微分法在幾何上的應(yīng)用

一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)高等學(xué)電子教編案數(shù)Applicationsofdifferentialcalculusingeometry二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線§9.6微分法在幾何上的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics1959一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)§9.6微分法在幾何上的應(yīng)用二、空間曲線的切線與法平面型為)()()()(2.1、bawyj￡￡===Gttztytx型為==G)()(2.2、xzxyyj型為==G0),,(0),,(2.3、zyxGzyxF三、曲面切平面與法線型為0),,(=SzyxF3.1、型為),(=Szyxf3.2、3.3、全微分的幾何意義3.4、法向量的方向余弦三、小結(jié)（當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí)，求切向量注意采用推導(dǎo)法）（求法向量的方向余弦時(shí)注意符號(hào)）思考題如果平面

01633=+-+zyxl與橢球面

163222=++zyx相切，求l.作業(yè)Page1002;4;7;9.課前練習(xí)課前練習(xí)課前練習(xí)解課前練習(xí)解:課前練習(xí)解:作業(yè)講評(píng)復(fù)習(xí)：一元導(dǎo)數(shù)的幾何意義⑴顯函數(shù)下一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)切線方程法線方程切線方程為⑵隱函數(shù)下一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法線方程為一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)已知空間曲線的參數(shù)方程:的向量方程一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)1.1、一元向量值函數(shù)方程確定映射：稱此映射為一元向量值函數(shù).

一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定義:給定數(shù)集D

R,稱映射為一元向量值函數(shù)（簡(jiǎn)稱向量值函數(shù)），記為定義域自變量因變量*注：以前的實(shí)值函數(shù)稱為數(shù)量函數(shù)。

向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)都與各分量的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)。因此下面僅以n

=3的情形為代表進(jìn)行討論。一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)◆極限：◆連續(xù)：◆導(dǎo)數(shù)：◆向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則（數(shù)量函數(shù)的法則）一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)◆向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:在R3中,設(shè)的終端曲線為,

一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)◆向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義:設(shè)表示質(zhì)點(diǎn)沿光滑曲線運(yùn)動(dòng)的位置向量,

一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)則有速度向量：加速度向量：例1.設(shè)解：解:例2.設(shè)空間曲線的向量方程為

求曲線上對(duì)應(yīng)于t0=2的點(diǎn)處的單位切向量.故所求單位切向量為一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)其方向與t

的增長(zhǎng)方向一致另一與t

的增長(zhǎng)方向相反的單位切向量為解:

⑴一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)例3.

一人懸掛在滑翔機(jī)上,受快速上升氣流影響作螺求旋式上升,其位置向量為(1)滑翔機(jī)在任意時(shí)刻

t

的速度向量與加速度向量;(2)滑翔機(jī)在任意時(shí)刻

t

的速率;(3)滑翔機(jī)的加速度與速度正交的時(shí)刻.⑶由即即僅在開始時(shí)刻滑翔機(jī)的加速度與速度正交.⑴偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0)就是曲面z=f(x,y)被平面y=y0所截得的曲線z=f(x,y0)在點(diǎn)M0(x0,y0)處的切線Tx對(duì)x軸的斜率.⑵偏導(dǎo)數(shù)fy(x0,y0)就是曲面z=f(x,y)被平面x=x0所截得的曲線z=f(x0,y)在點(diǎn)M0(x0,y0)處的切線Ty對(duì)y軸的斜率.1.2、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.3、本節(jié)課概要介紹三維空間中的兩類常見圖形相關(guān)方程的求法：⑵空間曲面，其性態(tài)是通過切平面來刻畫的，而一點(diǎn)處切平面法向量所在的直線方程即法線。一、問題的提出⑴空間曲線，要了解其變化性態(tài)，線的變化是用切線來刻畫的，故要熟知切線方程、與切線垂直的法平面;設(shè)空間曲線Г的方程為⑴式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).型為)()()()(2.1、bawyj￡￡===Gttztytx;),,,(0000ttzyxM=對(duì)應(yīng)于設(shè)),,(000zzyyxxMD+D+D+￠.0tttD+=對(duì)應(yīng)于割線的方程為考察割線趨近于極限位置——切線的過程.二、空間曲線的切線與法平面上式分母同除以曲線在M處的切線方程為切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量.法平面：過M點(diǎn)且與切線垂直的平面.二、空間曲線的切線與法平面解切線方程法平面方程例1

求曲線:Gò=tuuduex0cos，tysin2=tcos+,tez31+=在0=t處的切線和法平面方程.練習(xí)：求螺旋線x=acosq

,

y=asinq,z=kq在q=p處的切線與法平面方程二、空間曲線的切線與法平面對(duì)此類空間曲線Г可看成以x為參數(shù)的方程：法平面方程:切向量：型為==G)()(2.2、xzxyyj切線方程:二、空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線Г由面交式方程組確定,其中y=φ(x),z=ψ(x)求在M(x0,y0,z0)處的切線方程和法平面方程.型為==G0),,(0),,(2.3、zyxGzyxF對(duì)恒等式兩邊分別對(duì)x求全導(dǎo)數(shù),得切向量：切線方程:法平面方程:二、空間曲線的切線與法平面例2求曲線6222=++zyx0=++zyx在點(diǎn))1,2,1(-處的切線及法平面方程.,將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)并移項(xiàng),得解切向量切線方程:法平面方程:二、空間曲線的切線與法平面曲線在M處的切向量在曲面∑上任取一條通過點(diǎn)M的曲線則型為0),,(=SzyxF3.1、三、曲面的切平面與法線切平面方程為法線方程為曲面在M處的法向量，即垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.三、曲面的切平面與法線令則法向量為型為),(=Szyxf3.2、曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為三、曲面的切平面與法線切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量因?yàn)榍嬖贛處的切平面方程為3.3、全微分的幾何意義的全微分在),(),(00yxyxfz=點(diǎn)),(yxfz=在),(00yx的全微分，表示曲面),(yxfz=在點(diǎn)),,(000zyx處的切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量.函數(shù)三、曲面的切平面與法線其中3.4.法向量的方向余弦三、曲面的切平面與法線解切平面方程為法線方程為例3求旋轉(zhuǎn)拋物面122-+=yxz在點(diǎn))4,1,2(切平面及法線方程.處的三、曲面的切平面與法線解令切平面方程法線方程例4求曲面32=+-xyezz在點(diǎn))0,2,1(處的切平面及法線方程.三、曲面的切平面與法線解設(shè)為曲面上的切點(diǎn),切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知