲線

.有兩個(gè)公共點(diǎn)相交有一個(gè)公共點(diǎn)相切沒有公共點(diǎn)相離直線與雙曲線的位置關(guān)系弦長(zhǎng)公式若斜率為k(k≠0)的直線與雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則|AB|＝

.

典例

根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)虛軸長(zhǎng)為12，離心率為

；解答解設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為∴b＝6，c＝10，a＝8.(2)焦距為26，且經(jīng)過點(diǎn)M(0,12)；解答解∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M(0,12)，∴M(0,12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.解答解設(shè)雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0).2.巧設(shè)雙曲線方程，減少計(jì)算量【總結(jié)】1.求雙曲線方程時(shí)先定形再定量命題點(diǎn)3利用定義解決焦點(diǎn)三角形問題典例

已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝_____.解析∵由雙曲線的定義有解析答案1.本例中，若將條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“∠F1PF2＝60°”，則△F1PF2的面積是多少？引申探究解答解不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，在△F1PF2中，由余弦定理，得∴|PF1|·|PF2|＝8，解答解不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合|PF1－PF2|＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.思維升華解析雙曲線的幾何性質(zhì)師共研答案√解析由題意，不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，則根據(jù)雙曲線的定義得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，答案解析2又∵b2＝c2－a2，整理得2c2－3ac－2a2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2.思維升華典例

已知直線y＝kx－1和雙曲線x2－y2＝1的右支交于不同兩點(diǎn)，則k的取值范圍是________.解析

直線與雙曲線的綜合問題答案解析由直線y＝kx－1和雙曲線x2－y2＝1聯(lián)立方程組，消y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，因?yàn)樵摲匠逃袃蓚€(gè)不等且都大于1的根，解析答案12345678910111213141516.經(jīng)過雙曲線

－y2＝1的右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝4，則這樣的直線的條數(shù)為A.4 B.3 C.2 D.1√∵|AB|＝4>1，∴此時(shí)有兩條直線符合題意；當(dāng)直線AB與雙曲線兩支相交時(shí)，此時(shí)A、B的最小距離是實(shí)軸兩頂點(diǎn)的距離，長(zhǎng)度為2a＝4，距離無最大值.∵|AB|＝4，∴此時(shí)有1條直線符合條件.綜上可得，共有