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湖北省孝感市八校教學(xué)聯(lián)盟2023年高三4月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是且,若為最大邊,則的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知函數(shù)若函數(shù)在上零點(diǎn)最多,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.某校8位學(xué)生的本次月考成績(jī)恰好都比上一次的月考成績(jī)高出50分,則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績(jī)各自組成樣本,則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是()A.方差 B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.平均數(shù)4.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.5.已知中,,則()A.1 B. C. D.6.若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知集合,,若,則()A. B. C. D.8.函數(shù)的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是()①圖象C關(guān)于直線對(duì)稱;②圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;③由y=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③9.已知命題p:“”是“”的充要條件;,,則()A.為真命題 B.為真命題C.為真命題 D.為假命題10.在正方體中,球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切,球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切,且兩球相切于點(diǎn).若以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過(guò),設(shè)球的半徑分別為,則()A. B. C. D.11.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,且,則()A. B. C.1 D.212.在四邊形中,,,,,,點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上,且,點(diǎn)在邊所在直線上,則的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量=(1,2),=(-3,1),則=______.14.已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為512,其展開(kāi)式中第四項(xiàng)的系數(shù)__________.15.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中,要求每天消耗原料都不超過(guò)12千克.通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤(rùn)是__________元.16.設(shè)集合,(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),且,則滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)為何值時(shí),軸為曲線的切線;(2)用表示、中的最大值,設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).18.(12分)已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)若,討論的單調(diào)性;(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍,并證明:.19.(12分)[選修4-5:不等式選講]:已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)設(shè),,且的最小值為.若,求的最小值.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若對(duì)任意成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)如圖,設(shè)點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn),圓過(guò)且斜率為的直線交圓于兩點(diǎn),交橢圓于點(diǎn)兩點(diǎn),已知當(dāng)時(shí),(1)求橢圓的方程.(2)當(dāng)時(shí),求的面積.22.(10分)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由,化簡(jiǎn)得到的值,根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求解.【詳解】由,可得,可得,通分得,整理得,所以,因?yàn)闉槿切蔚淖畲蠼?,所以,又由余弦定理,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以,即,又由,所以的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn),余弦定理,以及基本不等式的綜合應(yīng)用,試題難度較大,屬于中檔試題,著重考查了推理與運(yùn)算能力.2、D【解析】
將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題,畫(huà)出函數(shù)的圖象,易知直線過(guò)定點(diǎn),故與在時(shí)的圖象必有兩個(gè)交點(diǎn),故只需與在時(shí)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),再與切線問(wèn)題相結(jié)合,即可求解.【詳解】由圖知與有個(gè)公共點(diǎn)即可,即,當(dāng)設(shè)切點(diǎn),則,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題,曲線的切線問(wèn)題,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于較難的壓軸題.3、A【解析】
通過(guò)方差公式分析可知方差沒(méi)有改變,中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知,中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績(jī)相比,成績(jī)和平均數(shù)都增加了50,所以沒(méi)有改變,根據(jù)方差公式可知方差不變.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本的數(shù)字特征,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4、C【解析】
結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長(zhǎng),由此求得邊上的高.【詳解】過(guò)作,交的延長(zhǎng)線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.5、C【解析】
以為基底,將用基底表示,根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律,即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算以及向量的基本定理,考查向量數(shù)量積運(yùn)算,屬于中檔題.6、B【解析】
化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),由它是純虛數(shù),求得,從而確定對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】是純虛數(shù),則,,,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
由,得,代入集合B即可得.【詳解】,,,即:,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的含義,也考查了元素與集合的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心和圖象變換的知識(shí),判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)?,又,所以①正確.,所以②正確.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得,所以③錯(cuò)誤.所以①②正確,③錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心,考查三角函數(shù)圖象變換,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
由的單調(diào)性,可判斷p是真命題;分類討論打開(kāi)絕對(duì)值,可得q是假命題,依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題.對(duì)于命題q,當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),,由,得,無(wú)解,因此命題q是假命題.所以為假命題,A錯(cuò)誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯(cuò)誤;為真命題,D錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學(xué)生邏輯推理,分類討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.10、D【解析】
由題先畫(huà)出立體圖,再畫(huà)出平面處的截面圖,由拋物線第一定義可知,點(diǎn)到點(diǎn)的距離即半徑,也即點(diǎn)到面的距離,點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離因此球內(nèi)切于正方體,設(shè),兩球球心和公切點(diǎn)都在體對(duì)角線上,通過(guò)幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出,進(jìn)而求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義,點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等,其中點(diǎn)到點(diǎn)的距離即半徑,也即點(diǎn)到面的距離,點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離,因此球內(nèi)切于正方體,不妨設(shè),兩個(gè)球心和兩球的切點(diǎn)均在體對(duì)角線上,兩個(gè)球在平面處的截面如圖所示,則,所以.又因?yàn)?,因此,得,所?故選:D【點(diǎn)睛】本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化,拋物線幾何性質(zhì)的使用,內(nèi)切球的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化思想,直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)11、C【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件,求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足,所以,,.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
依題意,如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,表示出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)求出的坐標(biāo),求出邊所在直線的方程,設(shè),利用坐標(biāo)表示,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解:依題意,如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,由,,,,,,,因?yàn)辄c(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上,設(shè),解得,所在直線的方程為因?yàn)辄c(diǎn)在邊所在直線上,故設(shè)當(dāng)時(shí)故選:【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積,關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-6【解析】
由可求,然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求.【詳解】∵=(1,2),=(-3,1),∴=(-4,-1),則=1×(-4)+2×(-1)=-6故答案為-6【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)試題.14、【解析】
先令可得其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的和,又由題意得,解得,進(jìn)而可得其展開(kāi)式的通項(xiàng),即可得答案.【詳解】令,則有,解得,則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,則其展開(kāi)式中的第4項(xiàng)的系數(shù)為,故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,解題時(shí)需要區(qū)分展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和與各二項(xiàng)式系數(shù)和,屬于基礎(chǔ)題.15、1元【解析】設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為桶,桶,利潤(rùn)為元
則根據(jù)題意可得目標(biāo)函數(shù),作出可行域,如圖所示作直線然后把直線向可行域平移,
由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí),目標(biāo)函數(shù)的截距最大,此時(shí)最大,
由可得,即此時(shí)最大,
即該公司每天生產(chǎn)的甲4桶,乙4桶,可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)為1.【點(diǎn)睛】本題考查用線性規(guī)劃知識(shí)求利潤(rùn)的最大值,根據(jù)條件建立不等式關(guān)系,以及利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.16、【解析】
可看出,這樣根據(jù)即可得出,從而得出滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為1.【詳解】解:,或,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)與的圖象,由圖可知與無(wú)交點(diǎn),無(wú)解,則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】考查列舉法的定義,交集的定義及運(yùn)算,以及知道方程無(wú)解,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,然后根據(jù)可解得實(shí)數(shù)的值;(2)令,,然后對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論,結(jié)合和的符號(hào)來(lái)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】(1),,設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn),則,即,解得.所以,當(dāng)時(shí),軸為曲線的切線;(2)令,,則,,由,得.當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為增函數(shù);當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為減函數(shù).,.①當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);②當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);③當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn);④當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);⑤當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述,當(dāng)或時(shí),函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)或時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用,屬難題.18、(1)減區(qū)間是,增區(qū)間是;(2),證明見(jiàn)解析.【解析】
(1)當(dāng)時(shí),求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及二階導(dǎo)函數(shù),由此求得的單調(diào)區(qū)間.(2)令求得,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間、極值和最值,結(jié)合有兩個(gè)極值點(diǎn),求得的取值范圍.將代入列方程組,由證得.【詳解】(1),,又,所以在單增,從而當(dāng)時(shí),遞減,當(dāng)時(shí),遞增.(2).令,令,則故在遞增,在遞減,所以.注意到當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),有一個(gè)極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),沒(méi)有極值點(diǎn),綜上因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)極值點(diǎn),所以不妨設(shè),得,因?yàn)樵谶f減,且,所以又所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn),考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.19、(1)(2)【解析】
(1)當(dāng)時(shí),,原不等式可化為,分類討論即可求得不等式的解集;(2)由題意得,的最小值為,所以,由,得,利用基本不等式即可求解其最小值.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,原不等式可化為,①當(dāng)時(shí),不等式①可化為,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),不等式①可化為,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),不等式①可化為,解得,此時(shí),綜上,原不等式的解集為.(2)由題意得,,因?yàn)榈淖钚≈禐椋?,由,得,所以,?dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式問(wèn)題,對(duì)于含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.20、(1)(2)【解析】
(1)把代入,利用零點(diǎn)分段討論法求解;(2)對(duì)任意成立轉(zhuǎn)化為求的最小值可得.【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),不等式可化為.討論:①當(dāng)時(shí),,所以,所以;②當(dāng)時(shí),,所以,所以;③當(dāng)時(shí),,所以,所以.綜上,當(dāng)時(shí),不等式的解集為.(2)因?yàn)?,所?又因?yàn)?,?duì)任意成立,所以,所以或.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對(duì)值不等式的解法及恒成立問(wèn)題,恒成立問(wèn)題一般是轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).21、(1)(2)【解析】
(1)先求出圓心到直線的距離為,再根據(jù)得到,解之即得a的值,再根據(jù)c=1求出b的值得到橢圓的方程.(2)先求出,,再求得的面積.【詳解】(1)因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn),且斜率.所以直線的方程為,即,所以圓心到直線的距離為,又因?yàn)?,圓的半徑為,所以,即,解之得,或(舍去).所以,所以所示橢圓的方程為.(2)由(1)得,橢圓的右準(zhǔn)線方程為,離心率
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