新城王錦輝中學(xué)九年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教程

第一講走進(jìn)追問求根公式

形如012+6-+。=0（&*（））的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方

程的基本方法.而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法.

求根公式=土也以竺內(nèi)涵卡富：它包含了初中階段已學(xué)過的全部代數(shù)運(yùn)算；它回，答了一元二

2a

次方程的諸如怎樣求實(shí)根、實(shí)根的個(gè)數(shù)、何時(shí)有實(shí)根等基本問題；它展示了數(shù)學(xué)的簡潔美.

降次轉(zhuǎn)化是解方程的基本思想，有些條件中含有（或可轉(zhuǎn)化為）一元二次方程相關(guān)的問題，直接求解可

能給解題帶來許多不便，往往不是去解這個(gè)二次方程，而是對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃蝸泶鷵Q，從而使問題易

了解決.解題時(shí)常用到變形降次、整體代入、構(gòu)造零值多項(xiàng)式等技巧與方法.

【例題求解】

【例1】滿足“一〃-1嚴(yán)2=］的整數(shù)n有個(gè).

思路點(diǎn)撥從指數(shù)運(yùn)算律、土1的特征人手，將問題轉(zhuǎn)化為解方程.

【例2】設(shè)X］、“2是二次方程1+X-3=0的兩個(gè)根，那么占3-4叼2+19的值等于（）

A.-4B.8C.6D.0

思路點(diǎn)撥求出修、4的值再代入計(jì)算，則計(jì)算繁難，解題的關(guān)鍵是利用根的定義及變形，使多項(xiàng)式降次,

2

如xj=3-九一x2=3-JC2-

［例3］解關(guān)于x的方程（a-lax+?=（）.

思路點(diǎn)撥因不知曉原方程的類型，故需分”-1=。及"-1H0兩種情況討論.

【例4】設(shè)方程1-|2x-1卜4=0,求滿足該方程的所有根之和.

思路點(diǎn)撥通過討論，脫去絕對(duì)值符號(hào)，把絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為一般的一元二次方程求解.

【例5】已知實(shí)數(shù)a、8、c、d互不相等，￡/+—=Z?+—=c+—=（:/+—=x?試求x的值.

hcda

思路點(diǎn)撥運(yùn)用連等式，通過迭代把人、C、d用。的代數(shù)式表示，由解方程求得X的值.

注：一元二次方程常見的變形形式有：

⑴把方程—+笈+c=0("0)直接作零值多項(xiàng)式代換；

(2)把方程ar+/?x+c=0(a￥0)變形為Q『=-Z?x-c,代換后降次；

(3)把方程aJ+加:+c=0(u*0)變形為ax?+Qx=-c或+c=-法，代換后使之轉(zhuǎn)化關(guān)系或整體

地消去X.

解合字母系數(shù)方程ar2+必+。=。時(shí)-，在未指明方程類型時(shí)，應(yīng)分a=0及a#0兩種情況討論；解絕對(duì)

值方程需脫去絕對(duì)值符號(hào)，并用到絕對(duì)值一些性質(zhì)，如,「=卜2卜、2.

學(xué)歷訓(xùn)練

1.已知“、6是實(shí)數(shù)，且J2a+6+卜-閩=0,那么關(guān)于x的方程5+2)/+8，=0-1的根

為?

、37

2.已知，一3%-2=0,那么代數(shù)式“的值是___________.

x-\

3.若x'+守+y=14,y2+孫+工=28,貝ljx+y的值為.

4.若兩個(gè)方程式,+&工+8=0.和J+%X+Q=。只有一個(gè)公共根，則()

A.a=bB.a+b=OC.a+b=\D.a+b=-1

5.當(dāng)分式——有意義時(shí)，x的取值范圍是()

一廠+3x+4

A.x<-1B.x>4C.-1<x<4D.XH-1且XH4

6.方程(x+l)k+l|-xk|+l=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

7.解下列關(guān)于x的方程：

(1)(m-l),r2+(2m-1)x+m-3=0;

(2),x2-|x|-l=0;⑶卜*+41-5卜6-24.

8.已知一一2x—2=0,求代數(shù)式(x—l)2+(x+3)(x—3)+(x—3)(x—1)的值.

9.是否存在某個(gè)實(shí)數(shù)m,使得方■程i+mx+2=0和y+2/+/〃=0有且只有個(gè)公共的實(shí)根?如果存在，求

出這個(gè)實(shí)數(shù)m及兩方程的公共實(shí)根；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

注：解公共根問題的基本策略是：當(dāng)方程的根有簡單形式表示時(shí)，利用公共根相等求解，當(dāng)方程的根

不便于求出時(shí)，可設(shè)出公共根，設(shè)而不求，通過消去二次項(xiàng)尋找解題突破口.

10.若X2-5X+1=(),貝IJ2X2-9X+3+W—=.

x2+l

11.已知相、”是有理數(shù)，方程—+如+w=0有一個(gè)根是6-2,則，〃+"的值為

12.已知a是方程--"2000=0的一個(gè)正根。則代數(shù)式3+—縹萬-的值為.

1+-------

12(X)0

1+----

a

13.對(duì)于方程X2-2|M+2=，"，如果方程實(shí)根的個(gè)數(shù)恰為3個(gè)，則m值等于()

A.1n.2C.73D.2.5

14.自然數(shù)〃滿足(M-2"2)"2+47=("2_2〃_2)6i,這樣的”的個(gè)數(shù)是()

A.2B.1.C.3D.4

15.已知a、b都是負(fù)實(shí)數(shù)，且_L+_L——!--那么2的值是()

aba-b=0a

A后+]D1-后「-1+A/5門-1-后

2222

16.已知x=J19-8后,求i-61-2*+18x+23的值

X2-8X+15

17.已知m、n是一元二次方程1+20()卜+7=0的兩個(gè)根，求(，M+2000”?+6)(，/+2002〃+8)的值.

18.在一個(gè)面積為1的正方形中構(gòu)造一個(gè)如下的小正方形：將正方形的各邊〃等分，然后將每個(gè)頂點(diǎn)和它

相對(duì)頂點(diǎn)最近的分點(diǎn)連結(jié)起來，如圖所示，若小正方形面積為一!一，求〃的值.

3281

19.已知方程—一3工+1=0的兩根a、尸也是方程d-px?+q=0的根，求〃、夕的值.

20.如圖，銳角AABC中，PQRS是Z^ABC的內(nèi)接矩形，且S&BcfS矩形PQRS，其中〃為不小于3的自然數(shù).求

證：”需為無理數(shù).

AB

參考答案

LU追問求根公式

【例題求解】

例I4提示：由”+2—0./一口一［為。狗n=-2.由nf-n-1-!褥“-1,”=2：由rtl—n1=-I且n+2為偶數(shù)?得〃

-0.

例2選A由地意有3?0?*I八一3-0?即3?3一11?丁-3—h?原式x?(3-jt)4(3x,)4-19-3T,

-xfI0,4-7-3r：一《3一小》++7=4(n+，？)+4=4X(-D+40

例3(1)當(dāng)a』1時(shí).方程的根為工=*;當(dāng)。＞0且aWI時(shí).方程有兩個(gè)不相等的賓數(shù)根。二，師牛"?二［二#，當(dāng)”。

時(shí),方程有兩個(gè)相等實(shí)根『,二小=0,當(dāng)aVO時(shí)?方程沒盯實(shí)敗根.

例4當(dāng)27T＞0即■時(shí).晾方程化為二一243?0?解得上嚴(yán)3,,廣7(舍去”當(dāng)2LL0即上?十?時(shí)?代人嫁方

程不合，自去，當(dāng)2lIV。即iV"|■時(shí),原方程化為/121-5?0?網(wǎng)得，-1一?-114〉+(金去)?故所

有根之和為3+(一］一展)=2-倔

例S由已知均力—一?一?＜=r^一-一^.代人一3?1得一1一“一；+』-1?0?即心'一儲(chǔ)＜/-】＞7'(2?/U)JFa＜/4I=-0.

x-axzarldri-ajr-\a

又由d+?=i得“d+l-ai,代人上面方程得(」a)(xJ2Q=0.由已知/—WO?故工'-21初若LO?則Lr

矛盾：故有，-2,即尸土我?

【學(xué)力訓(xùn)練】

1.1土《2.23?一7或6的方程相加,將(1-尸尸+(1+W-42=04.D5.D

6.A當(dāng)上＞0時(shí),工一一1(含去)，當(dāng)l&iVO時(shí)?您方程沒有實(shí)根.當(dāng)工〈一1時(shí)?/一；舍去.

7?⑴當(dāng)mI時(shí)"Ti當(dāng)"？M且E＞樸時(shí)小廣12噌/個(gè)〃“；等“1Rm-"時(shí)，八=5-5凸且m＜

14I)\L

甘時(shí),方程無實(shí)數(shù)根.⑵―|川一1-0,|川―與叵或|川?與叵(含去)?故九尸土.⑶］L4--15.L

一3±2倔

?.I原式=3(/一2八一5HL

9.假設(shè)存在符合條件的實(shí)效m且設(shè)這兩個(gè)方程的公共實(shí)根為a?則

s

(aMOI2=0①①一②，得(m-2)(aI)=0

la'+2a-+m-0②?*?m=2或a=l.

當(dāng)e—2時(shí)?巳知兩個(gè)方程為同一個(gè)方程.fi沒有實(shí)數(shù)根?故m-2舍去，當(dāng)a-H時(shí)?代人①科m-3?求得公共極為，=1.

_J9—2??+?r0-

11.3代人有(9一2m+”)+(，〃4R^?0?則<?解得m-4?n

lm-4?0

12.^^37提示:。：，a+2000,Q：—a=2000

13.Bi=】+/?”-1或工=一1±y/m--T

14.C必+"=16n—16或”“一2"-2=1-2”一2=一】.IS.C

16.戛々一■4一一，得d+81?I3-O?代入原式《-5.

17.十2001加+7""0.+2001”+70>

原式=(Mi2001〃，+7，〃-1)(/I200In+7+〃11)=(；?-1)(?4-1)

-(mn-rm-rw*l)-(7-20014-1)-1993.

18.A.B^.CC,=4--ACJl'+(三■%：過C作CPLA,C+P.W)R0A,BCsRt^CPC,用5=岑.手

nn\nA|C

患產(chǎn)2Jn+5需得(“7】)("40)?0.故”TL

19./31-】?則*'-(3i及?9/一61+1代人第二個(gè)方程將

9/-6"+1-”'+q=0?整理為(9一戶)？一61+“+I)Q(?)

(?)方程與方程/3,+1=0是同“方程.則號(hào)=三1=斗1.的得,=7.q=l.

20.如圖,設(shè)BC邊上的高ADh,PSx,R5y,由△ASRs&ABC.得寫三二十.

.h一或

-'U

、jh一工

VSq*:〃二20Amy?u?整理得2〃/'

2”(本)-2網(wǎng)?f+1=0?二千工+士)-2”,顯然/-2川〈門一】兒又心3,

???M-2Q(L2)?,故，―2n不是完全平方收為無理數(shù)?從而千為無理數(shù),于是含于為無理數(shù).

第二講充滿活力的韋達(dá)定理

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達(dá)定理，這是因?yàn)樵摱ɡ硎怯?6世紀(jì)法國最杰出的

數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的.

韋達(dá)定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在：

運(yùn)用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)的值：

運(yùn)用韋達(dá)定理，求代數(shù)式的值；

利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征

利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等.

韋達(dá)定理具有對(duì)稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的基本思路.

韋達(dá)定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識(shí)可有機(jī)結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問題，而解這類

問題常用到對(duì)稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法.

【例題求解】

【例1】已知a、￡是方程x2-x-l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式a2+a(￡2-2)的值為.

思路點(diǎn)撥所求代數(shù)式為a、4的.非對(duì)稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例

【例2】如果a、b都是質(zhì)數(shù)，且/-13。+〃2=0,廬一13b+〃?=0,那么2+巴的值為()

ab

123125To125八123

A.BD.——或2Cr.——D,——或TQ2

~22222222

思路點(diǎn)撥可將兩個(gè)等式相減，得到。、?的關(guān)系，由于兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相同，可視。、8為方程--13工+加=0

的兩實(shí)根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件?.

注：應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于修、起的對(duì)稱式，這類問題可通過變形用匹+七、2全表

示求解，而非對(duì)稱式的求值常用到以下技巧：

(1)，恰當(dāng)組合；

(2)根據(jù)根的定義降次；

⑶構(gòu)造對(duì)稱式.

2

【例3】已知關(guān)于X的方程：X2-(/77-2U--=0

4

(1)求證：無論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根.

(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根xrX2滿足卜2|="|+2,求ni的值及相應(yīng)的修、x2.

思路點(diǎn)撥對(duì)于(2),先判定孫、々的符號(hào)特征，并從分類討論入手.

【例4】設(shè)不、々是方程2N-4mx+2m2+3"?-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時(shí)，+.均2有最小值？

并求出這個(gè)最小值...

思路點(diǎn)撥利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再從配方法入手”應(yīng)注意本例是在一定約束條

件下(△N0)進(jìn)行的.

注：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即應(yīng)用書達(dá)定理解題時(shí),須滿足判別式

0這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價(jià)性.

【例5】已知：四邊，形ABCD中，AB〃CD,且AB、CD的長是關(guān)于x的方程x?-2/nx+(m」)2+2=0的兩

24

個(gè)根.

(1)當(dāng)m=2和m>2時(shí)，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由.

(2)若M、N分別是AD.BC的中點(diǎn)，線段MN分別交AC.BD于點(diǎn)P,Q,PQ=1,且AB〈CD,求AB、CD的長.(2003

年哈爾濱市中考題)

思路點(diǎn)撥對(duì)于(2),易建立含AC、BD及m的關(guān)系式，要求出m值，還需運(yùn)用與中點(diǎn)相關(guān)知識(shí)找尋CD、

AB的另一隱含關(guān)系式.

注：在處理以線段的長為根的?元二次方程問題時(shí)，往往通過韋達(dá)定理、幾何性質(zhì)將幾何問題從“形”向

“數(shù)”(方程)轉(zhuǎn)化，既要注意通過根的判別式的檢驗(yàn)，乂要考慮幾何量的非負(fù)性.

學(xué)歷訓(xùn)練

1.(1)已知X|和*2為一元二次方程2x2_2X+3機(jī)-1=0的兩個(gè)實(shí)根，并X,和X2滿足不等式?吁2?<1,

X]+冗2-4

則實(shí)數(shù)m取值范圍是.

(2)已知關(guān)于x的一元二次方程8X2+(W+1)X+〃L7=O有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)擾的取值范圍

是.

2.已知a、￡是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式<?+。2/7+必2+￡2的值為

3.CD是Rt^ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程--6x+4=0的兩根，則AABC的面積是.

4.設(shè)X]、是關(guān)于x的方程x?+px+g=0的兩根，X]+l、x2+1是關(guān)于x的方程—+qx+p=0的兩根，

則p、q的值分別等于()

A.1,-3B.1,3C.-1,-3D.-1,3

5.在RtZiABC中，ZC=90°,a、b、c分別是NA、NB、NC的對(duì)邊，a、b是關(guān)于x

的方程--7x+c+7=0的兩根，那么AB邊上的中線長是()

35

A.-B.-C.5D.2

22

6.方程x2+px+i997=0恰有兩個(gè)正整數(shù)根勺、x2,則---2-----的值是()

(^+1)(%2+1)

A.1B.-1C.-1D.-

22

7.若關(guān)于X的,元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足關(guān)系式：X?+1)+勺(*2+D=(占+1)。2+1)，判斷

(0+6)244是否正確？

8.已知關(guān)于X的方程/-(2k-3)x+?2+1=0.

(1)當(dāng)k是為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根；

(2)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根與、超滿足：員|+忖卜3,求)t的值.

9.已知方程x2+px+q=0的兩根均為正整數(shù)，且p+q=28,那么這個(gè)方程兩根為.

10.已知。、力是方程--x-l=0的兩個(gè)根，則的值為.

11.ZXABC的一邊長為5,另兩邊長恰為方程2”-12》+根=0的兩根，則m的取值范圍是.

12.兩個(gè)質(zhì)數(shù)“、〃恰好是整系數(shù)方程的兩個(gè)根，則^+巴的值是()

ab

A.9413B.絲941上3C.9空413UD.蘭941?3

1949997

13.設(shè)方程有?個(gè)正根西，一個(gè)負(fù)根X2,則以民卜HI為根的一元二次方程，為()

A.x2-3x—m-2=0B.x2+3x->7?—2=0

C.x~-Vl—4mx—2=0D.x2--Jl—Ainx+2=0

14.如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是

()

333

A,.OWmWlB.m>-C.-<W<1D..士WmWl

444

15.如圖,在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的長為10,且AB、BC(A如BC)的長是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根.

⑴求rn的值；

(2)若E是AB上的一點(diǎn)，CFLDE于F,求BE為何值時(shí)，ACEF的面積是4CED的面積的L請(qǐng)說明理由.

3

16.設(shè)m是不小于-1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程工x2+2(m-2)x+m2-3山+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根不、

x2?

(1)若A：/+*2=6,求m的值.

22

(2)求竺L+空J(rèn)的最大值.

1—X]1—打

17.如圖，已知在AABC中，ZACB=90°,過C作CD_LAB于D,且AD=m,BD=n,AC2：BC2=2：1；又關(guān)于

x的方程;X2-2(“-1)X+W2-12=0兩實(shí)數(shù)根的差的平方小于192,求整數(shù)m、n的值.

18.設(shè).、。、c為三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得方程和—+原+1=0和x2+"+c=o有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，并且

使方程/+x+a=0和—+cx+6=0也有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，試求a+b+c的值.

參考答案

因充滿活力的韋達(dá)定理

【例題求解】

例10原式工。十1一2aHi0=1-1=0

例2選B當(dāng)時(shí)?原式=2,當(dāng)a*b.a、b為方程/-13工+加=。的兩個(gè)糧?a+b-13?a、b只能為2或11?原式口號(hào)+

2■適

n-22*

例3(l)a2(，“-1>"+2>0(2)才/1一一與(0.則與40,小—0,或“1》0,?40.

①若n<05》0,則it=一》+2,?，x14xt=2.：.m2=2?得/n—4.T—1士6；

83T

②若八。0?八〈0?則一乃Ti+2,；?，+*?——2,；?m—2----2,得m—0,x：^0.xf=-2.

2

例4由△一(一4小尸4X2X(2m,+3m-2)>0.^

+毛=__?二與'+s

■:Xi2m.X|XS"2，"十”=Cxi+x?)"-2xtx,-2(-1--m)-F-g-.

當(dāng)或暫時(shí)5,十靖取得用小值,旦最小值為

例5(1)-切?2時(shí)?△■()???AB/CD?故四邊形ABCD是平行四邊形.當(dāng)m>2時(shí)一2>0.又A3卜CD2m

AB?CD(m—十尸+孑>0??"叱0.而從8〃8,故四邊形ABCD是梯形.

(2)PQ-j-DC-yAB1,?「DC-AB7

V(DC-AB)I=(ZX.*4-AB)f~4DC-AB=(2m>—4(/一小+2).解得巾=3.從而48=2.。。=4.

【學(xué)力訓(xùn)練】

1.a)-y<m<—(2)m>72.-33.6

4.C5.B6.CX|X,-1997.x,-］.JT：—1997,p=—(x,4-x?)=—1998.

7.由條件得(?+小戶一3八不一】一。,??《a+6?=4M+l

Xa9(ui-5):4X3X4M》O.'.(uI6)l>ya6.8Pi>yu6.,.4a6C.3從而4ab+1&4.即(a+6)'<4.

8.⑴M；各⑵由十l>0知n5同號(hào),分箝>。5>0及nVO.VO情況片論，得4-0.

9.30.210.5設(shè)A=d+3d4/+%?由A+H—10及，4一8—0,得A=5.

11.y<m<l8設(shè)另兩邊為'c.則由|方一「=/。十》一止V5及A20.解理竽VE*1B.

12.Bplq99?p、q為2.97,mpg-194.13.C

.fA>0(4-4m>0?

14.C設(shè)三根為15.J：則Ini/Vl.由：、，一得.解得:Vm《l

l(q一工2尸4114—4m>l4

15.(Dm?8?

(2)A8=8.BC—6,由^^=4■?得DE-3EF

OAtW3

乂△OAEsaCFT).得票=煤*￡-^^=需,設(shè)AE=”j?DF工人療+AE*=36+,.絲-

■1/x?<*VzlxZ4

即?72y+360?解得y6,故BE-2.

16.Q，-4mI4>0?理mVL結(jié)介Ifi設(shè)加】一IMeVI.

(I).r；+r；(4+"?)'-2nn-2n?'-J0m+10=6.融得m='土產(chǎn)工由于l<mVl.故-^.

(2)除式/〔Hrl泮學(xué)筆尹］=迎3二^吟產(chǎn)士!2=2(/_3府+1)_2(小-4)'_名.

xiZr-(xj4-xt)4-1m(m-1)\2，2

當(dāng)E--1時(shí).f左+盧比的星大值為10.

I-“11-4

17?備一紫”"?即，〃2“(D.K4/-m?-8”+16>0②，把①代人②啊”42.

oCOMn1

又力+才？kBCl=4(，〃'-12),由(工?—““)'<192?得4”'-m"—8〃+4Vo③.

把①代人③?得???y<?<2.:.”=12從而得m-2或4?

18.設(shè)/；+。才］+1-：0,工；+。/|+c=0?行JTix-~~同理.由4+圖-Fa-0,x?+<-jr+b=0?得x?---1).故

a-btc~~1X|

另一方面由I」達(dá)定兒卻1是第一個(gè)方程的根?這就我明/；是方程/+ai+】?。和,+/十。-0的公共根因此曲式相

不

成有Q1)(*廣1)=0,但當(dāng)。=1時(shí)?這兩個(gè)方程無實(shí)蜴.故4=1,從而于是a=-2,b+c=-l?所以.a+b+c-

第三講明快簡捷一構(gòu)造方程的妙用

有些數(shù)學(xué)問題雖然表面與一元二次方程無關(guān)，但是如果我們能構(gòu)造一元二次方程，那么就能運(yùn)用一元

二次方程豐富的知識(shí)與方法輔助解題，構(gòu)造一元二次方程的常用方法是：

1.利用根的定義構(gòu)造

當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)，就可把某兩個(gè)變?cè)闯墒顷P(guān)于某個(gè)字母的?元二次方程的兩根.

2.利用韋達(dá)定理逆定理構(gòu)造

若問題中有形如x+y=a,個(gè)=6的關(guān)系式時(shí)，則x、y可看作方程d-az+匕=0的兩實(shí)根.

3.確定主元構(gòu)造

對(duì)于含有多個(gè)變?cè)牡仁?，可以將等式整理為關(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程.

成功的構(gòu)造是建立在敏銳的觀察、恰當(dāng)?shù)淖冃?、廣泛的聯(lián)想的基礎(chǔ)之上的；成功的構(gòu)造能收到明快簡捷、

出奇制勝的效果.

注：許多數(shù)學(xué)問題表面上看難以求解，但如果我們創(chuàng)造性地運(yùn)用已知條件，以已知條件為素材，以所求

結(jié)論為方向，有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)造出一種輔助問題及其數(shù)學(xué)形式，就能使問題在新的形式下獲得簡

解，這就是解題中的“構(gòu)造”策略，構(gòu)造圖形，構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造反例是常用構(gòu)造方法.

【例題求解】

【例1】已知x、y是正整數(shù)，并且xy+x+y=23,x~y+xy2=120＞則x?+y2=.

思路點(diǎn)撥x2+y2=(x+y)2_2xy,變形題設(shè)條件，可視x+y、冷，為某個(gè)?元二次方程兩根，這樣問題

可從整體上獲得簡解.

【例2】若Hxl,且有5。2+2001。+9=0及9廬+200g+5=0,則巴的值是()

b

52001口2001

Ar

-I959

思路點(diǎn)撥笫二個(gè)方程可變形為3+理+9=0,這樣兩個(gè)方程具有相同的結(jié)構(gòu)，從利用定義構(gòu)造方程入

b2b

手.

【例3】已知實(shí)數(shù)〃滿足〉+m+及=1,S.t=ab-a2-b2,求，的取值范圍.

思路點(diǎn)撥由兩個(gè)等式可求出。+》、融的表達(dá)式，這樣既可以從配方法入手，又能從構(gòu)造方程的角度去

探索，有較大的思維空間.

【例4】已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+6+c=2,abc=4.

(1)求a、b、c中最大者的最小值；

(2)求忖+網(wǎng)+目=3的最小值.

思路點(diǎn)撥不妨設(shè)aNb,由條件得b+c=2-a,從”士.構(gòu)造以b、c為實(shí)根的一元二次方程，通過

a

△與0探求1的取值范圍一，井以此為基礎(chǔ)去解（2）.

注：構(gòu)造一元二次方程，在問題有解的前提下，運(yùn)用判別式△＞（）,建立含參數(shù)的不等式，

縮小范圍逼近求解，在求字母的取值范圍，求最值等方面有廣泛的應(yīng)用.

【例5】試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位數(shù)之和的平方，恰好等于這

個(gè)四位數(shù).

思路點(diǎn)撥設(shè)前后兩個(gè)二位數(shù)分別為x,y,則有（x+y）2=100.r+y,將此方程整理成關(guān)于x（或），）的一元

二次方程，在方程有解的前提下，運(yùn)用判別式確定y（或x）的取值范圍.

學(xué)歷訓(xùn)練

1.若方程〃/X2一（23次+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和是s,則$的取值范圍是

2.如圖，在RtZSABC中，斜邊AB=5,CD1AB,已知BC、AC是元二次方程/一（2機(jī)-1次+4（〃-1）=0的

兩個(gè)根，則田的值是-

3.已知。滿足/_2&-1=0,b2=0,則々+2=_______

ba

4.已知&2+&-1=0,￡2+/_[=0,,則a/?+a+尸的值為（）

A.2B.-2C.-1D.0

5.已知梯形ARCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,若S△.硒=4,S-=9,則四邊形ABCD的面積S；的最小值

為（）

A.21B.25C.26D.36

6.如圖，菱形A6CD的邊長是5,兩條對(duì)角線交于。點(diǎn)，且AO、B0的長分別是關(guān)于x的方程的根，則m的

值為（）D

A.一3B.5C.5或一3n—5或3/f\

B

（第6題）

7.已知pL2P-5=0,5r+2q-l=0,其中p、q為實(shí)數(shù),求p?H—的值.

（廣

8.已知入和y是±E整數(shù)，并且滿足條件xy+x+y=71,x~y+xy2=88（）,求的值.

9.已知癡2—2加—5=0,5『+2〃-3=0,其中m、n為實(shí)數(shù)，則用」=

n

10.如果a、b、c為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式廬+c2=2a2+16a+14與bc=a2-4a-5,那么a的

取值范圍是.

11.已知5/+2y2+2孫-14x-10y=17=0,則*=,y=.：

12.如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=b,AB=c,若,D、E分別是AB和AB延長線上的兩點(diǎn)，BD=BC,

CE±CD,則以AD和AE的長為根的一元二次方程是.

<簞zoas）

已知a、b>c,均為實(shí)數(shù)，a+b+c=0,abc=2,求|a|+W+|c|的最小值.

設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足,求a的取值范圍.

b+c+be-6。+6=0

15.如圖，梯形ABCD中，AD/7BC,AD=AB,名迷里2=U,梯形的高AE=R1,K—+—.

SMBC82ADBC40

(1)求NB的度數(shù)；

(2)設(shè)點(diǎn)M為梯形對(duì)角線AC上一點(diǎn)，DM的延長線與BC相交于點(diǎn)F,當(dāng)50°“=至叵，求作以CF、DF

32

的長為根的一元二次方程.

B~EF-AE\C

（第15題）（第16題）

16.如圖，已知aABC和平行于RC的直線DE,且ABDE的面積等于定值火2,那么當(dāng)小與ABDE之間滿足

什么關(guān)系時(shí)，存在直線DE,有兒條？

參考答案

圖明快簡捷一構(gòu)造方程的效用

【例題求解】

fxIy-8

例1由已知23,工yQ+W=l20?剜”、*+y是力胃/23，+12。?0的兩根，煙。=8?4-15?二<〃或

(jry*-15

(j1y=15

(金去)，L+y=b+y)'—2工y-界2X15-34.

(Xy=8

例2選A處然由9層+2003+5=0得5?(。)'+2001?：+9=0.又必W1,即“/：?則a、：兄方程5/+

2001*+9=0的兩個(gè)根?由書達(dá)定理網(wǎng)a-+N母，即行一卷.

例3由條件楞砧=嬰皿+6I.a、6是關(guān)于，的方程/士/算■卜號(hào)=0的的個(gè)實(shí)根.由△

寧2(,+1)=米一十》0.解得《一；?故，的取值超圖是3C<y.

例§⑴??*+L2u,bty:.b.c為一元二次方程iJ2-a>r+?i0的兩個(gè)實(shí)根

：?△(2al4X±》0?即(<?+4)QD>0.<5a>4.

a

當(dāng)。-4,&=『一-1時(shí)，a、A"滿足條件,故*人,中最大者的最小值為4.

⑵a、b、c只可能一正二負(fù)，設(shè)“>0?Zr<0.cV0,則a|+|6|+.4|-a—b—c-2a—2

由(I)知a>4.故2a—236?當(dāng)a=4?b=c—一】時(shí)?05、c潛足條件?旦使1“1T同+"2。236中等，：成立.故

lal+gT卜|的最小值為6.

例5由《工+山’J】<Xkr+y,得jr1+2《'-50)*+(y?y>-0.

當(dāng)△-4<>50)J4(?—,)=4(2500—99、)>0?得'425時(shí).方程有實(shí)效解

1-503_1/^麗=甌由于2500-99￥必為完全平方數(shù).而完全平方數(shù)的末位數(shù)字儀可能為。.1.4?5?6,9?故^儀

可取25,此時(shí)1j30或r=20.

【學(xué)力訓(xùn)練】

1.W一1且$工一3.X43.2或一64.B5.B6.A

7.(1)當(dāng)p吟時(shí)??；是關(guān)于了的方程/2t-5=。的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)銀沙+-2.。?卜-5.祖式T4.

*(2)3p工時(shí)是關(guān)于J的方程一-215。0的一個(gè)根?解得毛.,-】土&?。十32P2(1土歷尸14上4瓦

qq

故封+3的值為11或H卜4/6或U-4VG.

8.146參見例19.G或-爭10.a>-l由攜設(shè)中的兩個(gè)條件求出b+c關(guān)于a的表達(dá)式.構(gòu)造元二次方程.

按工的降薦排列用理原等式用從/》人手.

11.K?5/+(2,-14"+2>/—10'+17-0.10

12.7—23+〃-0

13.aAc中有兩個(gè)為負(fù)?一個(gè)為正，不妨設(shè)aVOXOQO,且。+2-16=3力為方程丁+CTT20的兩極.:.

△"</一系)。?得c>2,故流式一一0-b+c=2cN4,UP原式有最小值為4.

14.由條件得及=??—&i+7?6+,~土(a—1).；?6、c是關(guān)于z的方程￡干(4—1)工+<?—&JT7-0的實(shí)根.

由△=［干(a—1)了一4(/一&?+7)N。，得l&a<9.

15.(1)Agt.gf竽?強(qiáng)%二春.褥人。=5?故：=8?8辿=恁=亨，???/8—60?

(2)過點(diǎn)M作兩底的垂線〃N.H、N為垂足,MN=、^,MH=挈一"盧n船丁△AMDs△CM尸,二然■

io4loloMil

像W???FC?3?BFd5?得/7ABFD,DF=5,所求的方程為〉8才+15=0.

設(shè)^^=/,$乙?則乙城才$,由曲,得八一，、十公即x狀

16.5??54N/S.SAW：Sc-mS?F，-SAM>￡，