彈性力學(xué)-用差分法和變分法解平面問題

1彈性力學(xué)-用差分法和變分法解平面問題2一、差分公式的推導(dǎo)二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能三、位移變分方程四、位移變分法五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問題內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)

彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件，形變與位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理?xiàng)l件，建立微分方程和邊界條件。

因此，彈性力學(xué)問題屬于微分方程的邊值問題。通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答。

對(duì)于工程實(shí)際問題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討彈性力學(xué)的各種近似解法，主要有差分法、變分法和有限單元法。差分公式的推導(dǎo)一fxo差分法是微分方程的一種數(shù)值解法，它不是去求解函數(shù)f(x)，而是求函數(shù)在一些結(jié)點(diǎn)上的值。將導(dǎo)數(shù)用有限差商來代替將微分用有限差分來代替將微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，求解微分方程問題化為求解差分方程問題。差分公式的推導(dǎo)一

在彈性體上，用相隔等間距h而平行于坐標(biāo)軸的兩組平行線織成正方形網(wǎng)格。

設(shè)f=f(x,y)為彈性體內(nèi)的某一個(gè)連續(xù)函數(shù)，該函數(shù)在平行于x軸的一根網(wǎng)線上，如在3-０-１上，它只隨x坐標(biāo)的改變而變化。在鄰近結(jié)點(diǎn)０處，函數(shù)f可展為泰勒級(jí)數(shù)如下：差分公式的推導(dǎo)一(a)

只考慮離開結(jié)點(diǎn)０充分近的那些結(jié)點(diǎn)，即（x-x0）充分小。于是可不計(jì)（x-x0）的三次及更高次冪的各項(xiàng)，則上式簡(jiǎn)寫為：在結(jié)點(diǎn)３，x=x0-h；在結(jié)點(diǎn)1，x=x0+h。代入(b)得：聯(lián)立（c）、（d），解得差分公式：差分公式的推導(dǎo)一(b)(c)(d)同理，在網(wǎng)線4-0-2上可得到差分公式：

以上（１）—（４）是基本差分公式，從而可導(dǎo)出其它的差分公式如下：差分公式的推導(dǎo)一

差分公式(１)及(３)是以相隔2h的兩結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來表示中間結(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。

以相鄰三結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來表示一個(gè)端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。

應(yīng)當(dāng)指出：中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式與端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式相比，精度較高。因?yàn)榍罢叻从沉私Y(jié)點(diǎn)兩邊的函數(shù)變化，而后者卻只反映了結(jié)點(diǎn)一邊的函數(shù)變化。因此，我們總是盡可能應(yīng)用前者，而只有在無法應(yīng)用前者時(shí)才不得不應(yīng)用后者。差分公式的推導(dǎo)一9一、差分公式的推導(dǎo)二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能三、位移變分方程四、位移變分法五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問題內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)變分法，因其泛函就是彈性體的能量（如形變勢(shì)能、外力勢(shì)能），又稱為能量法。泛函－－是以函數(shù)為自變量的一類函數(shù)。

變分法，是研究泛函及其極值的求解方法。

彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二彈性力學(xué)變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨(dú)立解法，分為：位移變分法：取位移函數(shù)為自變量，并以勢(shì)能極小值條件導(dǎo)出變分方程。應(yīng)力變分法：取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條件導(dǎo)出變分方程。（2）因應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長(zhǎng)到，故單位體積上，應(yīng)力所做的功是非線性關(guān)系－－線性關(guān)系－－（1）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近部分物體對(duì)它的作用力，可看成是作用于微小單元上的“外力”。１、應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能）

彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二１、應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能）

（3）對(duì)于平面應(yīng)力問題或平面應(yīng)變問題

單位體積上應(yīng)力所做的功都是

(c)彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二１、應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能）

彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二１、應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能）

（4）假設(shè)沒有轉(zhuǎn)化為非機(jī)械能和動(dòng)能，則應(yīng)力所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的內(nèi)力勢(shì)能，又稱為形變勢(shì)能，或應(yīng)變能，存貯于物體內(nèi)部。

--單位體積的形變勢(shì)能（形變勢(shì)能密度）。（5）整個(gè)彈性體的形變勢(shì)能(d)（6）將物理方程代入，平面應(yīng)力問題的形變勢(shì)能密度，可用形變表示為對(duì)于平面應(yīng)變問題，將再將幾何方程代入，可用位移表示為整個(gè)彈性體的形變勢(shì)能為彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二１、應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能）

(5-16)（1）U是應(yīng)變或位移的二次泛函，故不能應(yīng)用疊加原理。（2）應(yīng)變或位移發(fā)生時(shí)，U總是正的，即（3）U的大小與受力次序無關(guān)。（4）對(duì)應(yīng)變的導(dǎo)數(shù)，等于對(duì)應(yīng)的應(yīng)力：

(5-15)彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二2、形變勢(shì)能Ｕ的性質(zhì)彈性體每單位體積中的形變勢(shì)能對(duì)于任一形變分量的改變率，等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。外力勢(shì)能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢(shì)能。當(dāng)取時(shí)的外力功和能為零，則：(b)外力功：彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二3、彈性體上的外力功和外力勢(shì)能

彈性體的總勢(shì)能，是外力勢(shì)能和內(nèi)力（形變）勢(shì)能之和，(h)彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二4、彈性體的總勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二例題1

試證明，在同樣的應(yīng)變分量下，平面應(yīng)變情況下單位厚度的形變勢(shì)能大于平面應(yīng)力情況下的形變勢(shì)能。對(duì)于平面應(yīng)變情況，只需將上式中，變換為解：平面應(yīng)力情況下，單位厚度的形變勢(shì)能：(a)代入，得顯然，方括號(hào)內(nèi)將式(a)中的

，

都作為式(b)的變換，整理后得平面應(yīng)變情況下的形變勢(shì)能公式，

(c)彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二

從式(c)可見，在平面應(yīng)變情況下，形變勢(shì)能

中的第1，2，3項(xiàng)均大于平面應(yīng)力情況下的值，而第4項(xiàng)

不變。因此，平面應(yīng)變的形變勢(shì)能

大于平面應(yīng)力的形變勢(shì)能U

。彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二CDEFAB彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二例題2圖示一板塊，在鉛直方向均布拉力作用下發(fā)生拉伸變形，并使之兩端固定下來，若在其中切開一小口AB時(shí)，試說明板的形變勢(shì)能將發(fā)生什么變化？解：⑴當(dāng)AB線切開時(shí)，AB線上的應(yīng)力趨于0，而形變勢(shì)能是正定，，當(dāng)應(yīng)力時(shí)，相應(yīng)的形變勢(shì)能也失去。因此，板的總的形變勢(shì)能減少。彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二⑵當(dāng)AB線切開后，邊界CD和EF仍是固定的，我們可以比較兩種狀態(tài)：AB切開后，AB線仍然處于閉合狀態(tài)，不發(fā)生張開，這是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。AB線張開，出現(xiàn)裂紋，這是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。由于系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)與鄰近的狀態(tài)相比，總勢(shì)能處于極小值，而(a)，(b)兩種狀態(tài)的外力勢(shì)能不變，因此，(b)的形變勢(shì)能小于(a)，即形變勢(shì)能將減少。24一、差分公式的推導(dǎo)二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能三、位移變分方程四、位移變分法五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問題內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)1.實(shí)際平衡狀態(tài)的位移，，必須滿足⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）;⑵用位移表示的應(yīng)力邊界條件（在上);⑶位移邊界條件（在上）。(a)

其中⑴，⑵屬于靜力平衡條件，⑶屬于約束條件。 對(duì)于實(shí)際位移，可將⑶看成是必要條件，而⑴，⑵是充分條件。

位移變分方程

三（在上）。2.虛位移狀態(tài)

⑴虛位移（數(shù)學(xué)上稱為位移變分），表示在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量，虛位移應(yīng)滿足上的約束邊界條件，即

(b)位移變分方程

三

虛位移不是實(shí)際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產(chǎn)生的。因此，虛位移狀態(tài)

就構(gòu)成實(shí)際平衡狀態(tài)附近的一種鄰近狀態(tài)。(c)位移變分方程

三(d)⑵變分與微分的比較位移變分方程

三微分－－是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(坐標(biāo))改變而引起函數(shù)的改變。其中的自變量為坐標(biāo)變量x,y，而因變量為函數(shù)，如位移，有變分－－是在同一點(diǎn)位置上，由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；而因變量為泛函，如，，，有(e)由于微分和變分都是微量，所以

a.它們的運(yùn)算方式相同，如式(d)，(e)；

b.變分和微分可以交換次序，如

(f

)

位移變分方程

三當(dāng)發(fā)生虛位移（位移變分）時(shí)，

由于虛位移引起虛應(yīng)變，外力勢(shì)能的變分：外力的虛功（外力功的變分）：3.在虛位移上彈性體的功和能

位移變分方程

三

形變勢(shì)能的變分，即實(shí)際應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功,

由于實(shí)際應(yīng)力在虛應(yīng)變之前已存在,所以作為常力計(jì)算，故無系數(shù)。(j

)位移變分方程

三（1）在封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒有非機(jī)械能的改變，也沒有動(dòng)能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢(shì)能的增加應(yīng)等于外力勢(shì)能的減少（即等于外力所做的虛功）。所以4.彈性力學(xué)中位移變分方程的導(dǎo)出

位移變分方程

三（2）位移變分方程─將式(g)的代入上式，得它表示，在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時(shí)，所引起的形變勢(shì)能的變分，等于外力功的變分。

位移變分方程

三(5-22)（3）虛功方程─將式(j)的代入上式，得位移變分方程

三虛功方程表示：如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體處于平衡狀態(tài)，則在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。(5-24)其中─形變勢(shì)能的變分，如式(j)所示，─外力功的變分,如式(g)所示。

（4）最小勢(shì)能原理─式(k)可寫成其中U─彈性體的形變勢(shì)能，如§5-4式(d),

W─彈性體的外力功，如§5-4式(a)?？梢宰C明，式(n)可以寫成為

位移變分方程

三由于彈性體的總勢(shì)能為故式(o)可以表示為

再將總勢(shì)能對(duì)其變量（位移或應(yīng)變）作二次變分運(yùn)算，可得(p)(q)位移變分方程

三極小勢(shì)能原理：在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實(shí)際存在的一組位移對(duì)應(yīng)于總勢(shì)能為極小值。37一、差分公式的推導(dǎo)二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能三、位移變分方程四、位移變分法五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問題內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)

位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)的。位移函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程。位移變分法

四(a)

（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用設(shè)定位移試函數(shù)的方法，令

位移變分法

四其中和均為設(shè)定的x，y的函數(shù)，并在邊界上，令

（在上）（在上）(c)(b)

位移變分法

四

所以已滿足了上的位移邊界條件。而，用來反映位移狀態(tài)的變化，故位移的變分為(d)位移變分法

四

位移的變分通過，的變分來反映，故形變勢(shì)能的變分為（2）位移(a)還必須滿足位移變分方程(d)將式(d)，(f)代入(e)得位移變分法

四因虛位移（位移變分）中的，是完全任意的，獨(dú)立的，為了滿足上式，必須:位移變分法

四式(g)是瑞利-里茨變分方程。它是關(guān)于，的線性代數(shù)方程組，由上式可解出，,從而得到位移的解答。

位移變分法

四45一、差分公式的推導(dǎo)二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能三、位移變分方程四、位移變分法五、位移變分法例題第五章用差分