湖南省婁底市2023屆高三四模數(shù)學(xué)試題 【含答案 解析】

第1頁/共1頁2023屆高考仿真模擬考試數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)，從而得到，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求出結(jié)果.【詳解】因為，得到，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C.2.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因為集合，，所以，故選：A.3.已知拋物線上點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】先利用點(diǎn)在拋物線上，得到，再結(jié)合條件和拋物線的定義即可得出結(jié)果.【詳解】因為點(diǎn)在上，所以，得到，又點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4，根據(jù)拋物線定義知，，得到,故選：D.4.已知，，，則三者的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分別求得，，再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得，即可得到答案.【詳解】由，即又由，可得，因為，即，所以.故選：C.5.據(jù)統(tǒng)計，在某次聯(lián)考中，考生數(shù)學(xué)單科分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布，考生共50000人，估計數(shù)學(xué)單科分?jǐn)?shù)在130～150分的學(xué)生人數(shù)約為（）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，）A.1070 B.2140 C.4280 D.6795【答案】A【解析】【分析】利用區(qū)間上的概率及正態(tài)分布的對稱性求，進(jìn)而估計區(qū)間人數(shù).【詳解】由題設(shè)，所以數(shù)學(xué)單科分?jǐn)?shù)在130～150分的學(xué)生人數(shù)約為人.故選：A6.等腰三角形底與腰之比是黃金分割比的三角形稱為黃金三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形．如圖，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，其中一個黃金中，，記五角星中陰影部分的面積是，中間空白正五邊形的面積是，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由以及求出，得，將中間空白正五邊形分成五個全等的等腰三角形，求出，可得.【詳解】因為，所以，，所以，將中間空白正五邊形分成五個全等的等腰三角形，頂角為，腰為，所以，所以.故選：D.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為且在區(qū)間上恒成立可求解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以且在區(qū)間上恒成立，所以，解得或.故選：B8.如圖，在三棱柱中，底面ABC，，點(diǎn)D是棱上的點(diǎn)，，若截面分這個棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為（）A.1:2 B.4:5 C.4:9 D.5:7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)易知為直三棱柱，即側(cè)面為矩形，利用柱體體積公式、錐體體積公式求，進(jìn)而確定比值.【詳解】不妨令，且上下底面等邊三角形，又底面ABC，易知為直三棱柱，即側(cè)面為矩形，所以三棱柱體積，而，故，所以，故，所以.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，直線PQ與RS是平行直線的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征判斷的位置關(guān)系，即可得答案.【詳解】A：如下圖，，，由正方體性質(zhì)知：，所以，故，符合；B：如下圖，，，而，所以不平行，不符合；C：如下圖，，，而，所以不平行，不符合；D：如下圖，，，由正方體性質(zhì)知：，所以，故，符合；故選：AD10.根據(jù)小紅家2022年全年用電量（單位：度）和該月的用電量占年總用電量的百分比，繪制出如圖所示的雙層餅圖．根據(jù)雙層餅圖，下列說法正確的是（）A.2022年第二季度的用電量為260度B.2022年下半年的總用電量為500度C.2022年11月的用電量為100度D.2022年12個月的月用電量的中位數(shù)為80度【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)雙層餅圖進(jìn)行計算可得答案.【詳解】設(shè)小紅家2022年全年用電量為度，根據(jù)第一季度用電量為度，得，得度，所以第二季度用電量為度，故A正確；2022年第11月用電量占全年，2022年11月的用電量為度，故C正確；2022年下半年的總用電量為度，故B不正確；1月用電量為度，2月用電量為度，3月用電量為度，4月用電量為度，5月用電量為度，6月用電量為度，7月用電量為度，8月用電量為度，9月用電量為度，10月用電量度，11月用電量度，12月用電量為度，將全年12個月的用電量按照從小到大排列為：，所以中位數(shù)為，故D不正確.故選：AC11.已知圓M：，圓N：，直線l：，則下列說法正確的是（）A.圓N的圓心為B.圓M與圓N相交C.當(dāng)圓M與直線l相切時，則D.當(dāng)時，圓M與直線l相交所得的弦長為【答案】BD【解析】【分析】寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心坐標(biāo)和半徑，判斷與兩圓半徑的關(guān)系判斷A、B；再由點(diǎn)線距離及相交弦長公式判斷C、D.【詳解】由題設(shè)，，則且半徑，，則且半徑，A錯；所以，即兩圓相交，B對；到直線l的距離，若圓M與直線l相切，則，所以或，C錯；當(dāng)時，即圓M與直線l相交，相交弦長為，D對.故選：BD12.已知，則下列說法正確的是（）A.B.C.數(shù)列為等比數(shù)列D.數(shù)列的前n項和【答案】BD【解析】分析】設(shè)，化簡得，根據(jù)求出，可知D正確；根據(jù)求出，和可知A和C不正確；利用分組求和求出，可知D正確.【詳解】設(shè)，所以，故B正確；由，得，，，，所以數(shù)列不為等比數(shù)列，故A和C不正確；，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是設(shè)，利用求出.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知雙曲線C：，若，則雙曲線C的離心率為_________．【答案】##【解析】【分析】利用雙曲線離心率公式及參數(shù)關(guān)系，直接求離心率即可.【詳解】由.故答案為：14.已知函數(shù)滿足以下條件：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對任意，，均有，則的一個解析式為______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)寫出一個函數(shù)解析式即可.【詳解】如：，則，，又，則，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，滿足題設(shè).故答案為：（答案不唯一）15.已知向量，滿足，，且，則_____．【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)求出，再根據(jù)夾角公式可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以.故答案為：.16.已知函數(shù)，若曲線的一條切線為直線l：，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)為，將切點(diǎn)分別代入函數(shù)以及切線上，且，得到方程化簡可得，從而求得其最小值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，則在l：上，即①，因為，則，又因為直線的斜率為4，則，所以③，因為在上，所以②，由①②可得④，將③代入④中可得，，化簡可得，即⑤，由③⑤可得，，令，則，當(dāng)時，即時，，所以當(dāng)時，，故答案為:四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽．開學(xué)后，某中學(xué)團(tuán)委在高二年級（其中男生150名，女生150名）中，對是否喜歡觀看該世界杯進(jìn)行了問卷調(diào)查，各班男生喜歡觀看的人數(shù)統(tǒng)計分別為6，7，8，8，6，5，14，14，12，10，各班女生喜歡觀看的人數(shù)統(tǒng)計分別為4，4，4，5，5，6，7，7，8，10．喜歡觀看不喜歡觀看合計男生150女生150合計300（1）根據(jù)題意補(bǔ)全2×2列聯(lián)表；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為該校學(xué)生喜歡觀看世界杯與性別有關(guān)？參考臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828，．【答案】（1）列聯(lián)表見解析（2）小概率值的獨(dú)立性檢驗，能認(rèn)為該校學(xué)生喜歡觀看世界杯與性別有關(guān)【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)確定男女生喜歡、不喜歡觀看球賽的人數(shù)，即可完成列聯(lián)表；（2）應(yīng)用卡方公式求卡方值，根據(jù)獨(dú)立檢驗的基本思想即可得結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)，喜歡觀看的男生有人，故不喜歡觀看的男生有人；喜歡觀看的女生有人，故不喜歡觀看的女生有人；列聯(lián)表如下圖示：喜歡觀看不喜歡觀看合計男生9060150女生6090150合計150150300【小問2詳解】由，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，能認(rèn)為該校學(xué)生喜歡觀看世界杯與性別有關(guān).18.已知的內(nèi)角所對的邊分別為,若，，．（1）求；（2）求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用平方關(guān)系，求出，又，將求出結(jié)果代入即可得到的值；（2）利用正弦定理，根據(jù)條件和（1）中所求結(jié)果，直接求出，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為，，又，所以，，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，，，由正弦定理，又，所以，，所以的周長19.記為數(shù)列的前n項和，已知，．（1）求，；（2）求數(shù)列的通項公式．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）在中，令和，結(jié)合可求出和；（2）利用時，可求出結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時，，得，得（舍）或，當(dāng)時，，得，得或（舍），故，.【小問2詳解】當(dāng)時，，又，所以，即，因為，所以，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以.20.如圖，四棱錐的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，，，．（1）證明：EF//平面PAD；（2）求直線PC與平面CDF所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過作交于，連接，首先證為平行四邊形，易得，再由線面平行的判定證結(jié)論；（2）令到面的距離為，結(jié)合，根據(jù)已知求出，進(jìn)而求，最后由線面角的定義求其正弦值.【小問1詳解】過作交于，連接，由，則，又底面ABCD是正方形，則且，所以且，而，故且，所以為平行四邊形，則，面，面，所以平面PAD；【小問2詳解】由（1）知：，則面即為面，所以到面的距離，即到面的距離，若為，又，由PA⊥面ABCD，面，則，又ABCD是正方形，則，又，面，故面，由面，則，而，故，又到面的距離為，且是到面的距離4倍，由（1）知：到面的距離與到面的距離為，所以，又AD⊥AB，PA、AB相交且在面PAB內(nèi)，則AD⊥面PAB，所以，綜上，，由面，則，故為直角梯形，且，則，綜上，，可得，而，所以直線PC與平面CDF所成角的正弦值為.21.已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的中點(diǎn)為D（D在的左方），．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)D且斜率不為0的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別是，，試問是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）（2）是定值，定值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)D且斜率不為0的直線方程為，代入，設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理得和，再利用斜率公式得，代入和，化簡可得.【小問1詳解】依題意，，，，，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】設(shè)過點(diǎn)D且斜率不為0的直線方程為，聯(lián)立，消去并整理得，，設(shè)，，則，，所以.所以為定值.22.已知函數(shù)（其中），．（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）判斷方程在R上的實根個數(shù)．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的符號可證結(jié)論正確；（2）方程在R上的有且僅有1個實根.令，當(dāng)時，，則在區(qū)間上無零點(diǎn)，只需證明在區(qū)間上有且只有一個零點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可證結(jié)論正確.【小問1詳解】，設(shè)，則，因為，所以，所以在上為增函數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問2詳解】方程在R上的有且僅有1個實根.證明如下：方程，即，即，