山東省泰安市東平縣第四中學高二數(shù)學理期末試題含解析

山東省泰安市東平縣第四中學高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，交其準線于點，若點是的中點，且，則線段的長為（）A．

B．

C.5

D．6參考答案：B設點A,B在準線上的射影分別為M,N，準線與軸交于點H，則，由已知F是AC的中點，,，設，則，即，解得，所以，選B.

2.已知一長方體從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為3，，4，若該長方體的頂點都在一個球的球面上，則這個球的體積為（）A．288π B．144π C．108π D．36π參考答案：D【考點】球的體積和表面積．【專題】數(shù)形結合；數(shù)形結合法；空間位置關系與距離．【分析】根據(jù)題意，得出長方體內(nèi)接于球，球的直徑等于長方體的對角線長，由此求出球的半徑與體積．【解答】解：根據(jù)題意，長方體內(nèi)接于球，所以球的直徑為該長方體的對角線；即（2R）2=32++42=36，解得R=3；所以這個球的體積為V球=πR3=×π×33=36π．故選：D．【點評】本題考查了球的內(nèi)接長方體以及球的體積的應用問題，也考查了空間想象能力，是基礎題．3.過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于點A．若|AF|=3，則點A的坐標為（）A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，±2） D．（1，±2）參考答案：C【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】確定拋物線y2=4x的準線方程，利用拋物線的定義，可求A點的橫坐標，即可得出A的坐標．【解答】解：拋物線y2=4x的準線方程為x=﹣1，F(xiàn)（1，0）．設A（x，y），∵|AF|=3，∴根據(jù)拋物線的定義可得|AF|=3=x+1，∴x=2，∴y=，∴A的坐標為（2，）．故選：C，【點評】拋物線的定義告訴我們：拋物線上的點到焦點的距離等于它到準線的距離．4.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，則復數(shù)的虛部是(

) A．

B．

C．

D．參考答案：B5.若x，y滿足，則z=x+2y的最大值為（）A．0 B．1 C． D．2參考答案：D【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，再將目標函數(shù)z=x+2y對應的直線進行平移，即可求出z取得最大值．【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，當l經(jīng)過點B時，目標函數(shù)z達到最大值∴z最大值=0+2×1=2．故選：D．【點評】本題給出二元一次不等式組，求目標函數(shù)z=x+2y的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎題．6.已知直線L1:4x-3y=6，L2:4x+3y=5.它們的傾斜角(

)

A.相等

B.互補

C.互余

D.和為參考答案：B7.參數(shù)方程表示的圖形是（

）A、以原點為圓心，半徑為3的圓

B、以原點為圓心，半徑為3的上半圓C、以原點為圓心，半徑為3的下半圓

D、以原點為圓心，半徑為3的右半圓參考答案：D略8.已知是等比數(shù)列，，則公比=（）．

B．

．2

D．參考答案：D略9.已知命題p：可表示焦點在x軸上的雙曲線；命題q：若實數(shù)a，b滿足a＞b，則a2＞b2．則下列命題中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命題的序號為（）A．① B．③④ C．①③ D．①②③參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用；雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】先分別判定命題p、命題q的真假，在根據(jù)復合命題的真值表判定．【解答】解：對于命題p：若可表示焦點在x軸上的雙曲線，則3﹣a＞0，a﹣5＞0，a不存在，故命題p是假命題；對于命題q：若實數(shù)a，b滿足a＞b，則a2＞b2或a2=b2或a2＜b2，命題q為假命題；①p∨q為假，②p∧q為假，③（￢p）∨q為真，④（￢p）∧（￢q）為真；故選：B．10.從某高中隨機選取5名高三男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如表所示：身高x（cm）160165170175180體重y（kx）6366707274根據(jù)上表可得回歸直線方程，據(jù)此模型預報身高為172cm的高三男生的體重為（）A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg參考答案：B【考點】線性回歸方程．【分析】根據(jù)所給的表格做出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)樣本中心點在線性回歸直線上，利用待定系數(shù)法做出的值，現(xiàn)在方程是一個確定的方程，根據(jù)所給的x的值，代入線性回歸方程，預報身高為172cm的高三男生的體重【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可得==170==69∵（，）一定在回歸直線方程上故69=0.56×170+解得=﹣26.2故當x=172時，=70.12故選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程為必過點的坐標為 .參考答案：(,4)12.正三棱錐的底面邊長為，、、、分別是、、、的中點，則四邊形的面積的取值范圍是

參考答案：13.對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：①焦點在x軸上；②焦點在y軸上；③拋物線的通徑的長為5；④拋物線上橫坐標為2的點到焦點的距離等于6；⑤拋物線的準線方程為x=﹣；⑥由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（2，1）．能使拋物線方程為y2=10x的條件是

．參考答案：①⑤⑥【考點】拋物線的標準方程．【分析】根據(jù)拋物線方程，即可得出結論．【解答】解：拋物線方程為y2=10x中，焦點在x軸上，拋物線的準線方程為x=﹣；由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（2，1）．故答案為①⑤⑥．【點評】本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查學生的計算能力，比較基礎．14.已知函數(shù)f(x)＝x2＋3，則f(x)在(2，f(2))處的切線方程為________．參考答案：略15.已知一個三角形的三邊長分別是5，5，6，一只螞蟻在其內(nèi)部爬行，若不考慮螞蟻的大小，則某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過2的概率是

．參考答案：1﹣【考點】幾何概型．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】分別求出對應事件對應的面積，利用幾何概型的概率公式即可得到結論．【解答】解：∵三角形的三邊長分別是5，5，6，∴三角形的高AD=4，則三角形ABC的面積S=，則該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過2，對應的區(qū)域為圖中陰影部分，三個小扇形的面積之和為一個整圓的面積的，圓的半徑為2，則陰影部分的面積為S1=12﹣=12﹣2π，則根據(jù)幾何概型的概率公式可得所求是概率為，故答案為：1﹣．【點評】本題主要考查幾何概型的概率計算，根據(jù)條件求出相應的面積是解決本題的關鍵．16.如圖是表示一個正方體表面的一種平面展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有

對．參考答案：3【考點】異面直線的判定．【專題】計算題．【分析】展開圖復原幾何體，標出字母即可找出異面直線的對數(shù)．【解答】解：畫出展開圖復原的幾何體，所以C與G重合，F(xiàn)，B重合，所以：四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有：AB與GH，AB與CD，GH與EF，共有3對．故答案為：3．【點評】本題考查幾何體與展開圖的關系，考查異面直線的對數(shù)的判斷，考查空間想象能力．17.不等式＜0的解集為

．（用區(qū)間表示）參考答案：（﹣∞，0）∪（9，+∞）【考點】7E：其他不等式的解法．【分析】根據(jù)兩數(shù)相乘積異號得負的取符號法則變形，即可求出解集．【解答】解：不等式轉化為x（9﹣x）＜0，且9﹣x≠0，可得出x（x﹣9）＞0，轉化為：或，解得：x＞9或x＜0，則不等式的解集為（﹣∞，0）∪（9，+∞）．故答案為：（﹣∞，0）∪（9，+∞）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分10分）如圖，正方形ABCD與等邊三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分別是DE，AB的中點．（Ⅰ）證明：MN∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角M—AN—E的正切值．

參考答案：（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）(Ⅰ)

略

(Ⅱ)（文）解：作于點，連結．∵，平面．又∥又∵∴的平面角．設易得：19.（本小題滿分12分）有A、B、C、D、E五位工人參加技能競賽培訓．現(xiàn)分別從A、B二人在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次．用右側莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)：（1）A、B二人預賽成績的中位數(shù)分別是多少？（2）現(xiàn)要從A、B中選派一人參加技能競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認為派哪位工人參加合適?請說明理由；（3）若從參加培訓的5位工人中選2人參加技能競賽，求A、B二人中至少有一人參加技能競賽的概率．參考答案：（1）A的中位數(shù)是（83+85）/2=84,B的中位數(shù)是：(84+82)/2=83……2分（2）派B參加比較合適.理由如下：＝=85，＝=85，………………4分S2B＝［（78-85）2+（79-85）2+（80-85）2+（83-85）2+（85-85）2+（90-85）2+（92-85）2+（95-85）2］=35.5S2A＝［（75-85）2+（80-85）2+（80-85）2+（83-85）2+（85-85）2+（90-85）2+（92-85）2+（95-85）2］=41………6分∵＝，S2B<S2A，∴B的成績較穩(wěn)定，派B參加比較合適.…………7分（3）任派兩個（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10種情況；A、B兩人都不參加（C，D），（C，E），（D，E）有3種．…10分至少有一個參加的對立事件是兩個都不參加，所以P=1-=．……………12分20.已知函數(shù)在處的切線方程為.（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）證明：當時參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【分析】（Ⅰ）由題設，運算求解即可；（Ⅱ）令，，通過求兩次導數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性可得存在在唯一的使得，當或者時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，進而有，從而得證.【詳解】（Ⅰ），由題設（Ⅱ）實際上是證明時，的圖象在切線的上方.令，，則，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在唯一的極小值.注意到，，而，所以，所以；又因為在上單調(diào)遞減，所以存在在唯一的使得；因此當或者時，，當時，；所以當或者時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減；由于，所以，當且僅當時等號成立；所以時，不等式成立.【點睛】利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉化為一元函數(shù).21.設分別為橢圓的左、右焦點.（1）若橢圓上的點兩點的距離之和等于4，w.w.w.高考資源網(wǎng).c.o.m

求橢圓的方程和焦點坐標；(2）設點P是（1）中所求得的橢圓上的動點，。參考答案：22.在等比數(shù)列中，，。（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前n項和。參考答案：解：（Ⅰ）

設等比數(shù)列的公比為q。