專題47 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式 （原卷版）

專題47事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式【考點預(yù)測】知識點1、條件概率（一）定義一般地，設(shè)，為兩個事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發(fā)生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進行．（二）性質(zhì)（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注意：（1）如果知道事件發(fā)生會影響事件發(fā)生的概率，那么；（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當(dāng)于發(fā)生，要求，相當(dāng)于把看作新的基本事件空間計算發(fā)生的概率，即．知識點2、相互獨立與條件概率的關(guān)系（一）相互獨立事件的概念及性質(zhì)（1）相互獨立事件的概念對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計算公式，，從而．由此我們可得：設(shè)，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．（2）概率的乘法公式由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（3）相互獨立事件的性質(zhì)如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．（4）兩個事件的相互獨立性的推廣兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發(fā)生的概率．（二）事件的獨立性（1）事件與相互獨立的充要條件是．（2）當(dāng)時，與獨立的充要條件是．（3）如果，與獨立，則成立．知識點3、全概率公式（一）全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．注意：（1）全概率公式是用來計算一個復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題．（2）什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式．（二）貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且注意：（1）在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看導(dǎo)致這一試驗結(jié)果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導(dǎo)致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率．（2）貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．【題型歸納目錄】題型一：條件概率題型二：相互獨立事件的判斷題型三：相互獨立事件概率的計算題型四：相互獨立事件概率的綜合應(yīng)用題型五：全概率公式及其應(yīng)用題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用【典例例題】題型一：條件概率例1．（2022·浙江·紹興魯迅中學(xué)高三階段練習(xí)）甲?乙兩人到一商店購買飲料，他們準備分別從加多寶?農(nóng)夫山泉?雪碧這3種飲品中隨機選擇一種，且兩人的選擇結(jié)果互不影響.記事件“甲選擇農(nóng)夫山泉”，事件“甲和乙選擇的飲品不同”，則（

）A． B． C． D．例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若將整個樣本空間想象成一個1×1的正方形，任何事件都對應(yīng)樣本空間的一個子集，且事件發(fā)生的概率對應(yīng)子集的面積.則如圖所示的涂色部分的面積表示（

）A．事件A發(fā)生的概率 B．事件B發(fā)生的概率C．事件B不發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率 D．事件A、B同時發(fā)生的概率例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）端午節(jié)這天人們會懸菖蒲、吃粽子、賽龍舟、喝雄黃酒．現(xiàn)有9個粽子，其中2個為蜜棗餡，3個為臘肉餡，4個為豆沙餡，小明隨機取兩個，設(shè)事件A為“取到的兩個為同一種餡”，事件B為“取到的兩個均為豆沙餡”，則（

）A． B． C． D．變式1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如果不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列的項數(shù)為4，記事件：集合，事件：為“局部等差”數(shù)列，則條件概率（）A． B． C． D．變式2．（2022·江蘇·南京市秦淮中學(xué)高三階段練習(xí)）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)到夫子廟、總統(tǒng)府、中山陵、南京博物館4處景點旅游，每人只去一處景點，設(shè)事件為“4個人去的景點各不相同”，事件為“只有甲去了中山陵”，則____________.變式3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知事件A和B是互斥事件，，，，則______．變式4．（2022·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）2022年3月，全國大部分省份出現(xiàn)了新冠疫情，對于出現(xiàn)確診病例的社區(qū)，受到了全社會的關(guān)注．為了把被感染的人篩查出來，防疫部門決定對全體社區(qū)人員篩查核酸檢測，為了減少檢驗的工作量，我們把受檢驗者分組，假設(shè)每組有k個人，把這k個人的血液混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，這k個人的血液全為陰性，因而這k個人只要檢驗一次就夠了；如果為陽性，為了明確這k個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這k個人再逐個進行檢驗．假設(shè)在接受檢驗的人群中，隨機抽一人核酸檢測呈陽性概率為，每個人的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性是相互獨立的．(1)若該社區(qū)約有2000人，有兩種分組方式可以選擇：方案一是：10人一組；方案二：8人一組．請你為防疫部門選擇一種方案，并說明理由；(2)我們知道核酸檢測呈陽性，必須由專家二次確認，因為有假陽性的可能；已知該社區(qū)人員中被感染的概率為0.29%，且已知被感染的人員核酸檢測呈陽性的概率為99.9%，若檢測中有一人核酸檢測呈陽性，求其被感染的概率．（參考數(shù)據(jù)：（，）【方法技巧與總結(jié)】用定義法求條件概率的步驟（1）分析題意，弄清概率模型；（2）計算，；（3）代入公式求．題型二：相互獨立事件的判斷例4．（2022·山東·濰坊七中高三階段練習(xí)）已知A，B是一次隨機試驗中的兩個事件，若滿足，則（

）A．事件A，B互斥 B．事件A.B相互獨立C．事件A，B不互斥 D．事件A，B不相互獨立例5．（2022·湖北·荊州中學(xué)高三階段練習(xí)）已知A，B為兩個隨機事件，，，則“A，B相互獨立”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．事件與互斥 B．事件與對立C．事件與相互獨立 D．事件與既互斥又相互獨立變式5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）袋內(nèi)有個白球和個黑球，從中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”記為，“第二次摸得黑球”記為，那么事件與，與間的關(guān)系是（

）A．與，與均相互獨立 B．與相互獨立，與互斥C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨立變式6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件，“第二枚為正面”記為事件，“兩枚結(jié)果相同”記為事件，那么事件與，與間的關(guān)系是（

）A．與，與均相互獨立 B．與相互獨立，與互斥C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨立變式7．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）袋子里裝有形狀大小完全相同的4個小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，A表示事件“第一次取出的球上數(shù)字是1”，表示事件“第二次取出的球上數(shù)字是2”，表示事件“兩次取出的球上數(shù)字之和是5”，表示事件“兩次取出的球上數(shù)字之和是6”，通過計算，則可以得出（

）A．與相互獨立 B．與相互獨立 C．與相互獨立 D．與相互獨立變式8．（多選題）（2022·山東·高三開學(xué)考試）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察向上的面出現(xiàn)的點數(shù)，在下列事件中與事件“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”相互獨立的事件為（

）A．“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)” B．“出現(xiàn)的點數(shù)大于2”C．“出現(xiàn)的點數(shù)小于4” D．“出現(xiàn)的點數(shù)小于3”【方法技巧與總結(jié)】判斷事件是否相互獨立的方法（1）定義法：事件，相互獨立?．（2）由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響．（3）條件概率法：當(dāng)時，可用判斷．題型三：相互獨立事件概率的計算例7．（2022·河南河南·模擬預(yù)測（理））某士兵進行射擊訓(xùn)練，每次命中目標(biāo)的概率均為，且每次命中與否相互獨立，則他連續(xù)射擊3次，至少命中兩次的概率為（

）A． B． C． D．例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））甲、乙兩人獨立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為，.則謎題被破解的概率為（

）A． B． C． D．1例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲乙兩名運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則至少有一人中靶的概率為（

）A．0.26 B．0.72 C．0.74 D．0.98變式9．（2022·陜西·長安一中高三階段練習(xí)（理））某中學(xué)組織高三學(xué)生進行一項能力測試，測試內(nèi)容包括、、三個類型問題，這三個類型所含題目的個數(shù)分別占總數(shù)的，，.現(xiàn)有3名同學(xué)獨立地從中任選一個題目作答，則他們選擇的題目所屬類型互不相同的概率為（

）A． B． C． D．變式10．（2022·重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí)）重慶的8月份是一段讓人難忘的時光，我們遭遇了高溫與山火，斷電和疫情．疫情的肆虐，讓我們再次居家隔離．為了保障民生，政府極力保障各類糧食和生活用品的供應(yīng)，在政府的主導(dǎo)與支持下，各大電商平臺也紛紛上線，開辟了一種無接觸式送貨服務(wù)，用戶在平臺上選擇自己生活所需要的貨物并下單，平臺進行配備打包，再由快遞小哥送貨上門．已知沙坪壩某小區(qū)在隔離期間主要使用的電商平臺有：某東到家，海馬生鮮，咚咚買菜．由于交通、配送等多方面原因，各電商平臺并不能準時送達，根據(jù)統(tǒng)計三家平臺的準點率分別為，，，各平臺送貨相互獨立，互不影響，某小哥分別在三家電商各點了一份配送貨，則至少有兩家準點送到的概率為（

）A． B． C． D．變式11．（2022·陜西·咸陽市高新一中高三開學(xué)考試（理））乒乓球是我國的國球，“乒乓精神”激勵了一代又一代國人.為弘揚國球精神，傳承乒乓球文化，強健學(xué)生體魄，某中學(xué)舉行了乒兵球單打比賽.比賽采用7局4勝制，每局比賽為11分制，選手只要得到至少11分，并且領(lǐng)先對方至少2分（包括2分），即贏得該局比賽.在一局比賽中，每人只發(fā)2個球就要交換發(fā)球權(quán)，如果雙方比分為后，每一個球就要交換一個發(fā)球權(quán).經(jīng)過緊張的角逐，甲、乙兩位選手進入了決賽.(1)若甲贏得每局比賽的概率為，求甲以贏得比賽的概率;(2)若在某一局比賽中，雙方戰(zhàn)成.且甲獲得了下一球的發(fā)球權(quán)，若甲發(fā)球時甲贏1分的概率為，乙發(fā)球時甲贏1分的概率為，求兩人打了個球后，甲蠃得了該局比賽的概率.【方法技巧與總結(jié)】（1）求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟①首先確定各事件之間是相互獨立的．②求出每個事件的概率，再求積．（2）使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的．題型四：相互獨立事件概率的綜合應(yīng)用例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“五一”勞動節(jié)放假期間，甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，，假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為（

）A． B． C． D．例11．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）一個電路如圖所示，，，，，，，為7個開關(guān)，其閉合的概率均為，且是相互獨立的，則燈亮的概率是（

）A．

B．

C．

D．例12．（多選題）（2022·廣東佛山·高三階段練習(xí)）九月伊始，佛山市某中學(xué)社團招新活動開展得如火如茶，小王、小李、小張三位同學(xué)計劃從籃球社、足球社、羽毛球社三個社團中各自任選一個，每人選擇各社團的概率均為，且每人選擇相互獨立，則（

）A．三人選擇社團一樣的概率為B．三人選擇社團各不相同的概率為C．至少有兩人選擇籃球社的概率為D．在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為變式12．（多選題）（2022·山西長治·高三階段練習(xí)）以石墨烯電池、量子計算、AI等顛覆性技術(shù)為引領(lǐng)的前沿趨勢，正在或?qū)⒅厮苁澜绻I(yè)的發(fā)展模式，對人類生產(chǎn)力的創(chuàng)新提升意義重大，我國某公司為了搶抓機遇，成立了A、B、C三個科研小組針對某技術(shù)難題同時進行科研攻關(guān)，攻克技術(shù)難題的小組會受到獎勵．已知A、B、C三個小組攻克該技術(shù)難題的概率分別為，，，且三個小組各自獨立進行科研攻關(guān)．下列說法正確的（

）A．三個小組都受到獎勵的概率是 B．只有A小組受到獎勵的概率是C．只有C小組受到獎勵的概率是 D．受到獎勵的小組數(shù)的期望值是變式13．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）女排世界杯比賽采用5局3勝制，前4局比賽采用25分制，每個隊只有贏得至少25分，并同時超過對方2分時，才勝1局；在決勝局（第五局）采用15分制，每個隊只有贏得至少15分，并領(lǐng)先對方2分為勝.在比賽中，每一個回合，贏球的一方可得1分，并獲得下一球的發(fā)球權(quán)，輸球的一方不得分.現(xiàn)有甲乙兩隊進行排球比賽.(1)若前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局.接下來的每局比賽甲隊獲勝的概率為，求甲隊最后贏得整場比賽的概率；(2)若前四局比賽中甲?乙兩隊已經(jīng)各贏兩局比賽.在決勝局（第五局）中，兩隊當(dāng)前的得分均為14分，且甲已獲得下一發(fā)球權(quán).若甲發(fā)球時甲贏1分的概率為，乙發(fā)球時甲贏1分的概率為.求甲隊在4個球以內(nèi)（含4個球）贏得整場比賽的概率.變式14．（2022·陜西·渭南市華州區(qū)咸林中學(xué)高三階段練習(xí)（理））甲?乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯或不答都得0分，己知甲隊3人每人答對的概率分別為，乙隊每人答對的概率都是，設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用X表示甲隊總得分.(1)求的概率；(2)求甲隊和乙隊得分之和為4的的概率.【方法技巧與總結(jié)】1、求復(fù)雜事件的概率一般可分三步進行（1）列出題中涉及的各個事件，并用適當(dāng)?shù)姆柋硎舅鼈儯唬?）理清各事件之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)赜檬录g的“并”“交”表示所求事件；（3）根據(jù)事件之間的關(guān)系準確地運用概率公式進行計算．2、計算事件同時發(fā)生的概率常用直接法，當(dāng)遇到“至少”“至多”問題，考慮逆向思維，考查原事件的對立事件，用間接法處理．題型五：全概率公式及其應(yīng)用例13．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）設(shè)甲乘汽車?動車前往某目的地的概率分別為，汽車和動車正點到達目的地的概率分別為，則甲正點到達目的地的概率為（

）A． B． C． D．例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯（1701-1763）在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計理論，對于統(tǒng)計決策函數(shù)、統(tǒng)計推斷等做出了重要貢獻．根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，事件，，（的對立事件）存在如下關(guān)系：．若某地區(qū)一種疾病的患病率是，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病，已知該試劑的準確率為，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有的可能呈現(xiàn)陽性，該試劑的誤報率為，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有5%的可能會誤報陽性．現(xiàn)隨機抽取該地區(qū)的一個被檢驗者，用該試劑來檢驗，結(jié)果呈現(xiàn)陽性的概率為（）A． B． C． D．例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某種電路開關(guān)閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動，已知開關(guān)第一次閉合后，出現(xiàn)紅燈和綠燈的概率都是．從開關(guān)第一次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈的概率是；若前次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈的概率是，那么第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率是____________．變式15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時，答對的概率為100％，而不知道正確答案時猜對的概率為0.25，那么他答對題目的概率為______．變式16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）盒中放有12個乒乓球，其中9個是新的，3個是舊的．第一次比賽時，從中任意取出了3個來用，用完后仍放回盒中（新球用后成了舊球）．第二次比賽時再從盒中取出3個來用，求第二次取出的3個球均為新球的概率．變式17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）鮮花餅是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥餅，是具有云南特色的云南經(jīng)典點心代表，鮮花餅的保質(zhì)期一般在三至四天.據(jù)統(tǒng)計，某超市一天鮮花餅賣出3箱的概率為，賣出箱的概率為，賣出箱的概率為，沒有賣出的概率為，為了保證顧客能夠買到新鮮的鮮花餅，該超市規(guī)定當(dāng)天結(jié)束營業(yè)后檢查貨架上存貨，若賣出箱及以上，則需補貨至箱，否則不補貨.假設(shè)第一天該超市開始營業(yè)時貨架上有箱鮮花餅.(1)在第一天結(jié)束營業(yè)后貨架上有箱鮮花餅的條件下，求第二天結(jié)束營業(yè)時貨架上有箱存貨的概率；(2)求第二天結(jié)束營業(yè)時貨架上有箱存貨的概率.變式18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某支足球隊在對球員的使用上總是進行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員四個位置，且出場率分別為0.2，0.5，0.2，0.1，且當(dāng)乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員時，球隊輸球的概率依次為0.4，0.2，0.6，0.2.從以上數(shù)據(jù)可知，當(dāng)乙球員參加比賽時，求該球隊某場比賽不輸球的概率.變式19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有3箱同種型號零件，里面分別裝有50件、30件、40件，而且一等品分別有20件、12件和24件，現(xiàn)在任取一箱，從中不放回地先后取出2個零件．(1)求先取出的零件是一等品的概率；(2)求兩次取出的零件均為一等品的概率．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【方法技巧與總結(jié)】全概率公式在解題中體現(xiàn)了“化整為零、各個擊破”的轉(zhuǎn)化思想，可將較為復(fù)雜的概率計算分解為一些較為容易的情況分別進行考慮．題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有3臺車床加工同一型專的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2?3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1?2?3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，現(xiàn)從加工出來的零件中任取一個零件，則取到的零件是次品，且是第1臺車床加工的概率為___________.例17．（多選題）（2022·山東·高密三中高三階段練習(xí)）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件?存在如下關(guān)系：.某高校有甲?乙兩家餐廳，王同學(xué)第一天去甲?乙兩家餐廳就餐的概率分別為0.4和0.6.如果他第一天去甲餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.6；如果第一天去乙餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.5，則王同學(xué)（

）A．第二天去甲餐廳的概率為0.54B．第二天去乙餐廳的概率為0.44C．第二天去了甲餐廳，則第一天去乙餐廳的概率為D．第二天去了乙餐廳，則第一天去甲餐廳的概率為例18．（2022·河南省上蔡第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））閱讀不僅可以開闊視野，還可以提升語言表達和寫作能力.某校全體學(xué)生參加的期末過程性評價中大約有的學(xué)生寫作能力被評為優(yōu)秀等級.經(jīng)調(diào)查知，該校大約有的學(xué)生每天閱讀時間超過小時，這些學(xué)生中寫作能力被評為優(yōu)秀等級的占.現(xiàn)從每天閱讀時間不超過小時的學(xué)生中隨機抽查一名，該生寫作能力被評為優(yōu)秀等級的概率為（

）A． B． C． D．變式20．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）某工廠有兩個生產(chǎn)車間，所生產(chǎn)的同一批產(chǎn)品合格率分別是和，已知某批產(chǎn)品的和分別是兩個車間生產(chǎn)，質(zhì)量跟蹤小組從中隨機抽取一件，發(fā)現(xiàn)不合格，則該產(chǎn)品是由A車間生產(chǎn)的概率為（

）A． B． C． D．變式21．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車中途停車修理的概率為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率．變式22．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)患肺結(jié)核病的患者通過胸透被診斷出的概率為0.95，而未患肺結(jié)核病的人通過胸透被誤診為有病的概率為0.002，已知某城市居民患肺結(jié)核的概率為0.001．若從該城市居民中隨機選出一人，通過胸透被診斷為肺結(jié)核，求這個人確實患有肺結(jié)核的概率．【方法技巧與總結(jié)】1、利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步：利用全概率公式計算，即；第二步：計算，可利用求解；第三步：代入求解．2、貝葉斯概率公式反映了條件概率，全概率公式及乘法公式之間的關(guān)系，即．題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用例19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一道考題有4個答案，要求學(xué)生將其中的一個正確答案選擇出來.某考生知道正確答案的概率為，在亂猜時，4個答案都有機會被他選擇，若他答對了，則他確實知道正確答案的概率是（

）A． B． C． D．例20．（多選題）（山東省濰坊市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期10月優(yōu)生抽測數(shù)學(xué)試題）已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球．若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則下列說法正確的是（

）A．在第一次抽到2號球的條件下，第二次抽到1號球的概率為B．第二次抽到3號球的概率為C．如果第二次抽到的是1號球，則它來自2號盒子的概率最大D．如果將5個不同的小球放入這三個盒子內(nèi)，每個盒子至少放1個，則不同的放法有300種例21．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲箱中有個紅球，個白球和個黑球，乙箱中有個紅球，個白球和個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與事件相互獨立 B．C． D．變式23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球（球除顏色外，大小質(zhì)地均相同）.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以，和表示由甲箱中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，下列說法正確的序號是__________.①事件，相互獨立；②；③；④；⑤．變式24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩臺車床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率是0.03，第二臺出現(xiàn)廢品的概率是0.02．加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍．(1)求任意取出1個零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的1個零件是廢品，求它是第二臺車床加工的概率．變式25．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)甲、乙、丙三個地區(qū)爆發(fā)了某種流行病，三個地區(qū)感染此病的比例分、、．現(xiàn)從這三個地區(qū)任抽取一個人．(1)求此人感染此病的概率；（結(jié)果保留三位小數(shù)）(2)若此人感染此病，求此人來自乙地區(qū)的概率．（結(jié)果保留三位小數(shù)）．變式26．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高三開學(xué)考試）某品牌汽車廠今年計劃生產(chǎn)10萬輛轎車，生產(chǎn)每輛轎車都需要安裝一個配件M，其中由本廠自主生產(chǎn)的配件M可以滿足20%的生產(chǎn)需要，其余的要向甲、乙兩個配件廠家訂購．已知本廠生產(chǎn)配件M的成本為500元/件，從甲、乙兩廠訂購配件M的成本分別為600元/件和800元/件，該汽車廠計劃將每輛轎車使用配件M的平均成本控制為640元/件．(1)分別求該汽車廠需要從甲廠和乙廠訂購配件M的數(shù)量；(2)已知甲廠、乙廠和本廠自主生產(chǎn)的配件M的次品率分別為4%，2%和1%，求該廠生產(chǎn)的一輛轎車使用的配件M是次品的概率；(3)現(xiàn)有一輛轎車由于使用了次品配件M出現(xiàn)了質(zhì)量問題，需要返廠維修，維修費用為14000元，若維修費用由甲廠、乙廠和本廠按照次品配件M來自各廠的概率的比例分擔(dān)，則它們各自應(yīng)該承擔(dān)的維修費用分別為多少？變式27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)某廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25%，35%，40%，并且各車間的次品率依次為5%，4%，2%.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，則此次品由三個車間生產(chǎn)的概率分別是多少？變式28．（2022·山東青島·高三開學(xué)考試）北京時間年月日，歷時天的東京奧運會落下帷幕，中國代表團以金?銀?銅?打破項世界紀錄?創(chuàng)造項奧運會紀錄的傲人成績，順利收官.作為“夢之隊”的中國乒乓球隊在東京奧運會斬獲金銀的好成績，參賽的名選手全部登上領(lǐng)獎臺.我國是乒乓球生產(chǎn)大國，某廠家生產(chǎn)了兩批同種規(guī)格的乒乓球，第一批占，次品率為；第二批占，次品率為.為確保質(zhì)量，現(xiàn)在將兩批乒乓球混合，工作人員從中抽樣檢查·（1）從混合的乒乓球中任取個.（i）求這個乒乓球是合格品的概率；（ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率.（2）從混合的乒乓球中有放回地連續(xù)抽取次，每次抽取個，記兩次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【方法技巧與總結(jié)】若隨機試驗可以看成分兩個階段進行，且第一階段的各試驗結(jié)果具體結(jié)果怎樣未知，那么：（1）如果要求的是第二階段某一個結(jié)果發(fā)生的概率，則用全概率公式；（2）如果第二個階段的某一個結(jié)果是已知的，要求的是此結(jié)果為第一階段某一個結(jié)果所引起的概率，一般用貝葉斯公式．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·四川省仁壽縣文宮中學(xué)高三階段練習(xí)（理））當(dāng)時，若，則事件A與B的關(guān)系是（

）A．互斥 B．對立C．相互獨立 D．無法判斷2．（2022·河北·三河市第三中學(xué)高三階段練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A：出現(xiàn)的點數(shù)為質(zhì)數(shù)，事件B：出現(xiàn)的點數(shù)不小于3，則事件A與事件B（

）A．相互獨立 B．對立 C．互斥但不對立 D．概率相等3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某軍事訓(xùn)練模擬軟件設(shè)定敵機的耐久度為100%，當(dāng)耐久度降到0%及以下，就判定敵機被擊落．對空導(dǎo)彈的威力描述如下：命中機頭扣除敵機100%耐久度，命中其他部位扣除敵機60%耐久度．假設(shè)訓(xùn)練者使用對空導(dǎo)彈攻擊敵人，其命中非機頭部位的命中率為50%，命中機頭部位的命中率為25%，未命中的概率為25%，則訓(xùn)練者恰能在發(fā)出第二發(fā)對空導(dǎo)彈之后成功擊落敵機的概率為（

）A． B． C． D．4．（2022·湖南師大附中高三階段練習(xí)）自5月初，麓山之巔觀日出在抖音走紅后，每天都有上千人披星戴月登頂岳麓山看日出，登頂游客中外地游客占，外地游客中有乘觀光車登頂，本地游客中有乘觀光車登頂，乘觀光車登頂?shù)钠眱r為20元.若某天有1200人登頂觀日出，則觀光車營運公司這天的登頂觀日出項目的營運票價收入是（

）A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元5．（2022·湖南湘潭·高三開學(xué)考試）設(shè)某芯片制造廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線均生產(chǎn)規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙生產(chǎn)的芯片分別為12塊，8塊，且乙生產(chǎn)該芯片的次品率為，現(xiàn)從這20塊芯片中任取一塊芯片，若取得芯片的次品率為，則甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）深受廣大球迷喜愛的某支足球隊在對球員的安排上總是進行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，乙球員能夠勝任前鋒、中鋒和后衛(wèi)三個位置，且出場率分別為0.2，0.5，0.3，當(dāng)乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒、中鋒以及后衛(wèi)時，球隊輸球的概率依次為0.4，0.2，0.8．當(dāng)乙球員參加比賽時．該球隊這場比賽不輸球的概率為（

）A．0.32 B．0.68 C．0.58 D．0.647．（2022·湖南益陽·模擬預(yù)測）有臺車床加工同一型號的零件，第臺加工的次品率為，第，臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起，第，，臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，隨機取一個零件，記“零件為次品”，“零件為第臺車床加工”，則下列結(jié)論：①，②，③，④其中正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個8．（2022·云南省玉溪第一中學(xué)高三開學(xué)考試）先后拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子兩次，觀察向上的點數(shù)．在第一次向上的點數(shù)為奇數(shù)的條件下，兩次點數(shù)和不大于的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）同時拋擲兩個質(zhì)地均勻的四面分別標(biāo)有1，2，3，4的正四面體一次，記事件A表示“第一個四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)”，事件B表示“第二個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)”，事件C表示“兩個四面體向下的一面同時出現(xiàn)奇數(shù)或者同時出現(xiàn)偶數(shù)”，則（

）A． B．C． D．10．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三開學(xué)考試）設(shè)甲袋中有3個白球和4個紅球，乙袋中有1個白球和2個紅球，則（

）A．從甲袋中每次任取一個球不放回，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到紅球的概率為B．從甲袋中隨機取出了3個球，恰好是2個白球1個紅球的概率為C．從乙袋中每次任取一個球并放回，連續(xù)取6次，則取得紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為4D．從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球，則從乙袋中取出的是2個紅球的概率為11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機取出一球，以B表示從乙罐取出的球是紅球．則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．事件B與事件相互獨立 D．，，兩兩互斥12．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）某車間加工同一型號零件，第一、二臺車床加工的零件分別占總數(shù)的40%，60%，各自產(chǎn)品中的次品率分別為6%，5%.記“任取一個零件為第i臺車