第一講引言與波動方程推導(dǎo)

偏微分方程PartialDifferentialEquations《偏微分方程：現(xiàn)象、建模、理論與應(yīng)用》，譚忠編教材、講義主要參考書《數(shù)學(xué)物理方程》，谷超豪等編《數(shù)學(xué)物理方程講義》，姜禮尚等編《PartialDifferentialEquations》，L.C.Evans編第一章

引言偏微分方程（數(shù)學(xué)物理方程）--來源于自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)的方程（組）偏微分方程（數(shù)學(xué)物理方程）--來源于自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)的方程（組）偏微分方程（數(shù)學(xué)物理方程）--來源于自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)的方程（組）有了微積分，就有了微分方程（微積分是17世紀(jì)為了解決物理、力學(xué)、天體問題而產(chǎn)生的，而這些問題多為數(shù)學(xué)物理方程）幾乎所有學(xué)科：分子擴(kuò)散過程、分子動力學(xué)、橋梁工程設(shè)計(jì)中的力學(xué)振動問題、流體力學(xué)、量子力學(xué)、生物人口模型、最優(yōu)控制論等《物理學(xué)與偏微分方程》，

李大潛等編偏微分方程的基本概念偏微分方程偏微分方程的階線性、非線性（半線性、擬線性、完全非線性）偏微分方程的解課程內(nèi)容：1、數(shù)學(xué)方法研究實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型2、定解問題求解，求解方法3、解的性質(zhì)，解釋物理現(xiàn)象方程導(dǎo)出守恒律（三大定律）等，

胡克定律，F(xiàn)ouier熱傳導(dǎo)定律等物理知識變分原理，

能量極大極小定律，最小勢能等適定性：存在性、唯一性、穩(wěn)定性+定解條件=定解問題本學(xué)期目標(biāo)：一階、二階線性方程數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、常微分方程復(fù)變函數(shù)、實(shí)分析、泛函分析、微分幾何、拓?fù)洹⒂?jì)算數(shù)學(xué)等第二

章現(xiàn)象與偏微分方程建模2.1振動與波--弦振動方程（波動方程）物理模型：一根兩端固定的拉緊的均勻的柔軟的細(xì)弦，長度為，在外力作用下在平衡位置附近作微小橫振動求在不同時(shí)刻弦線的形狀。--（理想化假設(shè)）注：弦是柔軟的，在形變時(shí)不抵抗彎曲，各質(zhì)點(diǎn)的張力方向與弦的切線方向一致；弦的伸長變形與張力的關(guān)系服從虎克定律。數(shù)學(xué)建模：弦上質(zhì)點(diǎn)相對于平衡位置的位移時(shí)刻示意圖分析：弦的往返運(yùn)動的原因是強(qiáng)迫外力和張力的影響，

弦在運(yùn)動過程中，各點(diǎn)的位移、速度、加速度、張力等都在不斷變化。滿足的物理定律牛頓第二定律：動量守恒定律（沖量定理）：由動量守恒定律推導(dǎo)弦振動方程。微元法:先假設(shè)沒有外力作用（１）取一弦段,它的弧長為考慮到是小振動，即，即得這樣，可認(rèn)為弦在振動過程中并未伸長。由胡克定律知，弦上每點(diǎn)所受的張力大小與時(shí)間無關(guān)。時(shí)刻示意圖其中（2）設(shè)點(diǎn)處張力為由于弦只在軸的垂直方向作橫振動，所以水平方向的合力為零，即方向與該點(diǎn)的切線方向一致。負(fù)號表示與坐標(biāo)軸方向相反記

由于小振動，故即知負(fù)號表示與坐標(biāo)軸方向相反反記

（3）張力在軸方向上的合力為：記

則在時(shí)間段中該合力產(chǎn)生的沖量為：在時(shí)間段內(nèi)弦段的受到的沖量為：（4）另一方面，在時(shí)刻及時(shí)刻弦段的動量分別為故在時(shí)間段內(nèi)弦段的動量變化為（5）由沖量定理，可得（6）利用N-L公式(或Green公式)，可得由的任意性：其中波速也可由牛頓第二定律推導(dǎo)弦振動方程。（7）有外力情況：假定有垂直于軸方向的外力存在，并設(shè)其線密度為，它在時(shí)間段內(nèi)的沖量為于是有無外力的弦振動方程：則弦段上的外力為仍有的任意性，知表示單位質(zhì)量在每點(diǎn)處所受的外力均勻彈性桿的微小縱振動——均勻細(xì)桿在外力作用下沿桿長方向作微小振動振動中弦上點(diǎn)的張力大小由胡克定理確定：T＝ESε其中，S－截面積、E－彈性系數(shù)（楊氏模量）、ε ＝

?u

－桿在該點(diǎn)的相對伸長量。?xabu(b,

t)x （不振動時(shí)）x （振動時(shí)刻t

）abu(a,t)向右，

u>0設(shè)桿長方向?yàn)?/p>

x

軸，u(x,t)為

x

處的截面在時(shí)刻

t

沿桿長方向的位移，如下圖2 2?

u

?

a

2?t

2?x2再由Newton第二定律，可推得u(

x,

t

)滿足?

u

= f因此，區(qū)間

[a

+

u(a,t),b

+

u(b,t)]

兩端所受的張力為：a

+u(a,t)b

+

u(b,

t)T

a T

bT = ?

E

S ?

u , T = E

S ?

uabx

=

a x

=

b?

x?

x其

中

，

a

2

= E

，

f =f

0ρ 為

桿

的

密

度

，

f

0

為

外

力

線

密

度

。,ρ S

ρ進(jìn)一步推廣到高維情況：薄膜振動：電磁波、聲波的傳播：弦振動方程具有典型性，許多有關(guān)振動問題同樣可以用此方程來刻畫。由于振動的一個(gè)共同特征是產(chǎn)生波的傳播，因此，此方程也稱為一維